2019高考终极猜押最后一卷 理科数学试题（高清PDF)
倒倒计计时时1100天天
··数数学学((理理))22001199高高考考最最后后一一卷卷
本试卷分第
Ⅰ
卷(选择题)和第
Ⅱ
卷(非选择题)两部分,共
150
分,考试时间
120
分钟.
第
Ⅰ
卷
一、选择题(本大题共
12
小题,每小题
5
分,共
60
分.在每小
题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若集合A={x|x2
-5x+4<0},B={x|(x-a)2
<1},则“a
∈(2,3)”是“B⊆A”的 ( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知复数z=2+3i
i ,则z的共轭复数为 ( )
A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i
3.向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中
0<α<β<π,若
|2a+b|=|a-2b|,则α-β= ( )
A.π
2 B.-π
2 C.π
4 D.-π
4
4.二项式 ax+ 3
6
æ
è
ç ö
ø
÷
6 的展开式的第二项的系数为
- 3,则
∫
a
-2
x2
dx的值为 ( )
A.5
3 B.7
3 C.3 D.11
3
5.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=6,现沿AC 折起,使
得平面ABC⊥
平面ADC,连接BD,得到三棱锥B-ACD,则其外接球的体积为 ( )
A.500π
9 B.250π
3 C.1000π
3 D.500π
3
6.下列函数中,为偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是
( )
A.f(x)=cos
2x B.f(x)=-x2
+3
C.f(x)=x1
4
+x2
D.f(x)=x(3
x
-3
-x
)
7.点P 是双曲线C1:
x2
a2 -
y2
b2 =1(a>0,b>0)与圆C2:x2
+y2
=a2
+b2 的一个交点,且
2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,
F2
分别为双曲线C1
的左、右焦点,则双曲线C1
的离心率
为 ( )
A.3+1 B.3+1
2
C.5+1
2 D.5-1
8.如图,在
△ABC 中,D 是AB 边上的点,且满足AD=3BD,AD+AC=BD+BC
=2,CD= 2,则
cosA= ( )
A.1
3 B.2
4 C.1
4 D.0
9.已知函数f(x)=xcosx-sinx-1
3
x3,则不等式f(2x+
3)+f(1)<0
的解集为 ( )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
10.已知函数y=a+2lnx x∈ 1
e,e[ ]( ) 的图象上存在点P,
函数y=-x2
-2
的图象上存在点Q,且点P,Q 关于原点
对称,则a的取值范围是 ( )
A.e
2,+∞
[ )
B.3,4+1
e
[ ]
C.4+1
e
2 ,e
2[ ] D.3,e
2[ ]
11.某几何体的三视图如图所示,若图中
小正方形的边长均为
1,则该几何体
的体积是 ( )
A.28
3π B.32
3π
C.52
3π D.56
3π
12.若函数f(x)=sinωx-π
6
( )(ω>0)的图象相邻两个对称
中心之间的距离为π
2,则f(x)的一个单调递减区间为
( )
A.-π
6,π
3
( ) B.-π
3,π
6
( )
C. π
6,2π
3
( ) D. π
3,5π
6
( )
第
Ⅱ
卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第
13-21
题为必考题,每
个实体考生都必须作答.第
22-23
题为选考题,考生根据要
求作答.
二、填空题(本大题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分.把答案
填在题中横线上)
13.若实数x,y满足约束条件 2x+y-4≤0,
x-2y-2≤0,
x-1≥0,
{ 则y-1x
的最小
值为
.
14.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,
n∈N* ),则数列{an}的通项公式是
.
15.某框图所给的程序运行结果为S=35,那么判断框中应
填入的关于k的条件是
.
