河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ 理科数学（ PDF版含答案）
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理科数学试题
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2019年全国高三统一联合考试
理科数学
本试卷4页,23小题,满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.
全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
3.
回答选择题时,选出每小题答案后,用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用
0.5mm
黑色笔迹
签字笔写在答题卡上。
4.
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分
.
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的
.
1.
已知
i
为虚数单位,复数1+ai
2-i
是纯虚数,则实数a 等于
A.2 B.1
2 C.-2 D.-1
2
2.
已知集合 A= x 1-2x
x+3 <0}{ ,则
∁RA=
A.(-∞,-3]∪ [ 1
2,+∞ ) B.(-∞,-3)∪ ( 1
2,+∞ )
C.[ -3,1
2
] D.( -3,1
2
)
3.
函数f(x)=
x3
2
x
+2
-x 的图像大致为
A
B
C
D
4.
已知等差数列{an }的首项a1=31,公差为d(d 为整数),若数列{an }的前
8
项和最大,则d=
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5
5.
设函数f(x)=e
x
-e
-x
+3,则曲线y=f(x)在x=0
处的切线与坐标轴围成的三角形的面
积为
A.9 B.3
2 C.9
2 D.9
4
6.
已知抛物线C:y2
=2px(p>0)的焦点为F,点 M 是抛物线C 上一点,直线 MF 与抛物线的
准线l交于点N,且FN→=-2FM→,若
|MF|=6,则p=
A.2 B.3 C.4 D.6
7.
在
△ABC 中,O 是
△ABC 的重心,设BA→=a,BC→=b,则AO→=
A.-5
3
a+1
3
b B.1
3
a+1
3
b C.2
3
a+2
3
b D.-2
3
a+1
3
b
8.
一几何体的三视图如图所示,根据图中数据,可得该几何体
的表面积是
A.2(8+3 2)π
B.4(3+2 2)π
C.2(2+3 2)π
D.6(2+ 2)π
9.
已知圆O1:x2
+y2
=4,圆 O2:(x-3)2
+(y-4)2
=r2(r>
0),则“2
0,b>0)的一条渐近线被圆 M :x2
+(y-b)2
=a2 截得的弦
长为a,过C 的右焦点F(c,0)且斜率为
- 3
3
的直线l 与两条渐近线分别交于A,B 两点,O
为坐标原点.若
△OAB 的面积为 3
2 ,则a+b=
A.1+ 3 B.2+ 3 C.2(3+1) D.3 2+ 6
6
12.
在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,点 N 是棱BC 的中点,点 M 在四边
形DCC1D1
内部运动(包括边界).设直线 A1D1
与直线 MN 所成的角
为θ,则当 MN∥
平面BB1D1D 时,tanθ 的取值范围为
A.[1,2] B.[1,5]
C.[2,3] D.[3,5]
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
.
13.
已知实数x,y 满足约束条件
x+y≤5,
3x-2y≥0,
x-2y+1≤0,
ì
î
í
ïï
ïï
则z=3x+y 的最小值为
.
理科数学试题
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14.
已知数列{an }的前n 项和为Sn ,且
2Sn =3an +1,则an = .
15.
已知甲、乙、丙、丁
4
人同时到
5
个不同的地区参加扶贫活动,若每个地区最多有
2
人参加(2
人到同一个地区,不区分
2
人在其中的角色),则甲、乙、丙、丁
4
人参加扶贫活动的不同安排
方式总数是
.
16.
已知f(x)为定义在 R 上的奇函数,当x≥0
时,f(x)=
2
x
-1,0≤x<1,
|x-3|-1,x≥1.{ 若函数g(x)=
f(x)-a(0b>0)的离心率为 2
2 ,F1,F2
分别为E 的左、右焦点,过E 的右
焦点F2
作x 轴的垂线交E 于A,B 两点,△F1AB 的面积为
2.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)是否存在与x 轴不垂直的直线l 与E 交于C,D 两点,且弦CD 的垂直平分线过E 的右
焦点F2? 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由
.
21.(12
分)
已知函数f(x)=e
x
cosx,x∈ 0,π
2
é
ë
êê
ù
û
úú .
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若不等式f(x)≤ax+1
恒成立,试求正实数a 的取值范围
.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,
作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.
22.[选修
4-4:坐标系与参数方程](10
分)
在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为 x=2 5cosθ,
y=2 5+2 5sinθ{ (θ 为参 数).以原 点 O
为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-5-25=0.
(1)求曲线C 的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;
(2)设曲线C 与直线l 交于A,B 两点,若点 P 的 直角坐标为(5,2 5),求
|PA|+|PB|的值
.
23.[选修
4-5:不等式选讲](10
分)
已知函数f(x)=|2x-m|.
(1)若不等式f(x)≤6
的解集为{x|-2≤x≤4},求实数 m 的值;
(2)在(1)的条件下,若不等式f(x)+f(
2
1x+3) ≤a4+b1对一切满足a+b=1
的正实数
a,b 恒成立,求x 的取值范围
.
