2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．与直线垂直的直线的倾斜角为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,所以该直线的斜率为,设与它垂直的直线的斜率为k,所以有,设与直线垂直的直线的倾斜角为,则有 ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了由直线方程求直线的斜率,考查了直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系,考查了两直线垂直时斜率之间的关系,考查了数学运算能力.‎ ‎2．命题“若,则且”的等价命题是（ ）．‎ A．若或,则 B．若且,‎ C．若,则或 D．若,则且 ‎【答案】A ‎【解析】根据原命题与逆否命题是等价命题,按照逆否命题的定义直接写出即可.‎ ‎【详解】‎ 因为原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若,则且”的等价命题是若或,则.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了原命题的等价命题,本题考查了写出一个命题的逆否命题.‎ ‎3．若双曲线的一个顶点在抛物线的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出抛物线的准线，这样可以求出的值，进而可以求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎∵抛物线的准线方程为，∴，则离心率，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.‎ ‎4．如图，是民航部门统计的某年春运期间个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）‎ A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.‎ B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.‎ C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.‎ D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．‎ ‎【详解】‎ 由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．‎ ‎5．下列说法正确的个数是（ ）．‎ ‎①“若,则,中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题；‎ ‎②命题“设,若,则或”是一个真命题；‎ ‎③命题,,则是的必要不充分条件；‎ ‎④命题“,使得”的否定是：“，均有”．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】说法①：按照逆命题的定义写出“若,则,中至少有一个不小于2”的逆命题,然后通过举特例可以判断该命题是不是真命题；‎ 说法②：根据原命题与逆否命题是等价命题,按逆否命题的定义写出命题“设,若,则或”的逆否命题,然后根据等式的性质可以判断该命题是不是真命题；‎ 说法③：按照必要不充分条件的定义,结合正弦函数的性质可以判断是不是的必要不充分条件；‎ 说法④：根据含存在量词的命题否定的定义就可以判断“,使得”的否定是不是：“，均有”．‎ ‎【详解】‎ 说法①：“若,则,中至少有一个不小于2”的逆命题是若,中至少有一个不小于2”,则,当时,显然满足,中至少有一个不小于2”,但是得不到,所以本说法是错误的；‎ 说法②：命题“设,若,则或”的逆否命题是若且则,显然是真命题,因此原命题也是真命题,所以本说法是正确的；‎ 说法③：当时，显然成立,但是不成立,故由不一定能推出成立,但是由成立,一定能推出,所以本说法是正确的；‎ 说法④：因为命题“,使得”的否定是：“，均有”,所以本说法是正确的.因此一共有3个说法是正确的.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了必要不充分条件的判断,考查了写含存在量词的否定,考查了原命题、逆命题的真假.‎ ‎6．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可.‎ ‎【详解】‎ 解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型，属基础题.‎ ‎7．为了解成都锦江区粮丰社区居民的家庭收入和年支出的关系,现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入（万元）‎ 支出（万元）‎ 根据上表可得,的回归直线方程,其中,由此估计该社区一户收入为14万元,家庭年支出为（ ）．‎ A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 ‎【答案】A ‎【解析】求出,根据,,可以求出,最后把14代入中,求出家庭年支出.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 因此有,所以,最后把14代入得,‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了求几个数的平均数,本题考查了求线性回归方程,考查了线性回归方程的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎8．已知在平面直角坐标系中,圆与圆交于点,两点,若（为坐标原点）,则实数的值为（ ）．‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据相交圆的几何性质和等腰三角形的性质可知：在同一条直线上,得到的值,再检验两圆是否相交.‎ ‎【详解】‎ 因为圆与圆交于点,两点,所以直线垂直平分线段,又因为,所以点在线段的垂直平分线上,故在同一条直线上, 圆的圆心坐标为,半径为4, 圆的圆心坐标为,半径为1,所以直线的方程为,把的坐标代入,得,‎ 此时有符合题意.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了两圆相交弦的性质,考查了等腰三角形的性质,考查了三点共线,考查了数学运算能力.‎ ‎9．已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，的延长线交于点，且，，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，求得是的中点，且，过作于点，由抛物线的定义，得直线的倾斜角为，设直线交轴于点，由及是的中点，得，解得，即,进而求解直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据 ，，得是的中点，且.‎ 过作于点，‎ 则由抛物线的定义，得,所以，即直线的倾斜角为.‎ 设直线交轴于点，根据及是的中点，得.‎ 又，所以，即,‎ 因此直线的方程为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义，以及标准方程和几何性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义的转化作用，以及熟记抛物线的几何性质的应用是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎10．太极图被称为“中华第一图”．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极鱼”．