2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第一章　第3讲　全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第一章　第3讲　全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词

第3讲　全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词 一、知识梳理 ‎1．全称量词与存在量词 ‎(1)全称量词和存在量词的含义 量词名称 常见量词 含义 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 在指定范围内，表示整体或全部 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、某些等 在指定范围内，表示个别或一部分 ‎(2)全称命题、特称命题的定义、否定形式及真假判断 命题 名称 定义 否定形式 真假判断 全称 命题 含有全 称量词 的命题 特称命题 要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的 续　表 命题 名称 定义 否定形式 真假判断 特称 命题 含有存 在量词 的命题 全称命题 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的 ‎2.逻辑联结词 ‎(1)逻辑联结词通常是指“且”“或”“非”．‎ ‎(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断．‎ p q p且q p或q 非p(﹁p)‎ 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 常用结论 ‎1．一组关系 否命题 命题的否定 区别 否命题既否定其条件，又否定其结论 命题的否定只是否定命题的结论 否命题与原命题的真假无必然联系 命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假 ‎2.三个口诀 ‎(1)p或q→见真即真．‎ ‎(2)p且q→见假即假．‎ ‎(3)p与綈p→真假相互．‎ ‎3．四组等价关系 ‎(1)p或q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)且(﹁q)假．‎ ‎(2)p或q假⇔p，q均假⇔(﹁p)且(﹁q)真．‎ ‎(3)p且q真⇔p，q均真⇔(﹁p)或(﹁q)假．‎ ‎(4)p且q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)或(﹁q)真．‎ 二、教材衍化 ‎1．命题“存在x∈R，log2x＋2<0”的否定是________________________．‎ 答案：对任意的x∈R，log2x＋2≥0‎ ‎2．在一次驾照考试中，甲、乙两名学员各试驾一次．设p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为________．‎ 答案：(﹁p)或(﹁q)‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题．(　　)‎ ‎(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．(　　)‎ ‎(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题．　(　　)‎ ‎(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)‎ ‎(5)存在x∈M，p(x)与对任意的x∈M，﹁p(x)的真假性相反．　(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)全称命题或特称命题的否定出错；‎ ‎(2)不会利用真值表判断命题的真假；‎ ‎(3)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误；‎ ‎(4)判断命题真假时忽视对参数的讨论．‎ ‎1．命题“正方形都是矩形”的否定是________．‎ 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形 ‎2．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若＞，则x＜y.在命题①p且q；②p或q；③p且(﹁q)；④(﹁p)或q中，真命题是________．(填序号)‎ 解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p且q为假命题；②p或q为真命题；③﹁q为真命题，则p且(﹁q)为真命题；④﹁p为假命题，则(﹁p)或q为假命题．‎ 答案：②③‎ ‎3．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为________．‎ 解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．‎ 答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0‎ ‎4．若p：对任意的x∈R，ax2＋4x＋1>0是假命题，则实数a的取值范围为________．‎ 答案：(－∞，4]‎ ‎　　　　　　全称命题与特称命题(多维探究)‎ 角度一　全称命题、特称命题的否定 ‎ (1)(2020·西安模拟)命题“对任意的x＞0，＞0”的否定是(　　)‎ A．存在x＜0，≤0　　　 B．存在x＞0，0≤x≤1‎ C．对任意的x＞0，≤0 D．对任意的x＜0，0≤x≤1‎ ‎(2)已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为　(　　)‎ A．存在m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 B．对任意的m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 C．存在m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 D．对任意的m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 ‎【解析】　(1)因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤1，故选B.‎ ‎(2)由特称命题的否定可得﹁p为“对任意的m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)D 角度二　全称命题、特称命题的真假判断 ‎ (1)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．对任意的x∈R，x2≥0 B．对任意的x∈R，2x－1＞0‎ C．存在x∈R，lg x＜1 D．存在x∈R，sin x＋cos x＝2‎ ‎(2)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．对任意的x∈R，ex＞0 B．对任意的x∈N，x2＞0‎ C．存在x∈R，ln x＜1 D．存在x∈N＋，sin x＝1‎ ‎【解析】　(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．‎ ‎(2)对于B.当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B ‎ ‎(1)全称命题与特称命题的否定 ‎①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；‎ ‎②否定结论：对原命题的结论进行否定．‎ ‎(2)全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 ‎ [提醒]　因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．　 ‎ ‎　(2020·河南八所重点高中第二次联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：对任意的f(x)∈A，|f(x)|∈B，则﹁p为(　　)‎ A．