2019
年全国高三统一联合考试
·理科数学·
参考答案及解析
2019年全国高三统一联合考试·理科数学
一、选择题
1.A
【解析】因为1+ai
2-i=
(1+ai)(2+i)
5 =
(2-a)+(2a+1)i
5
为纯虚数,所以a=2.
故选
A.
2.C
【解析】因为1-2x
x+3 <0⇔(2x-1)(x+3)>0,所以
A= x x>1
2
或x<-3{ } ,所以
∁RA= x -3≤x≤1
2
{ } .
故选
C.
3.A
【解析】由f(-x)=
(-x)3
2
-x
+2
x = -x3
2
x
+2
-x =-f(x),
知f(x)为奇函数,排除
D;当x>0
时,f(x)=
x3
2
x
+2
-x >
0,排 除
B;由 f (4)= 4
3
2
4
+2
-4 > 2
6
2×2
4 =2,f (8)=
8
3
2
8
+2
-8 <2
9
2
8 =2,得f(4)>f(8),排除
C.
故选
A.
4.C
【解析】由题意得
a8≥0,
a9<0,
{ 即 31+7d≥0,
31+8d<0,
{ 所以
-31
7 ≤
d<-31
8
.又d 为整数,所以d=-4.
故选
C.
5.D
【解析】因为f(x)=e
x
-e
-x
+3,所以f'(x)=e
x
+
e
-x
,所以f'(0)=2,f(0)=3,所 以 曲 线 y=f(x)在
x=0
处的切线方程为y=2x+3.在方程y=2x+3
中,
令x=0,得y=3;令y=0,得x=- 3
2
.所以,所求三角
形的面积S= 1
2 ×3× 3
2 = 9
4
.故选
D.
6.C
【解析】 根据抛物线的定义,得p
6 = |NF|
|MF|+|NF|=
12
6+12= 2
3
,所以p=4.
故选
C.
7.D
【解析】由题意得AO→= 1
3
(AB→+AC→)=1
3
(-2BA→+
BC→)=- 2
3
a+ 1
3
b.
故选
D.
8.D
【解析】由三视图可知,该几何体是一圆柱从上面挖
去四个半球,半球的半径是
1,圆柱的高是
1,底面半径是
2+1.
该几何体的表面积
=2π(2+1)2
-4π+2×4π+
2π(2+1)×1=(12+6 2)π.
故选
D.
9.B
【解析】由于两 圆 相 交 的 充 要 条 件 为
30,c>0,所以a2
+c2
≥2ac,
所以a2
+c2
+ 2
3
ac≥2ac+ 2
3
ac= 8
3
ac,
当且仅当a=c 时取“=”. 8
分…………………………
所以 8
3
ac≤b2
=16,即ac≤6. 9
分……………………
因为B∈(0,π),cosB=- 1
3
,
所以
sinB= 1-cos
2B =2 2
3
. 10
分…………………
所以S△ABC = 1
2
acsinB≤ 1
2 ×6×2 2
3 =2 2,
即S△ABC 的最大值为
2 2. 12
分………………………
18.(1)证明:连接 AC.
因为四边形 ABCD 为菱形,
所以 AC⊥BD.
因为 PD⊥
平面 ABCD,AC⊂
平面 ABCD,
所以PD⊥AC.又BD∩PD=D,所以AC⊥
平面PBD.
2
分………………………………………………………
因为 PN=NA,PM =MC,
所以 MN∥AC,所以 MN⊥
平面 PBD. 4
分…………
(2)解:设 AC 与BD 相 交 于 点 O,以 O 为 坐 标 原 点,
AC,DB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空
间直角坐标系.
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·2·
2019
年全国高三统一联合考试
·理科数学·
因为 AB=2,PD=a,
所以 A(3,0,0),B(0,1,0),C(- 3,0,0),D(0,-1,
0),P(0,-1,a). 6
分…………………………………
因为 PM =MC,
所以 M ( - 3
2
,- 1
2
,
a
2
) ,
即BM→= ( - 3
2
,- 3
2
,
a
2
) . 7
分………………………
因为DP→=(0,0,a),DA→=(3,1,0),
所以平面 PDA 的一个法向量n=(1,- 3,0).
9
分………………………………………………………
设直线BM 与平面PAD 所成的角为θ,
则
sinθ = |BM→·n|
|BM→|·|n|
= 3
3
4+9
4+
a2
4 × 1+3
=
3
12+a2
.由
cosθ= 13
4
得
sinθ= 3
4
,所以
12+a2
=
4,解得a=2.
12
分……………………………………………………
19.
解:(1)因 为
425×0.0018+475×0.0034+525×
0.008+575×0.0064+625×0.0002+675×0.0002=
10.52,
所以用样本估计总体可以得到该高中考生的总体平均
分数为
10.52×50=526. 2
分…………………………
因为全市考生高考分数服从正态分布 N(450,2500),
所以全市考生的平均分数为
450.
故该高中考生的平均分数高于全市平均分数. 4
分…
(2)因为σ2
=2500,所以σ=50,所 以
550=450+2σ.