已知或，下列命题中：①在平面直角坐标系中表示的区域的面积为；②，使得；③，都有 成立；④设点，则的取值范围是．其中真命题的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合A表示的图形，分别分析选项，得到正确答案，‎ ‎①根据图象，直接求判断集合A的面积是圆面积的一半；‎ ‎②转化为两圆是否相交问题；‎ ‎③设，，表示斜率为的直线，表示纵截距，转化为线性规划问题；‎ ‎④变形为，先求的范围，最后求的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎①如图，根据对称性可知，集合表示的面积占圆面积的一半，，故①不正确；‎ ‎②，整理为，以为圆心，的圆，与的圆的圆心距，可知两圆相交，有2个交点，所以，使得，故②正确；‎ ‎③设，，表示斜率为的直线，表示纵截距，如图，当直线与圆相切时，取得最大值，此时圆心到直线的距离，解得或，如图，舍去，所以的最大值是，如图，当直线与相切时，取得最小值，圆心到直线的距离 ，，如图舍去，所以的最小值是，所以，都有成立，③正确；‎ ‎④，‎ 设表示可行域内的点与点连线的斜率，‎ 设，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得，如图可知，‎ 当直线过点时，斜率，其他满足条件的直线夹在这两直线之间，所以，，，故④不正确.‎ 故只有②③正确.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查不等式，线性规划问题，圆与圆的位置关系的综合问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.‎ ‎11．双曲线的左、右焦点分别为、,过点作直线交双曲线的右支于、两点,且,则的内切圆半径等于（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据双曲线的定义和勾股定理可以计算出的值,最后再根据直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义可以求出的内切圆半径.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,而,可得 ‎,根据直角三角形内切圆半径,可得的内切圆半径等于 ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的定义,考查了勾股定理的应用,考查了直角三角形内切圆的半径公式,考查了数学运算能力.‎ ‎12．如图，过抛物线焦点作直线，交抛物线于，两点，以为直径的圆交轴于，两点，交轴于，两点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设出直线的方程，代入抛物线方程，求出线段的中点的坐标，以及圆的半径，然后表示出，，最后用换元法及基本不等式求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设直线的方程为，代入，并消去，‎ 得，设，，‎ 则，‎ ‎，代入 ，‎ ‎，‎ 圆的半径 ‎ ‎ ‎ 过点作，，‎ 则，‎ ‎ ，‎ ‎ ，令 ， ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当时，等号成立，即.‎ ‎ 的最小值为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的综合问题，意在考查逻辑推理和计算能力，属于中档难题，本题的关键是通过所设的直线，正确表示和.‎ 二、填空题 ‎13．某协会有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按编号,并按编号顺序平均分为40组（号,号,…,号）,若第1组抽出的号码为3,则第6组抽出的号码是______．‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】根据组数可以求出每组的人数,再根据第1组抽出的号码为3,这样就可以求出第组的号码,让代入求值即可.‎ ‎【详解】‎ 有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,因此每组5人,又因为第1组抽出的号码为3,所以第组的号码为,当时，可得28.‎ 故答案为：28‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了系统抽样时计算抽出的号码问题,考查了数学运算能力.‎ ‎14．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先根据单调性求两个函数的值域，由题意可知 ‎【详解】‎ ‎，在上单调递减，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，在上单调递增，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 若，，使得，则，‎ 即 ，‎ 解得： .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双变量任意，存在问题求参数的取值范围，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，一般对于双变量，若满足，，使，只需满足 ，若是，只需满足.‎ ‎15．已知为双曲线的右焦点，直线交双曲线于，两点，若、的中点分别为、，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先根据数形结合分析，，且是的中点，所以，直线与双曲线方程联立求点的坐标，根据，得到 ‎，再转化为关于的齐次方程，求离心率.‎ ‎【详解】‎ 由对称性可知原点是的中点，又、的中点分别为、，‎ ‎，‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎ ， ，‎ ‎ 四边形是矩形，‎ ‎, ‎ 设 ‎ ，解得 ， ‎ ‎ ，即 ，，‎ ‎ ‎ ‎ ，两边同时除以，‎ 得， ，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ 故填：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.‎ ‎16．已知向量，，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先根据绝对值三角不等式求最小值，然后利用数量积求，利用柯西不等式求最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎ 当与同向时，等号成立，‎ ‎，‎ 当与同向，即与同向时，确定最小值3，‎ ‎ ‎ ‎ ，当时等号成立，‎ 上式，‎ 等号成立的条件是 ，解得，‎ ‎ ，，‎ 当与的夹角为时取得最大值.‎ 原式的最大值是，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的模的范围，意在考查转化与化归和计算能力，公式既适应于实数，也适用于向量，柯西不等式注意变形.‎ 三、解答题 ‎17．已知圆过点，和直线相切，且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）根据条件设圆心，圆心到直线的距离就是半径，， 待定系数法求圆的方程；‎ ‎（2）由弦长公式可知圆心到直线的距离，所以分不存在和存在两种情况讨论求直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心为，‎ ‎∴，化简得．‎ 所以圆心，．圆的方程．