广西南宁市（六市同城）中考数学试题（PDF版，含解析）

广西南宁市（六市同城）中考数学试题（PDF版，含解析）

第 1 页 共 22 页 2018 年广西六市同城初中毕业升学统一考试试卷解析 数学 （考试时间：120 分钟 满分：120 分） 注意事项： 1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在试卷 上作答无效。 2. 答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项。 3. 不能使用计算器，考试结束前，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1. -3 的倒数是 A. -3 B. 3 C. -1 3 D. 1 3 【答案】C 【考点】倒数定义，有理数乘法的运算律， 【解析】根据倒数的定义，如果两个数的乘积等于 1，那么我们就说这两个数互为倒数.除 0 以外的数都存在倒数。因此-3 的倒数为-1 3 【点评】主要考察倒数的定义 2.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是 第 2 页 共 22 页 【答案】A 【考点】中心对称图形 【解析】在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 180°后，能与自身重合，那么这个图形就 叫做中心对称图形。 【点评】掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合． 3.2018 年俄罗斯世界杯开幕式于 6 月 14 日在莫斯科卢日尼基球场举行，该球场可容纳 81000 名观众，其中数据 81000 用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考点】科学计数法 【解析】 ，故选 B 【点评】科学计数法的表示形式为 的形式，其中 为整数 4.某球员参加一场篮球比赛，比赛分 4 节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球 员平均每节得分为（ ） 31081´ 4101.8 ´ 5101.8 ´ 51081.0 ´ 4101.881000 ´= na 10´ n,a 101 <£ 第 3 页 共 22 页 A.7 分 B.8 分 C.9 分 D.10 分 【答案】 【考点】求平均分 【解析】 【点评】本题考查用折线图求数据的平均分问题 5. 下列运算正确的是 A. a(a＋1)＝a2＋1 B. (a2)3＝a5 C. 3a2＋a＝4a3 D. a5÷a2＝a3 【答案】D 【考点】整式的乘法；幂的乘方；整式的加法；同底数幂的除法 【解析】选项 A 错误，直接运用整式的乘法法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把结果 相加，可得 a(a＋1)＝a2＋a； 选项 B 错误，直接运用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得(a2)3＝a6； 选项 C 错误，直接运用整式的加法法则，3a2 和 a 不是同类项，不可以合并； 选项 D 正确，直接运用同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得 a5÷a2＝a3． 【点评】本题考查整式的四则运算，需要记住运算法则及其公式，属于基础题。 6.如图， 是 的外角， 平分 ，若 =60°， =40°，则 等 于（ ） B 84 610412 =+++ ACDÐ ABCD CE ACDÐ AÐ BÐ ECDÐ 第 4 页 共 22 页 A.40° B.45° C.50° D.55° 【答案】 【考点】三角形外角的性质，角平分线的定义 【解析】 的外角 ,又因为 平分 ，所 以 . 【点评】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 7. 若 ，则下列不等式正确的是 【答案】B 【考点】不等式的性质 【解析】A：不等式两边同时减去一个相等的数，不等式的符号不改变 错误 B：不等式两边同时除以一个相等的正数，不等式的符号不改变 正确 C：不等式两边同时乘以一个相等的正数，不等式的符号不改变 错误 D：不等式两边同时乘以一个相等的负数，不等式的符号改变 错误 【点评】本题目考察了对于不等式性质的理解与判断，属于基础题目 8.从 这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【考点】概率统计、有理数乘法 【解析】总共有三个数字，两两相乘有三种情况；根据同号得正，异号得负，而只有 与 C ABCD °=°+°=Ð+Ð=Ð 1004060BAACD CE ACDÐ °=°´=Ð=Ð=Ð 501002 1 2 1 ACDECDACE n＞m 2,1,2 -- 3 2 2 1 3 1 4 1 2- 第 5 页 共 22 页 相乘时才得正数，所以是 【点评】此题目考察了对于概率统计基本概念的理解以及有理数乘法的判断 9.将抛物线 y＝1 2x2－6x＋21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为 A. y＝1 2(x－8)2＋5 B. y＝1 2(x－4)2＋5 C. y＝1 2(x－8)2＋3 D. y＝1 2(x－4)2＋3 【答案】D 【考点】配方法；函数图像的平移规律；点的平移规律； 【解析】方法 1：先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移。