高考试题及答案数学理科陕西卷

高考试题及答案数学理科陕西卷

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）‎ 理科数学（必修+选修Ⅱ）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．‎ 1．复数等于（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎2．已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 3．的内角的对边分别为，若，则等于（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）‎ A．64 B．100 C．110 D．120‎ 5．直线与圆相切，则实数等于（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎6．“”是“对任意的正数，”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ）‎ A． B．1 C．4 D．10‎ ‎8．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 9．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ ）‎ A B a b l A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ 11．定义在上的函数满足（），，则等于（ ）‎ A．2 B．3 C．6 D．9‎ ‎12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）‎ A．11010 B．01100 C．10111 D．00011‎ 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．‎ 13．，则 ．‎ ‎14．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为 ．‎ 15．关于平面向量．有下列三个命题：‎ ‎①若，则．②若，，则．‎ ‎③非零向量和满足，则与的夹角为．‎ 其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）‎ ‎16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）‎ 17．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；‎ ‎（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；‎ ‎（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ 19．（本小题满分12分）‎ 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．‎ A1‎ A C1‎ B1‎ B D C ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线：，直线交于两点，是线段 的中点，过作轴的垂线交于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．‎ ‎（Ⅰ）求函数的另一个极值点；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知数列的首项，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意的，，；‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）‎ 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A ‎ 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14． 15．② 16．96‎ 三、17．解：（Ⅰ）．‎ 的最小正周期．‎ 当时，取得最小值；当时，取得最大值2．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．‎ ‎．‎ ‎．‎ 函数是偶函数．‎ ‎18．（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，则，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3． 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.032‎ ‎0.16‎ ‎0.8‎ ‎.‎ ‎19．解法一：（Ⅰ）平面平面，‎ ‎．在中，，‎ ‎，，又，‎ ‎，，即．‎ 又，平面，‎ 平面，平面平面．‎ ‎（Ⅱ）如图，作交于点，连接，‎ A1‎ A C1‎ B1‎ B D C F E ‎（第19题，解法一）‎ 由已知得平面．‎ 是在面内的射影．‎ 由三垂线定理知，‎ 为二面角的平面角．‎ 过作交于点，‎ 则，，‎ ‎．‎ 在中，．‎ A1‎ A C1‎ B1‎ B D C z y x ‎（第19题，解法二）‎ 在中，．‎ ‎，‎ 即二面角为．‎ 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，．‎ 点坐标为．‎ ‎，．‎ ‎，，，，又，‎ 平面，又平面，平面平面．‎ ‎（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，‎ 设平面的法向量为，则．‎ ‎，‎ 如图，可取，则，‎ ‎，‎ 即二面角为．‎ ‎20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，‎ x A y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ M N B O 由韦达定理得，，‎ ‎，点的坐标为．‎ 设抛物线在点处的切线的方程为，‎ 将代入上式得，‎ 直线与抛物线相切，‎ ‎，．‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，‎ ‎．‎ 由（Ⅰ）知 ‎．‎ 轴，．‎ 又 ‎ ．‎ ‎，解得．‎ 即存在，使．‎ 解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ‎．由韦达定理得．‎ ‎，点的坐标为．，，‎ 抛物线在点处的切线的斜率为，．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使．‎ 由（Ⅰ）知，则 ‎，‎ ‎，，解得．‎ 即存在，使．‎ ‎21．解：（Ⅰ），由题意知，‎ 即得，（*），．‎ 由得，‎ 由韦达定理知另一个极值点为（或）．‎ ‎（Ⅱ）由（*）式得，即．‎ 当时，；当时，．‎ ‎（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．‎ ‎，‎ ‎，‎ 由及，解得．‎ ‎（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．‎ ‎，‎ 恒成立．‎ 综上可知，所求的取值范围为．‎ ‎22．解法一：（Ⅰ），，，‎ 又，是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，原不等式成立．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有 ‎．‎ 取，‎ 则．‎ 原不等式成立．‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则 ‎，‎ 当时，；当时，，‎ 当时，取得最大值．‎ 原不等式成立．‎ ‎（Ⅲ）同解法一．‎