2018-2019学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版
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福建省师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是（ ）
A． 分层抽样，简单随机抽样 B． 简单随机抽样，分层抽样
C． 分层抽样，系统抽样 D． 简单随机抽样，系统抽样
【答案】D
【解析】试题分析：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查，这是一种简单随机抽样，第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，符合采用系统抽样．
解：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；
这是一种简单随机抽样，
第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，
从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，
对于个体比较多的总体，采用系统抽样，
故选D．
点评：本题考查简单随机抽样和系统抽样，对于同一总体采取的两种不同抽样方式，注意两者的相同点和不同点，得到的样本可能不同，但不管用什么抽样方式，每个个体被抽到的概率相等．
2．袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是( )
A． P与R是互斥事件 B． P与Q是对立事件
C． Q和R是对立事件 D． Q和R是互斥事件，但不是对立事件
【答案】C
【解析】
【分析】
找出从袋中任取2个球的所有可能情况，然后借助于互斥事件的概念得答案．
【详解】
袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有如下几类：
①取出的两球都是黑球；②取出的两球都是白球；③取出的球一黑一白．
事件R包括①③两类情况，∴事件P是事件R的子事件，故A不正确；
事件Q与事件R互斥且对立，∴选项C正确,选项D不正确．
事件P与事件Q互斥，但不是对立事件，∴选项B不正确
故选：C．
【点睛】
本题考查了互斥事件与对立事件，关键是对两个概念的理解，是基础的概念题．
3．A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）
A． ，B比A成绩稳定
B． ，B比A成绩稳定
C． ，A比B成绩稳定
D． ，A比B成绩稳定
【答案】A
【解析】由茎叶图可知甲的成绩为，平均成绩为
乙的成绩为平均成绩为
从茎叶图上可以看出的数据比的数据集中， 的成绩比的成绩稳定
故选
4．某商品的销售量（件）与销售价格（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为则下列结论正确的是（ ）
（A）与具有正的线性相关关系
（B）若表示变量与之间的线性相关系数，则
（C）当销售价格为10元时，销售量为100件
（D）当销售价格为10元时，销售量为100件左右
【答案】D
【解析】
试题分析：与具有负的线性相关关系，所以A项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C错误D正确.B项中-10是回归直线方程的斜率.
考点：1.最小二乘法；2.线性相关性.
5．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，这是一个几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B．
【名师点睛】求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.
6．在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝( )
A． 18 B． 99 C． 198 D． 297
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出a6，再由等差数列的前n项和公式求出S11．
【详解】
∵a3+a9=27﹣a6，∴3a6=27，a6=9，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．
7．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：从中任取个不同的数有
共种不同的方法，其中只有为勾股数，故这三个数构成一组勾股数的概率为，故选C．
考点：古典概型中某事件发生的概率．
8．设，,则是的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
p：，解得0＜x＜8，q：,解得，再求即可判断出关系．
【详解】
p：，解得0＜x＜8，
又 q：,解得， ：-1
|b|；③；④b>a，正确的有________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出b＜a＜0，根据不等式的性质分别判断即可．
【详解】
∵，∴b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
∴a+b＜ab，①正确；|a|＜|b|，②错误；＞2，③正确；④错误；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．
15．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝________，估计该小学学生身高的中位数为______
【答案】0.030
【解析】
【分析】
（1）根据频率和为1，求出a的值；（2）根据频率分布直方图，计算众中位数．
【详解】
（1）因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，
所以有10×（0.005+0.035+a+0.020+0.010）=1，
解得a=0.030；
（2）根据频率分布直方图知，又0.005×10+0.035×10=0.4＜0.5，
0.4+0.030×10=0.7＞0.5，
所以中位数在[120，130）内，可设为x，
则（x﹣120）×0.030+0.4=0.5，
解得x=，
所以中位数为；
故答案为：0.030 ，
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数的计算问题，是基础题．
16．若变量满足约束条件则的最小值为 .
【答案】
【解析】画出约束条件对应的可行域，有图可知的最小值在（4，-5）
处取到是-6.
视频
17．若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】
用分离参数法得出不等式m＞﹣x在x∈[1，2]上成立，根据函数f（x）=﹣x在x∈[1，2]上的单调性，即可求出a的取值范围．
【详解】
关于x的不等式x2+mx﹣2＞0在区间[1，2]上有解，
∴mx＞-2﹣x2在x∈[1，2]上有解，
即m＞﹣x在x∈[1，2]上有解；
设函数f（x）=﹣x，x∈[1，2]，
∴f′（x）=﹣1==0的根x=
∴f（x）在[1，]上是单调递增，在[，2]上是单调递减.
∴x=，f（x）= f（）=-2
f（1）=-3 ，f（）=-3
且f（x）的值域为（-3，-2]，
要a＞﹣x在x∈[1，2]上有解，则m＞﹣3，
故答案为：（﹣3，+∞）．
【点睛】
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象的单调性与性质的应用问题，是综合性题.
18．在中， 为边上一点， ， ，
，若，则__________．
【答案】
【解析】试题分析：设，
在中有：，
在中有： ，又，代入得，解得．
考点：余弦定理．
【名师点睛】在本题中，已知被分成两个三角形，它们公共边长度已知，相邻的解已知，还知道的是两个三角形中另外两对边的比例，要解这个三角形，可用余弦定理把两个三角形联系起来，根据已知角，用余弦定理分别求出，再由的关系可求得，接着可求得及各个角．如果已知两个角，还可以用正弦定理建立关系，以便求解．
评卷人
得分
三、解答题
19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos(B–)．
（1）求角B的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得，又由bsinA=acos(B–)得B=.（2）利用面积公式和余弦定理得出，即周长可求.
【详解】
（1）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．
（2）因为△ABC的面积为，所以，所以，又因为，所以，所以△ABC的周长为
【点睛】
本题考查的知识点：正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．
20．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
【解析】
分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
21．已知数列{}是公差为3的等差数列，数列满足，
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用递推关系可得a1．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出an.（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【详解】
（1）由已知，得，
所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.
（2）由（1）和 ，得，又因为因此是首项为1，公比为的等比数列.所以，通项公式为，所以 记
的前项和为T，则
∴，
．
，
，
，
∴T=．
【点睛】
本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.
（1）若=19，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.8，求的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？
【答案】（1）；（2）20；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（2）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.8，可得n的最小值；（3）分别求出每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．
【详解】
（1）当时，；当时，，所以与的函数解析式为.
（2）由柱状图知，需更换的零件数不大于19的概率为0.7，需更换的零件数不大于20的概率为0.9，故的最小值为20.
（3）若每台机器在购机同时都购买18个易损零件，则这100台机器中有46台在购买易损零件上的费用为3600，24台的费用为4100，20台的费用为4600，10台的费用为5100，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4070.
若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4000.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，做方案的选择时，把每种方案的结果计算出来进行比较即可，难度中档．
23．已知数列的前项和为，其中为常数．
（1）证明： ；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（I）对于含递推式的处理，往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式．结合结论，该题需要转换为项的递推式．故由得．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由， ， ，列方程得，从而求出．得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列．
试题解析：（I）由题设， ， ．两式相减得， ．
由于，所以．
（II）由题设， ， ，可得，由（I）知， ．令，解得．
故，由此可得， 是首项为1，公差为4的等差数列， ；
是首项为3，公差为4的等差数列， ．
所以， ．
因此存在，使得为等差数列．
【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．
视频
