中考数学压轴题内含答案

中考数学压轴题内含答案

目 录 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2010年义乌市中考第24题 ‎1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例2 2012年扬州市中考第27题 ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例3 2012年杭州市中考第22题 ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例4 2011年上海市中考第24题 ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例5 2011年义乌市中考第24题 例6 2010年杭州市中考第24题 ‎1.6 因动点产生的面积问题 例7 2012年河南省中考第23题 ‎1.7 因动点产生的相切问题 例8 2012年无锡市中考第28题 ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 例9 2013年天津市中考第25题 第二部分 图形运动中的函数关系问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题 ‎2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例2 2012年广东省中考第22题 ‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南昌市中考第25题 ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例2 2013年江西省中考第24题 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2010年义乌市中考第24题 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；‎ ‎（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．‎ ‎2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．‎ ‎3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．‎ 满分解答 ‎（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．‎ ‎（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到 ‎．由于，所以．整理，得．因此得到．‎ 当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）．‎ ‎（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．‎ 在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．‎ 在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．‎ 因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．‎ 由于，，所以．解得．‎ ‎ ‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．‎ 1.2 因动点产生的等腰三角形 例2 2011年盐城市中考第28题 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．‎ ‎（1）求点A和点B的坐标；‎ ‎（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．‎ ‎①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．‎ 思路点拨 ‎1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．‎ ‎2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．‎ ‎3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．‎ 满分解答 ‎（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)．‎ 令，得．所以点B的坐标是(7，0)．‎ ‎（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．‎ 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．‎ 图2 图3 图4‎ ‎②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．‎ 如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．‎ 如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．‎ 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．‎ 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．‎ 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．‎ 在△APQ中， 为定值，，．‎ 如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．‎ 如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．‎ 如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．‎ 综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形． ‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．‎ ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例3 2012年杭州市中考第22题 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．‎ ‎（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；‎ ‎（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．‎ 请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上． ‎ 思路点拨 ‎1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是．题目中的k都是一致的．‎ ‎2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．‎ ‎3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．‎ 满分解答 ‎（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．‎ 当k＝－2时，反比例函数的解析式是．‎ ‎（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．‎ 当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．‎ 抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线． 图1‎ 所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．‎ ‎（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，‎ 当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．‎ 由OQ2＝OA2，得．‎ 解得（如图2），（如图3）．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．‎ 问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？‎ 如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．‎ 因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．‎ 图4 图5‎ ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例4 2011年上海市中考第24题 已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数 y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．‎ ‎（1）求线段AM的长；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．‎ 思路点拨 ‎1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．‎ ‎2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．‎ ‎3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．‎ 满分解答 ‎（1）当x＝0时，，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．‎ 如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．‎ ‎（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．‎ ‎（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．‎ 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．‎ 因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．‎ 因此点C的坐标为（2，2）．‎ ‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：‎ 如图4，点C的坐标为．‎ 图4 ‎ ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例 5 2011年义乌市中考第24题 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；‎ ‎（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式． ‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M从P向O运动，可以体验到，M在到达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．‎ ‎2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．‎ 满分解答 ‎（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得 解得 ‎ 所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．‎ ‎（2）由，知点B的坐标为（6，0）．‎ 假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．‎ 由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．‎ 如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．‎ 所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．‎ 图3 图4 图5‎ ‎（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．‎ 在Rt△PMH中，，．所以．‎ 在Rt△PNH中，，．所以．‎ ‎① 如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．‎ ‎②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．‎ 此时．‎ 考点伸展 第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：‎ 方法一，按照对角线相等画圆．以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．‎ 方法二，按照对边相等画圆．以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．‎ 例6 2010年杭州市中考第24题 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ＝，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上． ‎ ‎(1) 写出点M的坐标； ‎ ‎(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q在抛物线上运动，从t随x变化的图象可以看到，t是x的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ∶CM＝1∶2只有一种情况，此时Q在y轴上；CM∶PQ＝1∶2有两种情况．‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题求点M的坐标以后，Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．‎ ‎2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系． ‎ ‎3．探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况．‎ ‎4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH与MO的长度比．‎ 满分解答 ‎(1)因为AB＝OC＝ 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）．‎ ‎(2) ① 如图2，过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H，则HQ＝y，HP＝x– t ．‎ 因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．‎ 如图3，当P与C重合时，，解方程，得．‎ 如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝± 2．‎ 因此自变量x的取值范围是，且x¹± 2的所有实数．‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ ‎②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．‎ 当时，．解方程，得（如图5）．此时．‎ 当时，．解方程，得．‎ 如图6，当时，；如图6，当时，．‎ ‎ ‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？‎ 设点Q的坐标为，那么．‎ 而点Q到x轴的距离为．‎ 因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切．‎ ‎1.6 因动点产生的面积问题 例 7 2012年河南省中考第23题 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．