高考数学试题辽宁卷理科

高考数学试题辽宁卷理科

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数 学（理科）全解全析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，，则（ ）‎ A． B．{5} C． D． ‎ 解析：B ‎2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选C ‎3．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ 解析：因为，所以向量与垂直，选D ‎4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．63 B．‎45 ‎ C．36 D．27‎ 解析：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B ‎5．若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：取θ=π得=-1+i，第二象限，选B ‎6．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：函数为，令得平移公式，所以向量，选A ‎7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 解析：由有关性质排除A、B、D，选C ‎8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，选A ‎9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D ‎10．设是两个命题：，则是的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：p：或，q：，结合数轴知是的充分而不必要条件，选A ‎11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：因为，设，根据双曲线定义得，所以，，为直角三角形，其面积为，选B ‎12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）‎ A．0是的极大值，也是的极大值 B．0是的极小值，也是的极小值 C．0是的极大值，但不是的极值 D．0是的极小值，但不是的极值 解析：根据题意和图形知当0是的极大值时，不是的极值是不可能的，选C 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎13．已知函数在点处连续，则 ．‎ 解析：因为在点处连续，所以，填-1‎ ‎14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= ．‎ 解析：椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，由已知M为PF中点，M（，所以 ‎15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．‎ 解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为 ‎16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．‎ 解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数（其中）‎ ‎（I）求函数的值域；‎ ‎（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．‎ 本小题主要考查三角函数公式，三角函数图像和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．‎ ‎（I）解：‎ ‎ 5分 由 得 可知函数的值域为。 7分 ‎（II）解：由题设条件及三角函数图像和性质可知，的周期为，又由，得，即得。 9分 于是有，再由，解得 ‎。‎ 所以的单调增区间为 12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）求的长，并求点到平面的距离．‎ 本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力 ‎（I）证明：连结，‎ 三棱柱是直三棱柱，‎ 平面，‎ 为在平面内的射影．‎ 中，，为中点，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎． 4分 ‎（II）解法一：过点作的平行线，‎ 交的延长线于，连结．‎ 分别为的中点，‎ ‎．‎ 又，．‎ ‎．‎ 平面，‎ 为在平面内的射影．‎ ‎．‎ 为二面角的平面角，．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ 作，垂足为，‎ ‎，，‎ 平面，‎ 平面平面，‎ 平面．‎ 在中，，，‎ ‎，即到平面的距离为．‎ ‎，‎ 平面，‎ 到平面的距离与到平面的距离相等，为．‎ 解法二：过点作的平行线，交的延长线于，连接．‎ 分别为的中点，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ 平面，‎ 是在平面内的射影，‎ ‎．‎ 为二面角的平面角，．‎ 在中，，，‎ ‎． 8分 设到平面的距离为，‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即到平面的距离为． 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：‎ 市场情形 概率 价格与产量的函数关系式 好 ‎0.4‎ P=164-3q 中 ‎0.4‎ P=101-3q 差 ‎0.2‎ p=70-3q 设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定时的利润．‎ ‎（I）分别求利润与产量的函数关系式；‎ ‎（II）当产量确定时，求期望；‎ ‎（III）试问产量取何值时，取得最大值．‎ 本小题主要考查数学期望，利用导数求多项式函数最值等基础知识，考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力．‎ ‎（I）解：由题意可得 ‎ ‎ 同理可得 ‎ 4分 ‎（II）解：由期望定义可知 ‎ 8分 ‎（III）解：由（II）可知是产量的函数，设 得令解得 由题意及问题的实际意义可知，当时，取得最大值，即最大时的产量为10. ‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是Δ的外接圆（点为圆心）‎ ‎（I）求圆的方程；‎ ‎（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．‎ 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．‎ ‎（I）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知 ‎．‎ 解得，‎ 所以，或，．‎ 设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为 ‎． 4分 解法二：设两点坐标分别为，，由题设知 ‎．‎ 又因为，，可得．即 ‎．‎ 由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．‎ 设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． 4分 ‎（II）解：设，则 ‎． 8分 在中，，由圆的几何性质得 ‎，， 10分 所以，由此可得 ‎．‎ 则的最大值为，最小值为． 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列，与函数，，满足条件：b1=b，an=.‎ ‎（I）若f(x)=tx+1,t≠0,t≠2，，，且存在，求t的取值范围；并求（用表示）‎ ‎（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，an+1k时，即在闭区间上成立即可。因为在闭区间上连续，故在闭区间上有最大值，设其为k，于是在t>k时，在闭区间上恒成立，‎ 即在闭区间上为减函数。 7分 ‎（III）设，即 ‎， ‎ 易得 ‎。 9分 令，则，易知。当时，；当时，。故当时，取最小值，。所以 ‎，‎ 于是对任意的，都有，即。 12分