16.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的
速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB
长为
80
米,当 航 模 在 C 处 时,测 得
∠ABC=105°
和
∠BAC=30°,经过
20
秒后,航模直线航行到 D 处,测得
∠BAD=90°
和
∠ABD=45°,则航模的速度为
米/秒.(答案保留根号)
1
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,17-21题每小题
12
分,22-23
题每小题
10
分)
17.已知公比不为
1
的等比数列{an}的前
3
项积为
27,且
2a2
为
3a1
和a3
的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)若数列{bn}满足
bn=bn-1 ·log3an+1 (n≥2,n∈N* ),且b1 =1,求 数 列
bn
bn+2
{ }的前n项和Sn.
18.为了缓解城市交通压力和改善空气质量,有些城市出台
了一些汽车限行政策,如单双号出行,外地车限行等措
施,对城市交通拥堵的缓解和空气质量的改良起了一定
的作用.某中部城市为了应对日益增长的交通压力,现组
织调研,准备出台新的交通限行政策,为了了解群众对
“汽车限行”的态度,在当地市民中随机抽取了
100
人进
行了调查,调查情况如表:
年龄段 [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数
5 15 20 n 20 10赞成人数
3 12 17 18 16 2
(1)求出表格中n的值,并完成被调查人员年龄的频率分
布直方图(如图所示).
(2)若从年龄在[45,55)的被调查者中按照是否赞成进行
分层抽样,从中抽取
10
人参与某项调查,然后再从这
10人中随机抽取
3
人参加座谈会,记赞成的人数记为ξ,求ξ
的分布列.
19.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面
ABCD 是 边 长 为
2
的 菱 形,
∠ABC=60°,PA⊥PB,PC=2.
(1)求证:平面PAB⊥
平面ABCD.
(2)若PA=PB,求二面角A-PC-D 的余弦值.
20.已知椭圆C:
y2
a2 +
x2
b2 =1(a>b>0)的上、下两个焦点分别
为F1,F2,过F1
的直线交椭圆于 M,N 两点,且
△MNF2
的周长为
8,椭圆C的离心率为 3
2
.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知O 为坐标原点,直线:y=kx+m 与椭圆C 有且仅
有一个公共点,点 M',N'是直线上的两点,且F1M'⊥l,
F2M'⊥l,求四边形F1M'N'F2
面积S的最大值.
21.已知函数f(x)=lnx+ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性.
(2)当a=1
时,函数g(x)=f(x)-x+1
2x-m 有两个零
点x1,x2,且x1
1.
请考生在第
22-23
题中任选一题作答.如果多做,则按所做
的第一题计分.作答时请写清题号.
22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中,直 线 l 的 参 数 方 程 为
x=1+tcosα,
y=tsinα{ (t为参数),以坐标原点O 为极点,x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2
-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.
(1)若直线l与曲线C 相切,求直线l的直角坐标方程.
(2)若
tanα=2,设直线l与曲线C 的交点为点A,B,求
△OAB 的面积.
23.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+1|,g(x)=|a-1|-a|x|.
(1)当x<0
时,求不等式f(x)<4
的解集.
(2)设函数f(x)的值域为M,函数g(x)的值域为N,若满
足 M∩N≠⌀,求a的取值范围.
——— 数学学科 ———
第
Ⅰ
卷
一、选择题
1.选
A.A={x|10
时,y=x单调递增且大于零,函数
y=e
x
-e
-x单调递增也大于零,所以y=x(3
x
-3
-x
)在(0,
+∞)上为增函数.
7.选
A.x2
+y2
=a2
+b2
=c2
,所以点P 在以F1
F2
为直径的
圆上,所以PF1⊥PF2,
又
2∠PF1
F2=∠PF2
F1,所以 PF2 =c,PF1 = 3c,又P 在双曲线上,
2
所以
3c-c=2a,所以e=
c
a = 2
3-1
= 3+1.
8.选
D.
设BD=x,则AD=3x,AC=2-3x,BC=2-x,易知
cos∠ADC=-cos∠BDC,由余弦定理的推论可得
9x2
+2-(2-3x)2
2× 2×3x =-
x2
+2-(2-x)2
2× 2×x ,
解得x=1
3,故AD=1,AC=1,
所以
cosA=
AD2
+AC2
-CD2
2×AD×AC =0.
