高中数学必修2教案：2_1_1平面 (2)

高中数学必修2教案：2_1_1平面 (2)

第一课时 平 面 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图 （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识. 3．情感、态度与价值观 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣. （二）教学重点、难点 重点：1、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 难点：平面基本性质的掌握与运用. （三）教学方法 师生共同讨论法 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 日常生活中有哪些东西给我 们以平面的形象？ 师：生活中常见的如黑板、 平整的操场、桌面，平静的湖 面等，都给我们以平面的印象， 你们能举出更多的例子吗？ 引导学生观察、思考、举例和 相交交流，教师对学生活动给 予评价，点出主题. 培 养 学 生 感性认识 探索新知 1．平面的概念 随堂练习 判定下列命题是否 正确： ①书桌面是平面； ②8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是 50m， 师：刚才大家所讲的一些 物体都给我们以平面的印象， 几何里所说的平面就是从这 样的一些物体中抽象出来的， 但是，几何里的平面是向四周 无限伸展的，现在请大家判定 下列命题是否正确？ 加 深 学 生 对 平 面 概 念的理解. 宽是 20m； ④平面是绝对的平，无厚度， 可以无限延展的抽象的数学概念. 生：平面是没有厚度，无 限延展的；所以①②③错误； ④正确. 探索新知 2．平面的画法及表示 （1）平面的画法 通常我们把水平的平面画成 平行四边形，用平行四边形表示 平面，其中平行四边形的锐角通 常画成 45°，且横边长等于其邻 边长的 2 倍.如果一个平面被另一 个平面遮挡住. 我们常把被遮挡 的部分用垂线画出来. （2）平面的表示 法 1：平面 ，平面 . 法 2：平面 ABCD，平面 AC 或平面 BD. （3）点与平面的关系 平面内有无数个点，平面可看成 点的集合. 点 A 在平面 内，记 作：A . 点 B 在平面外，记作： B . 师：在平面几何中，怎样 画直线？(一学生上黑板画) 师：这位同学画的实质上 是直线的部分，通过想象两端 无限延伸而认为是一条直线， 仿照直线的画法，我们可以怎 样画一个平面？ 生：画出平面的一部分， 加以想象，四周无限延展，来 表示平面. 师：大家画一下. 学生动手画平面，将有代 表性的画在黑板上，教师给予 点评，并指出一般画法及注意 事项(作图) 加 深 学 生 对 平 面 概 念的理解， 培 养 学 生 知 识 迁 移 能力，空间 想 象 能 力 和 发 散 思 想能力. 探索新知 3．平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的 两点在一个平面内，那么这条直 线在此平面内 （1）公理 1 的图 形如图 （2）符号表示为： （3）公理 1 的作用：判断直线是否 在平面内. 公理 2 ：过不在一条直线上的 三点有且只有一个平面. 师：我们下面学习平面的 基本性质的三个公理.所谓公 理，就是不必证明而直接被承 认的真命题，它们是进一步推 理的出发点和根据. 先研究下 列问题：将直线上的一点固定 在平面上，调整直线上另一点 的位置，观察其变化，指出直 线在何时落在平面内. 生：当直线上两点在一个 平面内时，这条直线落在平面 内. 师：这处结论就是我们要 讨论的公理 1（板书） 师：从集合的角度看，公 通过实验， 培 养 学 生 观察、归纳 能 力 . 加 深 学 生 对 公 理 的 理 解 与记忆. 加 强 α β α α∈ α∉ A l B l lA B αα α ∈  ∈  ⇒ ⊂∈  ∈  （1）公理 2 的图形如图 （2）符号表 示为：C 直线 AB 存在惟一 的平面 ， 使得 注意：（1）公理中“有且只 有一个”的含义是：“有”，是说 图形存在，“只有一个”，是说图 形惟一，“有且只有一个平面”的 意思是说“经过不在同一直线上 的三个点的平面是有的，而且只 有一个”，也即不共线的三点确定 一个平面. “有且只有一个平面”也可以说 成“确定一个平面.” （2）过 A、B、C 三点的平面可记 作“平面 ABC” 公理 3：如果两个不重合的 平面有一个公共点，那么它们有 理 1 就是说，如果一条直线 （点集）中有两个元素（点） 属于一个平面（点集），那么 这条直线就是这个平面的真 子集. 直线是由无数个点组成 的集合，点 P 在直线 l 上，记 作 P∈l；点 P 在直线 l 外，记 作 P l；如果直线 l 上所有 的点都在平面 内，就说直线 l 在平面 内，或者说平面 经过直线 l，记作 l ，否则 就说直线 l 在平面 外，记作 . 下面请同学们用符号表 示公理 1. 学生板书，教师点评并完 善. 大家回忆一下几点可以 确定一条直线 生：两点可确定一条直线. 师：那么几点可以确定上 个平面呢？ 学生思考，讨论然后回答. 生 1：三点可确定一个平 面 师：不需要附加条件吗？ 生 2：还需要三点不共线 师：这个结论就是我们要 讨论的公理 2 师投影公理 2 图示与符 号表示，分析注意事项. 师：下面请同学们观察教 室的天花板与前面的墙壁，思 考这两个平面的公共点有多 少个？它们有什么特点. 学 生 对 知 识的理解， 培 养 学 生 语言（符号 图形）的表 达能力. 