内蒙古杭锦后旗奋斗中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

内蒙古杭锦后旗奋斗中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

奋斗中学2018-2019学年第一学期期末考试 高二数学（理）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为(　　)‎ A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 ‎2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎3．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为(　　)‎ A． B． C． D． (k∈Z)‎ ‎4．极坐标方程所表示的曲线是（ ）‎ A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线 ‎5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( )‎ A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0>0‎ C．对任意的x∈R, 2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0‎ ‎6．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是 ( )‎ A． ‎ B． ‎ C． D． ‎ ‎7．有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号为（ ）‎ A． 5, 17, 29, 41, 53 B． 5, 12, 31, 39, 57‎ C． 5, 15, 25, 35, 45 D． 5, 10, 15, 20, 25‎ ‎8．“”是“”的( )‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎9．双曲线x2－4y2＝4的焦点坐标为(　　)‎ A． (±，0) B． (0，±)‎ C． (0，±) D． (±，0)‎ ‎10.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ）‎ A.　1 　　　B.　 　　 C.　　　 D.　‎ ‎11．在长为10 cm的线段AB上任取一点G,以AG为半径作圆,则圆的面积介于36π与64π cm2的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ 二、填空题（每空5分，共20分）‎ ‎13．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位 ‎ 数相同，则甲组数据的平均数为______________．‎ ‎14．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．‎ ‎15．执行如图所示的程序框图，则输出的S为________．‎ ‎16．设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列条件：‎ ‎①y＝f(x)为偶函数．‎ ‎②y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．‎ ‎③T＝2为y＝f(x)的一个周期．‎ 如果将上面的①②③中的任意两个作为条件，余下一个作为结 论，那么构成的三个命题中，真命题有________个．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.（10分）高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.‎ ‎(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；‎ ‎(2)求射击一次，至少命中8环的概率；‎ ‎(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．‎ ‎18.（12分）设方程（为参数）表示曲线.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程，并说明它的轨迹；‎ ‎（2）求曲线上的动点到坐标原点距离的最小值.‎ 参考公式 ‎19．某研究机构对某校高二文科学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据．‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎20.某中学为弘扬优良传统，展示80年来的办学成果，特举办“建校80周年教育成果展示月”‎ 活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者，在众多候选人中选取100名志愿者，为了在志愿者中选拔出节目主持人，现按身高分组，得到的频率分布表如图所示 ‎（1）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；‎ ‎（2）为选拔出主持人，决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台，求第3、4、 5组每组各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵，求第3组至少有一人被抽取的概率？‎ ‎21.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,异面直 线 A1B与B1C1所成的角为60°.‎ ‎(1)求该三棱柱的体积;‎ ‎(2)设D是BB1的中点,求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.‎ ‎22．如右图所示，直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线 相交于A，B两点．‎ ‎(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；‎ ‎(2)求线段AB的长的最小值.‎ 奋斗中学2018-2019学年第一学期期末考试 高二数学（理）答案 ‎1．D 2．A 3．C 4．C 5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10.C 11.D 12.D ‎13．31 14．4 15．86. 16．3‎ ‎ 17设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．‎ 由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.‎ ‎(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.‎ ‎(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.‎ ‎(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，‎ ‎∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.‎ ‎18.（1）∵‎ ‎∴两式平方相加，得，‎ ‎∴曲线的普通方程是，‎ 它表示以为圆心，1为半径的圆.‎ ‎（2）设圆上的动点为，‎ 则 ‎，‎ ‎∴当时，.‎ ‎(1)散点图如图所示．‎ ‎(2)＝＝9，＝＝4，‎ ‎ (xi－)(y－)＝(－3) ×(－2)＋(－1) × (－1)＋1×1＋3×2＝14‎ ‎ (xi－)2＝(－3)2＋(－1)2＋1＋32＝20，所以＝＝0.7，‎ ‎＝－＝4－0.7×9＝－2.3，‎ 故线性回归方程为＝0.7x－2.3.‎ ‎20．第二组的频数为，故第三组的频数为，故第三组的频率为，第五组的频率为，补全后频率分布表为：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第二组 ‎ ‎ ‎ ‎ 第三组 ‎ ‎ ‎ ‎ 第四组 ‎ ‎ ‎ ‎ 第五组 ‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ 频率分布直方图为：‎ ‎（2）第三组、第四组、第五组的频率之比，故第三组、第四组、第五组抽取的人数分别为.‎ ‎（3）设第三组中抽取的三人为，第四组中抽取的两人为，第五组中抽取的一人为，则6人中任意抽取两人，所有的基本事件如下：‎ ‎，‎ 故第三组中至少有1人被抽取的概率为.‎ ‎21．(1)如图,以A点为原点,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.‎ 设AA1=h,则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,h),则=(-1,0,h),=(-1,1,0).‎ 因为直线A1B与B1C1所成的角为60°,所以|cos<>|=,解得h=1.于是三棱柱体积V=Sh=×1×1=.‎ ‎(2)由(1)知=(-1,0,1),C1(0,1,1),=(-1,1,1).‎ 设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),则可取n=(1,0,1).‎ 又因为D.于是sin θ=|cos<,n>|=,‎ 所以DC1与平面A1BC1所成角的正弦值为.‎ ‎22．由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．‎ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点A′，B′.（1）由抛物线的定义可知，．‎ ‎∵|AF|＝4，∴，∴∴．‎ ‎∴点A的坐标为或．‎ ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去y，整理得，因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以k≠0.‎ 设方程的两根为x1，x2，则，‎ 由抛物线的定义可知，．‎ ‎②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为x＝1，与抛物线相交于点A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.综上可得|AB|≥4，所以线段AB的长的最小值为4．‎