9.选
A.
易证函数f(x)是奇函数.由题得f'(x)=cosx-
xsinx-cosx-x2
=-xsinx-x2
=-x(sinx+x).
所以当x>0
时,f'(x)<0,函数在(0,+∞)上单调递减,因为函数是奇函数,所以函数在(-∞,0)上单调递减,因为f(2x+3)+f(1)<0,所以f(2x+3)<-f(1)=
f(-1),所以
2x+3>-1,所以x>-2.故解集为(-2,+
∞).
10.选
D.
函数y=-x2
-2
的图象与函数y=x2
+2
的图象关
于原点对称,
若函数y=a+2lnx x∈ 1
e,e[ ]( )的图象上存在点P,
函数y=-x2
-2
的图象上存在点Q,且P,Q 关于原点对
称,则函数y=a+2lnx x∈ 1
e,e[ ]( ) 的图象与函数y=
x2
+2
的图象有交点,
即方程a+2lnx=x2
+2x∈ 1
e,e[ ]( )有解,
即a=x2
+2-2lnx x∈ 1
e,e[ ]( )有解,
令f(x)=x2
+2-2lnx,则f'(x)=2(x2
-1)x ,
当x∈ 1
e,1[ ]时,f'(x)<0,当x∈(1,e]时,f'(x)>0,故
当x=1
时,f(x)取最小值
3,
由f 1
e
( )=1
e
2 +4,f(e)=e
2
,故当x=e
时,f(x)取最大
值
e
2
,故a∈ 3,e
2[ ] .
11.选
A.
由三视图可知,该几何体是由半个圆柱与半个圆锥
组合而成,其中圆柱的底面半径为
2,高为
4,圆锥的底面
半径和高均为
2,其体积为V=1
2×4π×4+1
2×1
3×4π
×2=28π
3
.
12.选
D.f(x)=sinωx-π
6
( )的图象相邻两个对称中心之间
的距离为π
2,于是有T=2πω=2×π
2=π,ω=2,
所以f(x)=sin2x-π
6
( ).
当
2kπ+π
2≤2x-π
6≤2kπ+3π
2,k∈Z,即kπ+π
3≤x≤kπ
+5π
6,k∈Z时,
f(x)=sin2x-π
6
( )单调递减.因此结合各选项知,
f(x)=sin2x-π
6
( )的一个单调递减区间为 π
3,5π
6
( ).
第
Ⅱ
卷
二、填空题
13.【解析】作出不等式组表示的可行域
如图中阴影部分所示,因为y-1x
表
示可行域内的点与定点P(0,1)连
线的斜率.由图知,
点P(0,1)与 点 A 1,-1
2
( ) 连 线 的 斜 率 最 小,所 以
y-1x( )
min=kPA =
-1
2-1
1-0 =-3
2
.
答案:-3
2
14.【解析】由an+1=2Sn+1
可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式
相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1,故{an}是首项为
1,公比
为
3
的等比数列,所以an=3
n-1.
答案:an=3
n-1
15.【解析】由题意可知输出结果为S=35,第
1
次循环,S=11,k=9,第
2
次循环,S=20,k=8,第
3次循环,S=28,k=7,第
4
次循环,S=35,k=6,此时S满
足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为:k>6
或
k≥7?答案:k>6? 或k≥7?
16.【解析】在
△ABD 中,因为
∠BAD=90°,∠ABD=45°,所以
∠ADB=45°,
所以AD=AB=80
米,所以BD=80 2
米,在
△ABC 中
BC
sin30°=
AB
sin45°,
所以BC=
ABsin30°
sin45° =
80×1
2
2
2
=40 2(米).