‎ ‎2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．‎ ‎3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．‎ ‎4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．‎ 满分解答 ‎（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．‎ 在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．‎ 因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．‎ 将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得 解得，．‎ ‎（2）由，，‎ 得．‎ 所以．‎ 所以PD的最大值为．‎ ‎（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；‎ 当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．‎ 图2‎ 考点伸展 第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．‎ 而，‎ BM＝4－m．‎ ‎①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．‎ ‎②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．‎ ‎1.7 因动点产生的相切问题 ‎ 例8 2012年无锡市中考模拟第28题 如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．‎ ‎（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；‎ ‎（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ 图一 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．‎ 请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．‎ 答案 （1）因为，，所以．因此PQ//BC．‎ ‎（2）如图2，由PQ＝PH＝，得．解得．‎ 如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1．‎ 如图4，由PQ＝PC，得．解得．‎ 如图5，当P、C重合时，t＝2．‎ 因此，当或1＜t≤或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．‎ 当＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．‎ 图2 图3 图4 图5‎ ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 ‎ 例9 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．‎ ‎（1）如图1，求点E的坐标；‎ ‎（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．‎ ‎①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；‎ ‎②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．‎ 请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．‎ 思路点拨 ‎1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．‎ ‎2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．‎ ‎3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．‎ 满分解答 ‎（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．‎ 所以．因此．‎ 解得OE＝1．所以E(0,1)．‎ ‎（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．‎ 在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．‎ 所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．‎ 所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．‎ 此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．‎ ‎②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为．‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，‎ 所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．‎ 当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．‎ 在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝．‎ 当A′、B、E′′三点共线时，．所以．‎ 解得．此时．‎ 第二部分 函数图象中点的存在性问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 ‎ 例1 2013年宁波市中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．‎ ‎（1）求直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．‎ ‎①求证：∠BDE＝∠ADP；‎ ‎②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；‎ ‎（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．‎ 请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．‎ 答案 ‎（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．‎ ‎（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；‎ ‎②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，‎ 因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．‎ 所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：‎ 由△DMB∽△BNF，知．‎ 设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得．‎ 因此．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．‎ ‎②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．‎ 图5 图6‎ ‎2.2 由面积产生的函数关系问题 ‎ 例2 2012年广东省中考第22题 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．‎ 思路点拨 ‎1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．‎ ‎2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．‎ 满分解答 ‎（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．‎ 所以AB＝9，OC＝9．‎ ‎（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．‎ 所以．‎ 而，AE＝m，‎ 所以． ‎ m的取值范围是0＜m＜9．‎ 图2 图3‎ ‎（3）如图2，因为DE//CB，所以．‎ 因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以．‎ 所以．‎ 当时，△CDE的面积最大，最大值为．‎ 此时E是AB的中点，．‎ 如图3，作EH⊥CB，垂足为H．‎ 在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．‎ 在Rt△BEH中，．‎ 当⊙E与BC相切时，．所以．‎ 考点伸展 在本题中，△CDE与△BEC能否相似？‎ 如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南昌市中考第25题 已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推 ‎ ‎（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；‎ ‎（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；‎ 依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；‎ 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；‎ ‎（3）探究下列结论：‎ ‎①若用An－1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An－1 An；‎ ‎②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．‎ 备用图（仅供草稿使用） ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．‎ 请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．‎ ‎ ‎ 思路点拨 ‎1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．‎ ‎2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．‎ ‎3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．‎ 满分解答 ‎（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．‎ 所以符合题意的a1＝1．‎ 此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．‎ 将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．‎ 所以符合题意的a2＝4．‎ 此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．‎ ‎（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；‎ 第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；‎ 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．‎ ‎（3）①如图1，A0A1＝2．‎ 由第（2）题得到，第n条抛物线yn＝－(x－an)2＋an的顶点坐标为(n2，n2)．‎ 所以yn＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．‎ 所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An－1(n2－n,0)和An(n2＋n,0)．‎ 所以An－1 An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．‎ ‎②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．‎ 图1‎ 考点伸展 我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．‎ 第一步，由yn＝－(x－an)2＋an，得抛物线的顶点坐标为(an, an)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知an＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．‎ 第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．‎ 第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．‎ ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例2 2013年江西省中考第24题 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：‎ ‎（1）操作发现：‎ 在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．‎ ‎①AF＝AG＝；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．‎ ‎（2）数学思考：‎ 在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；‎ ‎（3）类比探究：‎ 在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．‎ 请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．‎ 思路点拨 ‎1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．‎ ‎2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．‎ ‎3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？‎ 满分解答 ‎（1）填写序号①②③④．‎ ‎（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．‎ 因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，‎ 所以F、G分别是AB、AC的中点．‎ 又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．‎ 所以，，MF//AC，MG//AB．‎ 所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．‎ 所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．‎ 因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，‎ 所以，．‎ 所以MF＝EG，DF＝NG．‎ 所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．‎ ‎（3）△MDE是等腰直角三角形．‎ 图4 图5‎ 考点伸展 第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．‎ 如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．‎ 如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．‎ 如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．‎