对任意的f(x)∈A，|f(x)|∉B B．对任意的f(x)∉A，|f(x)|∉B C．存在f(x)∈A，|f(x)|∉B D．存在f(x)∉A，|f(x)|∉B 解析：选C.全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：对任意的f(x)∈A，|f(x)|∈B，得綈p为存在f(x)∈A，|f(x)|∉B，故选C.‎ ‎　　　　　　含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)‎ ‎ (2020·惠州调研)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p且q是真命题”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p且q是真命题．必要性：p且q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．‎ ‎【答案】　B 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 ‎　 (2019·高考全国卷Ⅲ改编)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：对任意的(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题 ‎①p或q　②﹁p或q　③p且﹁q　④﹁p且﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)‎ A．①③ B．①②‎ C．②③ D．③④‎ 解析：选A.通解：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p或q和p且﹁q正确．故选A.‎ 优解：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p或q和p且綈q正确．故选A.‎ ‎　　　　　　由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)‎ ‎ 已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：对任意的x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【解】　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.‎ 所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．‎ ‎【迁移探究1】　(变问法)在本例条件下，若p且q为真，求实数m的取值范围．‎ 解：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；‎ 当q是真命题时，有－2＜m＜2，‎ 由可得－2＜m＜0.‎ ‎【迁移探究2】　(变问法)在本例条件下，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．‎ 解：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．‎ 当p真q假时所以m≤－2；‎ 当p假q真时所以0≤m＜2.‎ 所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．‎ 根据命题的真假求参数取值范围的策略 ‎(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题．‎ ‎(2)含逻辑联结词问题：‎ ‎①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎②根据题意确定每个命题的真假；‎ ‎③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．　 ‎ ‎1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)若命题“对任意的x∈，1＋tan x≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：根据题意得不等式1＋tan x≤m，对任意的x∈恒成立，因为y＝1＋tan x在x∈上为增函数，所以(1＋tan x)max＝1＋tan ＝1＋，则有m≥1＋，即实数m的取值范围是[1＋，＋∞)．‎ 答案：[1＋，＋∞)‎ ‎2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．‎ 答案：(－∞，－12)∪(－4，4)‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为(　　)‎ A．任意常数列不是等比数列 B．存在常数列是等比数列 C．任意常数列都是等比数列 D．不存在常数列是等比数列 解析：选C.因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C.‎ ‎2．已知f(x)＝sin x－x，命题p：存在x∈，f(x)<0，则(　　)‎ A．p是假命题，﹁p：对任意的x∈，f(x)≥0‎ B．p是假命题，﹁p：存在x∈，f(x)≥0‎ C．p是真命题，﹁p：对任意的x∈，f(x)≥0‎ D．p是真命题，﹁p：存在x∈，f(x)≥0‎ 解析：选C.易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：存在x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：对任意的x∈，f(x)≥0，故选C.‎ ‎3．(2020·河北唐山第一次模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图像关于原点对称；命题q：g(x)＝xcos x的图像关于y轴对称．则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．﹁p　　　　　　　　　　 B．q C．p且q D．p且(﹁q)‎ 解析：选D.对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图像关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcos x，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x＝－g(x)，为奇函数，其图像关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命题，p且q为假命题，p且(﹁q)为真命题，故选D.‎ ‎4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是(　　)‎ A．“p或q”为真命题 B．“p且q”为真命题 C．“﹁p”为真命题 D．“﹁q”为假命题 解析：选A.由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A.‎ ‎5．(2020·湖南株洲二模)已知命题p：对任意的x>0，ex>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p且q B．(﹁p)且q C．p且(﹁q) D．(﹁p)且(﹁q)‎ 解析：选C.令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，所以f(x)>f(0)＝0，所以ex>x＋1，命题p为真命题；‎ 令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝－1＝，x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，所以g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以q假．故选C.‎ ‎6．下列说法错误的是(　　)‎ A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”‎ B．