在
△DBC中,DC2
=DB2
+BC2
-2DB·BCcos60°
=(80 2)2
+(40 2)2
-2×80 2×40 2×1
2=9600,
所以DC=40 6
米,航模的速度v=40 6
20
=2 6
米/秒.
因此航模的速度为
2 6
米/秒.
答案:
2 6三、解答题
17.【解析】(1)由前
3
项积为
27,得a2=3,设等比数列的公比
为q,
由
2a2
为
3a1
和a3
的等差中项,得
3·3q+3q=4×3,由
公比不为
1,解得:q=3,所以an=3
n-1.
(2)由bn=bn-1·log3
an+1=bn-1·n,
得bn=
bn
bn-1
·
bn-1
bn-2
·…·
b2
b1
·b1=n!.
令cn=
bn
bn+2=
n!
(n+2)!= 1
(n+2)(n+1)= 1n+1- 1n+2,
则Sn= 1
2-1
3
( )+ 1
3-1
4
( )+…+ 1n+1- 1n+2
( )
=1
2- 1n+2=
n
2(n+2)
3
18.【解析】(1)由题知被调查者一共有
100
人,所以有
5+15+20+n+20+10=100,所以n=30.
所以被调查人员年龄各组的频率
组距为
0.005,0.015,
0.020,0.030,0.020,0.010. 2
分…………………………
所以被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示:
4
分………………………………………………………
(2)由(1)知,年龄在[45,55)的共有
30
人,其中赞成的有
18
人,不赞成的有
12
人.
由分层抽样赞成者应选
10×3
5=6
人, 6
分……………
不赞成有
4
人.则ξ=0,1,2,3. 7
分……………………
P(ξ=0)=C
3
4
C
3
10= 4
120=1
30, 8
分…………………………
P(ξ=1)=C
1
6C
2
4
C
3
10 =36
120=3
10, 9
分…………………………
P(ξ=2)=C
2
6C
1
4
C
3
10 =60
120=1
2, 10
分………………………
P(ξ=3)=C
3
6
C
3
10=20
120=1
6, 11
分…………………………
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 1
30
3
10
1
2
1
6
12
分………………………………………………………
19.【解析】(1)取AB 中点O,连接AC,CO,PO,因为四边形ABCD 是边长为
2
的菱形,所以AB=BC=2.
因为
∠ABC=60°,所以
△ABC是等边三角形.
所以CO⊥AB,OC= 3.
因为PA⊥PB,所以PO=1
2
AB=1.
因为PC=2,所以OP2
+OC2
=PC2.所以CO⊥PO.
因为AB∩PO=O,所以CO⊥
平面PAB.
因为CO⊂
平面ABCD,所以平面PAB⊥
平面ABCD.
(2)因为PA=PB,O 为AB 的中点
由(1)知,平面PAB⊥
平面ABCD,所以PO⊥
平面ABCD,所以直线OC,OB,OP 两两垂直.
以O 为原点建立空间直角坐标系
O-xyz,如图,则O(0,0,0),
A(0,-1,0),
B(0,1,0),C(3,0,0),D(3,-2,0),P(0,0,1)
所以AP→=(0,1,1),PC→=(3,0,-1),DC→=(0,2,0).
设平面APC的法向量m=(x,y,z),
由 m·AP→=0,
m·PC→=0,
{ 得 y+z=0,
3x-z=0,
{
取x=1,得m=(1,- 3,3),设平面PCD 的法向量为n=(x,y,z),
由 n·PC→=0,
n·DC→=0,
{ 得 3x-z=0,
2y=0,
{
取x=1,得n=(1,0,3),
所以
cos=
m·n
|m||n|=2 7
7 ,
由图可知二面角A-PC-D 为锐二面角.
所以二面角A-PC-D 的余弦值为2 7
7
.
20.【解析】(1)因为
△MNF2
的周长为
8,所以
4a=8,所以a
=2.又因为c
a = 3
2,所以c= 3,所以b= a2
-c2
=1,
所以椭圆C的标准方程为y2
4+x2
=1.