学 生 在 观 察、实验讨 论 中 得 出 正确结论， 加 深 了 对 知 识 的 理 解，还培养 了 他 们 思 维 的 严 谨 性. ∉ ⇒ α A B C α α α ∈  ∈  ∈ ∉ α α α α⊂ α l α⊄ 且只有一条过该点的公共直线. （1）公理 3 的图形如图 （2）符号表示为： （3）公理 3 作用：判断两个平面 是否相交. 生：这两个平面的无穷多 个公共点，且所有这些公共点 都在一条直线上. 师：我们把这条直线称为 这两个平面的公共直线.事实 上，如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有且只 有 一 条 过 该 点 的 公 共 直 线 . （板书）这就是我们要学的 公理 3. 典例分析 例 1 如图，用符号表示下图 图形中点、直线、平面之间的位 置关系. 分析：根据图形，先判断点、 直线、平面之间的位置关系，然 后用符号表示出来. 解：在（1）中， ， ， . 在（2）中， ， ， ， ， . 学生先独立完成，让两个学生 上黑板，师生给予点评 巩 固 所学知识 随堂练习 1．下列命题正确的是（ ） A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确 定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条 直线确定一个平面 2．（1）不共面的四点可以确 定几个平面？ （2）共点的三条直线可以确 定几个平面？ 3．判断下列命题是否正确， 学生独立完成 答案： 1．D 2．（1）不共面的四点可 确定 4 个平面. （2）共点的三条直线 可确定一个或 3 个平面. 3．（1）×（2）√（3） √（4）√ 4．（1）A ，B . （2）M ，M . （3）a ，a . 巩 固 所学知识 lP P l α βα β =∈ ⇒  ∈  lα β = a Aα = a Bβ = lα β = a α⊂ b β⊂ a l P= b l P= α∈ α∉ α∉ α∈ α⊂ β⊂ 正确的在括号内画“√”，错误的 画“×”. （1）平面 与平面 相交， 它们只有有限个公共点. （ ） （2）经过一条直线和这条直 线外的一点，有且只有一个平面. （ ） （3）经过两条相交直线，有 且只有一个平面. （ ） （4）如果两个平面有三个不 共线的公共点，那么这两个平面 重合. （ ） 4．用符号表示下列语句，并 画出相应的图形： （1）点 A 在平面 内，但点 B 在平面 外； （2）直线 a 经过平面 外的 一点 M； （3）直线 a 既在平面 内， 又在平面 内. 归纳总结 1．平面的概念，画法及表示方法. 2．平面的性质及其作用 3．符号表示 4．注意事项 学生归纳、总结教学、补 充完善. 回顾、 反思、归纳 知识，提升 自 我 整 合 知 识 的 能 力，培养思 维 严 谨 性 固化知识， 提升能力. 课后作业 2.1 第一课时 习案 学生独立完成 备选例题 例 1 已知：a，b，c，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a，b，c 相交于一点 A， 但 A∉d，如图 1．∴直线 d 和 A 确定一个平面α． 又设直线 d 与 a，b，c 分别相交于 E，F，G， α β α α α α β 则 A，E，F，G∈α． ∵A，E∈α，A，E∈a，∴a α． 同理可证 b α，c α． ∴a，b，c，d 在同一平面α内． 2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图 2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线 a，b 确定一个平 面α． 设直线 c 与 a，b 分别交于点 H，K，则 H，K∈α． 又 H，K∈c，∴c α． 同理可证 d α． ∴a，b，c，d 四条直线在同一平面α内． 说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理 3 或推论，由题给条件 中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理 1 证明其余的线(或点)均在这个平面内．本 题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话 的含义． 例 2 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC、BD 交于 点 M，求证：点 C1、O、M 共线. 分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示 A1A∥C1C 确定平面 A1C A1C 平面 A1C 又 O∈A1C 平面 BC1D∩直线 A1C = O O∈平面 BC1D O 在平面 A1C 与平面 BC1D 的交线上. ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⇒ ⊂ ⇒ ⇒ ⇒ O∈平面 A1C M O B1 C1 D1 A1 D C BA α ba d cGFE A a b c d α H K 图 1 图 2 AC∩BD = M M∈平面 BC1D 且 M∈平面 A1C 平面 BC1D∩平面 A1C = C1M O∈C1M，即 O、C1、M 三点共线. 评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可 根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上. ⇒ ⇒