若命题p：存在x∈R，x2＋x＋1<0，则﹁p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0‎ C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥”的充要条件 D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假 解析：选D.由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．‎ ‎7．(2020·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是(　　)‎ A．p为假命题 B．﹁q为真命题 C．p或q为真命题 D．p且q为假命题 解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然有存在x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝在R上是增函数，q为假命题．所以p或q为假命题，故选C.‎ ‎8．有四个关于三角函数的命题：‎ P1：存在x∈R，sin x＋cos x＝2；‎ P2：存在x∈R，sin 2x＝sin x；‎ P3：对任意的x∈， ＝cos x；‎ P4：对任意的x∈(0，π)，sin x＞cos x.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．P1，P4　　　　　　　　 B．P2，P3‎ C．P3，P4 D．P2，P4‎ 解析：选B.因为sin x＋cos x＝sin ，所以sin x＋cos x的最大值为，可得不存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立，得命题P1是假命题；‎ 因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin 2x＝sin x成立，故命题P2是真命题；‎ 因为＝cos2x，所以 ＝|cos x|，结合x∈得cos x≥0，由此可得 ＝cos x，得命题P3是真命题；‎ 因为当x＝时，sin x＝cos x＝，不满足sin x＞cos x，‎ 所以存在x∈(0，π)，使sin x＞cos x不成立，故命题P4是假命题．‎ 故选B.‎ ‎9．已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或(綈q)，则其中真命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命题．所以p或q，p且(﹁q)，(﹁p)或(﹁q)是真命题，故选C.‎ ‎10．有下列四个命题：‎ ‎(1)命题p：对任意的x∈R，x2＞0为真命题；‎ ‎(2)设p：＞0，q：x2＋x－2＞0，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题；‎ ‎(4)非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.‎ 其中真命题有(　　)‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 解析：选C.对于(1)，对任意的x∈R，x2≥0，故(1)为假命题；‎ 对于(2)，设p：＞0，q：x2＋x－2＞0，可得p∶x＞0或x＜－2；q：x＞1或x＜－2.由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故(2)为假命题；‎ 对于(3)，命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题为：若ab≠0，则a≠0且b≠0，‎ 其否命题是真命题，故(3)为假命题；‎ 对于(4)，非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，‎ 可设＝a，＝b，＝a＋b，＝a－b，可得△OAB为等边三角形，‎ 四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得a与a＋b的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.‎ ‎11．若命题p的否定是“对任意的x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p可写为____________________．‎ 解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．‎ 答案：存在x∈(0，＋∞)，≤x＋1‎ ‎12．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p且q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________．‎ 解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，‎ 因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，‎ 又因为“p且q”为假，所以p为假，故－31是x>2成立的充分不必要条件 C．p：x＋的最小值是6；q：直线l：3x＋4y＋6＝0被圆(x－3)2＋y2＝25截得的弦长为3‎ D．p：抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2，0)；q：过椭圆＋＝1的左焦点的最短的弦长是3‎ 解析：选B.A.y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．则命题p是假命题，易知q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．‎ B．判别式Δ＝1－4＝－3<0，则对任意的x∈R，x2＋x＋1≥0成立，即p是真命题，x>1是x>2成立的必要不充分条件，即q是假命题，则“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘﹁q’为真”，故B满足题意．‎ C．当x<0时，x＋的最小值不是6，则p是假命题，圆心到直线的距离d＝＝＝3，则弦长＝2＝8，则q是假命题，则p或q为假命题，不满足题意．‎ D．抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2，0)，则p是真命题，椭圆的左焦点为(－1，0)，当x＝－1时，y2＝，则y＝±，则最短的弦长为×2＝3，即q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．故选B.‎ ‎2．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：‎ ‎①p或q；②p且q；③(﹁p)且(﹁q)；④(﹁p)或q.‎ 其中为假命题的序号为________．‎ 解析：显然命题p为真命题，﹁p为假命题．因为f(x)＝x2－x＝－，所以函数f(x)在区间上单调递增．所以命题q为假命题，﹁q为真命题．所以p或q为真命题，p且q为假命题，(﹁p)且(﹁q)为假命题，(﹁p)或q为假命题．‎ 答案：②③④‎ ‎3．若存在x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．‎ 解析：因为存在x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，所以对任意的x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即对任意的x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.‎ 答案：(－∞，2]‎ ‎4．已知命题p：对任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p且(﹁q)是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：因为对任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.若命题p且(﹁q)是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以解得2≤a≤或a≥3，则实数a的取值范围是∪[3，＋∞)．‎ 答案：∪[3，＋∞)‎