(2)将直线的方程y=kx+m 代入到椭圆方程y2
4+x2
=1
中,得(4+k2
)x2
+2kmx+m2
-4=0.
由直线与椭圆仅有一个公共点,知Δ=4k2m2
-4(4+k2
)(m2
-4)=0,化简得m2
=4+k2.
设d1=|F1
M'|=|- 3+m|k2
+1
,d2=|F2
N'|=|3+m|k2
+1
,
所以d2
1+d2
2=
m- 3k2
+1
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
+
m+ 3k2
+1
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
=2(m2
+3)k2
+1 =2(k2
+7)k2
+1
,
d1
d2=|- 3+m|k2
+1
·|3+m|k2
+1
=|m2
-3|k2
+1 =1,
所以
|M'N'|= |F1
F2|
2
-(d1-d2)2
= 12-(d2
1+d2
2-2d1
d2)= 12k2
k2
+1
.
因为四边形F1
M'N'F2
的面积
S=1
2|M'N'|(d1+d2),
所以S2
=1
4×12k2
k2
+1×(d2
1+d2
2+2d1
d2)
=3k2
(4k2
+16)
(k2
+1)2
.
令k2
+1=t(t≥1),则
S2
=3(t-1)[4(t-1)+16]t2 =12(t-1)(t+3)t2
=12(t2
+2t-3)t2
=12+12 -3 1t-1
3
( )2
+1
3
[ ],
所以当1t=1
3
时,S2 取得最大值为
16,故Smax=4,即四
边形F1
M'N'F2
面积的最大值为
4.
21.【解析】(1)f'(x)=1x+a,x∈(0,+∞).
①
当a≥0
时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②
当 a<0
时,f (x)在
0,-1a( ) 上 单 调 递 增,在
-1a,+∞( )上单调递减.
4
(2)当a=1
时,g(x)=lnx+1
2x-m,
由已知,得
lnx1+ 1
2x1=m,lnx2+ 1
2x2=m,
两式相减,得
ln
x1
x2+ 1
2x1- 1
2x2=0⇒x1·x2=
x1-x2
2ln
x1
x2
,
所以x1=
x1
x2-1
2ln
x1
x2
,x2=
1-
x2
x1
2ln
x1
x2
所以x1+x2=
x1
x2-
x2
x1
2ln
x1
x2
,令t=
x1
x2∈(0,1),
设h(t)=t-1t-2lnt,
所以h'(t)=1+1t2 -2t=
t2
-2t+1t2 >0,
所以h(t)在(0,1)上单调递增,
所以h(t)1,所以x1+x2>1.
22.【解析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得曲线C 的直角坐标
方程为x2
+y2
-2x-4y+4=0,即(x-1)2
+(y-2)2
=
1,
x=1+tcosα,
y=tsinα{ 消去参数t,可得y=tanα(x-1).设k=
tanα,则直线l的方程为y=k(x-1),
由题意,得圆心(1,2)到直线l的距离d1=|k-2-k|k2
+1
=
1,解得k=± 3,
所以直线l的直角坐标方程为y=± 3(x-1).
(2)因为
tanα=2,所以直线l的方程为
2x-y-2=0,
原点到直线l的距离d2=2
5
,
联立 2x-y-2=0,
(x-1)2
+(y-2)2
=1,
{
解得 x=2,
y=2
{ 或
x=8
5,
y=6
5,
ì
î
í
ïï
ïï
所以
|AB|= 2-8
5
( )2
+ 2-6
5
( )2
=2
5
,所以S=1
2×2
5
×2
5
=2
5
.
23.【解析】(1)当x<0
时,2x-1<0,所以f(x)<4
可化为
|2x+1|-2x<3. ①
当x≤-1
2
时,①
化为
-2x-1-2x<3,解得x>-1,
此时
-1
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