2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

黑龙江省大庆中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题 评卷人 得分 一、选择题 ‎1．已知，集合， ，若，则（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】集合， ，若.‎ 所以，解得.‎ 所以，解得.‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎2．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线，令，得到在轴上的截距为；‎ 令，得到在轴上的截距为.‎ 故选C.‎ ‎3．已知为实数，且成等差数列， 成等比数列，则的值是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】成等差数列， 成等比数列，设公差为，公比为 由成等差数列，可得： .所以 成等比数列，可得： .所以 所以， .‎ 得.‎ 故选B.‎ ‎4．某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是，如图（2）所示，其中， ，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由俯视图的直观图可得原图形：为边长为4的等边三角形.‎ 可得原几何体为四棱锥P−ABC.其中PC⊥底面ABC.‎ ‎∴该几何体的体积为 故选：A.‎ ‎5．为了得到函数的图像，只需把的图像上所有的点（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】把的图像上所有的点向右平移个单位长度，‎ 有： .‎ 故选D.‎ ‎6．直线，直线与垂直，且直线与平行，则（ ）‎ A. -4 B. -3 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为直线与平行，并且直线，‎ 所以.‎ 又因为直线与垂直，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故选B.‎ 点睛：两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：‎ 垂直： ；‎ 平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！‎ ‎7．已知为原点，点的坐标分别是和其中常数，点在线段上，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为点的坐标分别是和 所以 又由点P在线段AB上，且 所以 则⋅，‎ 当t=0时候取最大为.‎ 故选A.‎ ‎8．在中， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】在中， ，由正弦定理可得： ，‎ 不妨设，‎ 则，‎ ‎，‎ 则.‎ 故选：C.‎ ‎9．与函数的图像不相交的一条直线是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，解得， .‎ 当时得： .此时与函数的图像不相交.‎ 故选B.‎ ‎10．函数的图像是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵的图象是如图两条线段,它的定义域是[−1,0)∪(0,1]，‎ 由图象可知： 为奇函数, ，‎ ‎∴不等式，‎ 当时, ，‎ 当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式的解集是： ‎ 故选A.‎ ‎11．设， ， ，则（ ）‎ A. 有最大值8 B. 有最小值-12 C. 有最大值16 D. 有最小值12‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时， 有最小值8.‎ 而，‎ 当且仅当时有最大值16‎ 故答案为C.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎12．已知平面区域如图所示， 在平面区域内取得最小值的最优解有无数多个，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】由题意, 在平面区域内取得最小值的最优解有无数多个, ‎ ‎.‎ 当直线与直线AB重合时有无数最小值.‎ 最优解应在线段AB上取到.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选C.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知点， ，则与向量同方向的单位向量为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵点， ，‎ ‎∴，可得，‎ 因此，与向量同方向的单位向量为： ‎ 故答案为： ‎ ‎14．设且，求的最小值__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，‎ ‎.‎ 当且仅当，即时， 取最小值.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎15．过点且被圆截得弦长为8的直线的一般方程是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】圆心.‎ 圆心到弦的距离 若直线斜率不存在，则垂直x轴 x=3，圆心到直线距离=|0−3|=3，成立 若斜率存在，设为： 即： ‎ 则圆心到直线距离 解得 综上： 或 故答案为： 或.‎ ‎16．如图，正方体中， 分别是的中点，则与平面所成的角的正切值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作FO⊥BC，交BC于点O，连结EO，‎ ‎∵正方体中， 分别是的中点，‎ ‎∴O是BC的中点，且FO⊥面ABCD，‎ ‎∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角，‎ 设正方体的棱长为a，‎ 则，‎ ‎∴‎ 故答案为： .‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知集合， ，全集.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简，，从而求得； （2）分类讨论，从而确定的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）， ，‎ ‎.‎ ‎（2）①当时， ，此时；‎ ‎②当时， ，则 综合①②，的取值范围是.‎ ‎18．在中，记， 的面积为，且， .‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）函数的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）， .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件可得，即，从而解得的范围；‎ ‎（2）化简函数的解析式为,代入（1）的范围求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）， ‎ ‎（2）， ， ‎ ‎(1)∵，‎ ‎∴.∴所求的的取值范围是.‎ ‎(2)∵, ，‎ ‎.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面， ， 是的中点.‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）证明： 平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）记中点为，连，由中位线定理可得，即可证明；‎ ‎（2）由平面可得，又，得平面，进而平面， ，再由及证得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）记中点为，连，由分别为中点，∴‎ 又平面， 平面，∴平面.‎ ‎（2）由平面，∴，又 ‎∴平面， ‎ 由， 为中点，故 ‎∴平面.‎ ‎20．在中，角所对的边分别为，已知， .‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简条件得： ，即可得角；‎ ‎（2）由余弦定理可得，再结合条件可得，进而得，再由正弦定理求得，进而可求面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以，‎ 解得： ， 舍去，所以，又，所以 ‎（2）在中，因为，由余弦定理得： ‎ 又，所以，所以，‎ 又因为，由正弦定理 得： ，所以.‎ ‎21．已知数列的前项和为，且满足， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的前项和为.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由可得，由等比数列可求通项公式；‎ ‎（2）利用错位相减即可求和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴， ，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ 又，即，‎ ‎∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴两式相减得： ‎ ‎∴.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎22．已知， ，动点满足.设动点的轨迹为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；‎ ‎（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）轨迹是以为圆心，2为半径的圆；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直接法，设出点坐标列方程即可；‎ ‎（2）由直线与圆有公共点可得，即可解得；‎ ‎（3）根据题意有，坐标化可得，进而直线和圆联立，由韦达定理代入求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 化简可得： ，轨迹是以为圆心，2为半径的圆 ‎（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为 ‎∴， ‎ ‎（3）假设存在，联立方程，得，‎ 设，则， ，‎ ‎，∴‎ ‎，得，‎ 且满足，‎ ‎∴.‎ 点睛：求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．‎ ‎（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．‎ ‎（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．‎