‎ ‎（2），解得：，‎ ‎①不存在时，，满足条件；‎ ‎②存在时，设，，得，所以．‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求圆的方程和求直线方程，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.‎ ‎18．设命题实数满足；命题曲线表示双曲线．‎ ‎（1）若，若为假命题，为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）分别求两个命题表示的的取值范围，由题意可知，命题假真，列不等式求的取值范围；‎ ‎（2）根据逆否命题的等价性可知是的充分不必要条件，转化为在给定区间恒成立求参数，即，时恒成立，求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时， ，解得：或，‎ 表示双曲线，可知，解得：，‎ 或；．‎ 由题意知，假真．‎ 综上，．‎ ‎（2）由条件得是的充分不必要条件，‎ ‎∴，恒成立，‎ 恒成立，当时，‎ 即，‎ ‎，当时等号成立，解得 ‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据复合命题的真假求参数和根据充分必要条件求参数，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.‎ ‎19．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在内,现将成绩按区间,,,，进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．‎ 青年组 中老年组 ‎(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；‎ ‎(2)从青年组,的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自分数段的概率．‎ ‎【答案】(1)中位数为80，平均数为(2)‎ ‎【解析】(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；‎ ‎(2) 求邮青年组,的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自分数段的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为,后2个小矩形的面积和为,所以中位数为80．‎ 中老年组成绩的平均数为．‎ ‎(2)青年组,的分数段中答卷分别为12份,8份,‎ 抽取比例为,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．‎ 记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,‎ 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：‎ ‎,,,,‎ ‎,,,,,．‎ 其中,有2位来自的有3种：,,．‎ 所以所求概率．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若不过椭圆上顶点的直线与椭圆交于,两点,且．求证：直线恒过定点,并求出该定点．‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析,过定点.‎ ‎【解析】(1)根据直线过椭圆的右焦点可以求出的值,再根据离心率的公式求出的值,根据之间的关系求出,最后写出椭圆方程即可；‎ ‎(2)求出上顶点的坐标,设,,利用斜率公式化简等式,最后将直线方程与椭圆方程联立,根据根与系数关系,最后得到,进而可以确定直线恒过定点,也就求出该定点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)，,,椭圆的方程为；‎ ‎(2)上顶点,设,,‎ ‎,‎ 即．①‎ 联立直线和椭圆得,‎ ‎,代入①式得,,‎ ‎∴恒过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线过定点的判断,考查了数学运算能力.‎ ‎21．已知动圆过定点，在轴截得的弦长为2．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）若为轨迹上一动点，过点作圆的两条切线分别交轴于，两点，求面积的最小值，并求出此时点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）2，．‎ ‎【解析】（1）设，根据，弦长 ，所以，利用相等，转化成关于的方程；‎ ‎（2）设过点且与圆相切的直线的方程为，首先表示纵截距，然后利用直线与圆相切，有，表示为关于的二次方程，并且，，最后再表示面积，再求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，根据 ‎ ‎ ‎ 弦长，‎ 解得： ，‎ ‎ ，整理为：,‎ 的轨迹方程为．‎ ‎（2）设过点且与圆相切的直线的方程为，‎ 令，得，‎ ‎∴切线与轴的交点为，而，‎ 整理得，，∴．‎ 设两切线斜率为，，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，则．‎ 令，则，‎ 而，当且仅当，即时，“＝”成立．‎ 此时，‎ ‎∴的最小值为2，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹法求抛物线方程，以及直线，圆，抛物线三者的综合性问题，考查了转化与化归和计算，变形，化简能力，属于难题，本题第二问的关键是设直线，利用相切，有，表示为关于的二次方程，这样是求面积，化简面积的基础.‎ ‎22．已知抛物线与轴交于点,直线与抛物线交于点，两点．直线,分别交椭圆于点、（,与不重合）‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若,求直线的斜率的值；‎ ‎(3)若为坐标原点,直线交椭圆于，，若,且,则是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)是定值,为定值10.‎ ‎【解析】(1) 直线和抛物线方程联立,根据根与系数关系、斜率公式可以计算出,也就证明出；‎ ‎(2)设出直线的斜率,直线的斜率,求出它们的直线方程,通过解一元二次方程组求出,的坐标,最后利用面积公式求出的表达式,同理求出的表达式,最后求出直线的斜率的值；‎ ‎(3) 设,,根据余弦定理和,可以得到又,.通过对两个等式进行移项相乘和两个等式相加,最后可以求出 的值为定值.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由题意知,直线的方程为．‎ 由得,‎ 设，，则，是上述方程的两个实根，‎ 于是,．‎ 又点的坐标为，‎ 所以 故,即．‎ ‎(2)设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 由，解得，或，则点的坐标为．‎ 又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．‎ 于是，．‎ 由得,‎ 解得或，则点的坐标为．‎ 又直线的斜率为,同理可得点的坐标．‎ 于是,．‎ 因此，．‎ 由题意知,解得或．‎ 又由点,的坐标可知,,所以．‎ ‎(3)设,,四边形为平行四边形，‎ 由余弦定理有,‎ ‎,‎ 两式相加得．‎ 又．‎ 又,，‎ 上面两式移项相乘得,‎ 上面两式相加得．‎ 所以．‎ 因此为定值10．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查了椭圆中定值问题,考查了数学运算能力和等式恒等变形能力.‎