数学理卷·2017届湖北省枣阳市白水高级中学高三上学期第一次模拟考试（2017

数学理卷·2017届湖北省枣阳市白水高级中学高三上学期第一次模拟考试（2017

枣阳市白水高中2017届高三上学期第一次模拟考试理科数学试题 ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 命题人： 审核人： 2017年1月4日下午15：00-17：00‎ 第Ⅰ卷　选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，全集，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，，则下列结论正确的是（ ）‎ A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 ‎4．过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎5．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是，动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设，与的函数关系为，则的大致图象是（ ）‎ ‎6．设，且，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．不等式组的解集记为，有下面四个命题：‎ ‎；；‎ ‎；.‎ 其中的真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于，若抛物线上一动点到其准线与到点 的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎9．已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱 上的任意一点，则直线与直线所成的角为（ ）‎ A. B. C. D.与点的位置有关 ‎11．已知函数，若是的一个单调递增区间，则的取值范围是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 A．6,4, 1,7 B．7,6,1,4‎ C．4,6,1,7 D．1,6,4,7‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知分别是的中线，若，且，则与的夹角为 .‎ ‎14．在四边形中，，，则的最大值为 .‎ ‎15．已知函数，若方程有三个不同的解，且，则的取值范围是 .‎ ‎16．表示一个三位数，记，如，则满足的三位数共有 ‎______个．‎ 三．解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分)‎ ‎17．设是数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等比三角形，过作平面平行于，交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若四边形是正方形，且，求二面角的余弦值.‎ ‎19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：，总有.‎ ‎21．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线 的左焦点在直线上.‎ ‎（1）若直线与曲线交于两点，求的值；‎ ‎（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）‎ 如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点， ，交的延长线于点，交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：是圆的切线；‎ ‎（Ⅱ）若的半径为，，求的值.‎ ‎23．选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的倾斜角的值．‎ ‎24．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．CBDAA 6．DCCDC. 11．CA ‎13． 14． 15． 16．9‎ ‎17．（1）；（2）.‎ ‎（1）当时，由，得：，‎ 两式相减，得：，∴，∴.‎ 当时，，，则，‎ ‎∴数列是以为首项，公比为3的等比数列，∴.‎ ‎（2）由（1）得：，‎ ‎∴①‎ ‎②‎ ‎①-②得：‎ ‎∴.‎ ‎18．（1）证明见解析；（2）.‎ ‎（1）证：连结，设与相交于点，‎ 连接，则为中点，‎ ‎∵平面，平面平面，‎ ‎∴，∴为的中点，‎ 又∵是等边三角形，∴，‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又，，所以，又，所以平面，‎ 设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 则，‎ 即，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得，‎ ‎∴，‎ 故所求二面角的余弦值是.‎ ‎19．（1）；（2）或.‎ ‎（1）设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，得，‎ 而的周长为，‎ 当且仅当过点时，等号成立，‎ 所以，即，又离心率为，所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.‎ 设，则，‎ 且，，所以②‎ 令，则②式可化为.‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎20．（1）；（2）证明见解析.‎ ‎（1）由已知得，‎ 因为函数存在单调增区间，所以方程有解.‎ 而恒成立，即有解，所以，‎ 又，所以.‎ ‎（2）因为，所以，所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 又对于任意，，‎ 要证原不等式成立，只要证，‎ 只要证，对于任意上恒成立，‎ 设函数，，‎ 则，‎ 当时，，即在上是减函数，‎ 当时，，即上是增函数，‎ 所以，在上，，所以.‎ 所以，，（当且仅当时上式取等号）①‎ 设函数，，则，‎ 当时，，即在上是减函数，‎ 当时，，即在上是增函数，‎ 所以在上，，所以，即，‎ ‎（当且仅当时上式取等号）②，综上所述，，‎ 因为①②不能同时取等号，所以，在上恒成立，‎ 所以，总有成立.‎ ‎21．（1）；（2）.（1）曲线的直角坐标方程为.‎ 左焦点，代入直线的参数方程，得，‎ 直线的参数方程是（为参数），‎ 代入椭圆方程得，所以.‎ ‎（2）设椭圆的内接矩形的顶点为，，‎ ‎，，，‎ 所以椭圆的内接矩形的周长为，‎ 当时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.‎ ‎22. 解：‎ ‎（1）连接，可得，∴， …………3分 又，∴，又为半径，∴是圆的切线 ………5分 ‎（2）连结BC，在中，‎ ‎ …………7分 又∵‎ 由圆的切割线定理得： …………10分 ‎23.解：‎ ‎（1）∵ ‎ ‎…………3分 ‎∴，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为。 …………5分 ‎（2）当时，，‎ ‎∴，∴舍 …………6分 当时，设，则，‎ ‎∴圆心到直线的距离 由 ‎ …………10分 ‎24.解：(Ⅰ)由得，‎ ‎∴‎ ‎∴不等式的解集为 …………4分 ‎(Ⅱ)令 则，∴ ……………8分 ‎∵存在x使不等式成立，∴ …………10分