又 P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,
所以全市不低于
550
分 的 考 生 人 数 约 为1-0.9545
2 ×
40000=910. 6
分………………………………………
(3)由样本估计总体,该校不低于
650
分的考生人数为
1000×0.0002×50=10.
其中,女生人数为
10× 2
5 =4,男生人数为
10-4=6.
7
分………………………………………………………
若随机挑选
3
人,则女生被选到的人数 X=0,1,2,3.
P(X=0)=C
0
4C
3
6
C
3
10 = 1
6
,
P(X=1)=C
1
4C
2
6
C
3
10 = 1
2
,
P(X=2)=C
2
4C
1
6
C
3
10 = 3
10
,
P(X=3)=C
3
4C
0
6
C
3
10 = 1
30
, 9
分……………………………
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
6
1
2
3
10
1
30
E(X)=0× 1
6 +1× 1
2 +2× 3
10+3× 1
30= 6
5 .
12
分……………………………………………………
20.
解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),故直线AB 的方程为x=
c.由
x=c,
x2
a2 +
y2
b2 =1,
ì
î
í
ïï
ïï
得y2
= 1-
c2
a2( )b2,所 以 y= ±
b2
a .
所以
|AB|=2b2
a . 2
分…………………………………
故S△F
1
AB
= 1
2 ×2c×|AB|=c·2b2
a = 2,
而c
a = 2
2
,则b2
=1,a2
=2, 4
分………………………
因此椭圆E 的方程为x2
2 +y2
=1. 5
分………………
(2)假设存在 直 线l 满 足 条 件,设 直 线l:y=kx+m,
C(x1 ,y1),D(x2 ,y2),线 段 CD 的 中 点 M (x0 ,y0 ).
将直线l 的方程代入椭圆方程得(1+2k2)x2
+4kmx+
2m2
-2=0,则
2x0 =x1 +x2 = - 4km
1+2k2,所 以 x0 =
- 2km
1+2k2 ,又 y0 =kx0 + m,所 以 y0 =
m
1+2k2 ,即
M - 2km
1+2k2 ,
m
1+2k2( ) . 8
分…………………………
若CD 的 垂 直 平 分 线 过 右 焦 点 F2 (1,0),则 k ·
m
1+2k2
- 2km
1+2k2 -1
=-1,所以
1+2k2
=-km, 10
分……
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
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·3·
·理科数学·
参考答案及解析
即x0=- 2km
1+2k2 =2,与x0∈(- 2,2)矛盾
.
故假设不成立,即所求直线l不存在
. 12
分…………
21.
解:(1)由函数f(x)=e
x
cosx,x∈ 0,π
2
[ ] ,得f'(x)=
e
x
(cosx-sinx),x∈ 0,π
2
[ ] .
令f'(x)=0,得 x= π
4
, 2
分…………………………
则当x∈ 0,π
4
[ ] 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈ π
4 ,π
2
[ ] 时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
4
分………………………………………………………
(2)令g(x)=ax+1-e
x
cosx,则
g'(x)=a-e
x
(cosx-sinx)=a- 2e
x
cosx+ π
4
( ) .
令h(x)=a- 2e
x
cosx+ π
4
( ) ,则h'(x)=2e
x
sinx>
0,即h(x)在区间
0,π
2
[ ] 上单调递增,
所以h(x)≥h(0)=a-1. 6
分………………………
①
当a≥1
时,a-1≥0,则h(x)≥0,即 g'(x)≥0,所
以g(x)在区间
0,π
2
[ ] 上单调递增,即g(x)≥g(0)=
0,所以
e
x
cosx≤ax+1
在区间
0,π
2
[ ] 上恒成立.
8
分………………………………………………………
②
当
0
0,h(x)在区间
0,π
2
[ ] 上单调递增,
故在区间
0,π
2
[ ] 上存在唯一的x0,使得h(x0)=0,即
g'(x0)=0.
所以 g (x)在 区 间 [0,x0 ]上 单 调 递 减,在 区 间
x0,π
2
[ ] 上单调递增. 10
分……………………………
因为x0>0,所 以 g(x0)0,t2>0.
所以
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=5 2.
10
分……………………………………………………
23.
解:(1)因为
|2x-m|≤6,所 以
-6≤2x-m ≤6,m -
6≤2x≤m+6. 2
分……………………………………
又
-4≤2x≤8,所以
m-6=-4,
m+6=8,
{ 所以 m=2. 4
分…
(2)当 m=2
时,f(x)+f 1
2
x+3( ) =|2x-2|+|x+
4|=
-3x-2,x≤-4,
-x+6,-40,b>0,所 以 4a + 1b( ) (a+b)=
4+1+4b
a +
a
b ≥9,当且仅当a=2b= 2
3
时等号成立.
所以f(x)+f 1
2
x+3( ) ≤9. 8
分……………………
(i)当x≤-4
时,有
-3x-2≤9,解得x∈⌀;
(ii)当
-4
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