抛物线 y＝1 2x2－6x＋21 可配方 成 y＝1 2(x－6)2＋3，顶点坐标为(6,3)．因为图形向左平移 2 个单位，所以顶点向左平移 2 个 单位，即新的顶点坐标变为(4,3)，而开口大小不变，于是新抛物线解析式为 y＝1 2(x－4)2＋3． 方法２：直接运用函数图像左右平移的“左加右减”法则。向左平移２个单位，即原来解析 式中所有的“x”均要变为“x＋2”，于是新抛物线解析式为 y＝1 2(x＋2)2－6(x＋2)＋21，整理 得 y＝1 2x2－4x＋11，配方后得 y＝1 2(x－4)2＋3． 【点评】本题可运用点的平移规律，也可运用函数图像平移规律，但要注意的是二者的区别： 其中点的平移规律是上加下减，左减右加；而函数图像的平移规律是上加下减，左加右减。 10.如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形 是莱洛三角形，若 AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 A. π＋ B. π－ C. 2π－ D. 2π－2 【答案】 D 1- 3 1 3 3 3 3 第 6 页 共 22 页 【考点】等边三角形的性质与面积计算、扇形的面积计算公式. 【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面 积相加减去两个等边三角形的面积，即 S 阴影=3×S 扇形-2×S∆ABC . 由题意可得，S 扇形=π×22× = π. 要求等边三角形 ABC 的面积需要先求高. 如下图，过 AD 垂直 BC 于 D,可知， 在 Rt∆ABD 中，sin60°= = ， 所以 AD=2×sin60°= ， 所以 S∆ABC= ×BC×AD= ×2× = . 所以 S 阴影=3×S 扇形-2×S∆ABC=3× π-2× =2π-2 . 故选 D. 【点评】求不规则图形面积关键是转化到规则图形中应用公式求解。 11.某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产 量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为?，则可列方程为 A. 80(1 + ?) = 100 B. 100(1 − ?) = 80 C. 80(1 + 2?) = 100 D. 80(1 + ?) = 100 【答案】 A 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 360 60 3 2 AB AD 2 AD 3 2 1 2 1 3 3 3 2 3 3 第 7 页 共 22 页 【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为?，根 据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为80(1 + ?)吨，2018 年蔬菜产量为80(1 + ?) (1 + ?)吨. 预计 2018 年蔬菜产 量达到 100 吨，即80(1 + ?)(1 + ?) = 100，即80(1 + ?) = 100. 故选 A. 【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理清题目的意思， 找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找出等量关系式，列出方程. 12.如图，矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝3，点 P 在 BC 边上，将△CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，PE、DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP＝OF，则 cos∠ADF 的值为 A. 11 13 B. 13 15 C. 15 17 D. 17 19 【答案】C 【考点】折叠问题：勾股定理列方程，解三角形，三角函数值 【解析】 由题意得：Rt△DCP≌Rt△DEP，所以 DC＝DE＝4，CP＝EP 在 Rt△OEF 和 Rt△OBP 中，∠EOF＝∠BOP，∠B＝∠E，OP＝OF Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS)，所以 OE＝OB，EF＝BP 设 EF 为 x，则 BP＝x，DF＝DE－EF＝4－x， 又因为 BF＝OF＋OB＝OP＋OE＝PE＝PC，PC＝BC－BP＝3－x 第 8 页 共 22 页 所以，AF＝AB－BF＝4－(3－x)＝1＋x 在 Rt△DAF 中，AF2＋AD2＝DF2，也就是(1＋x)2＋32＝(4－x)2 解之得，x＝ 3 5，所以 EF＝ 3 5，DF＝4－ 3 5＝ 17 5 最终,在 Rt△DAF 中，cos∠ADF＝ AD DF＝ 15 17 【点评】本题由题意可知，Rt△DCP≌Rt△DEP 并推理出 Rt△OEF≌Rt△OBP，寻找出合适的 线段设未知数，运用勾股定理列方程求解，并代入求解出所求 cos 值即可得。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13.要使二次根式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 【答案】 【考点】二次根式有意义的条件. 【解析】根据被开方数是非负数，则有 ， . 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键． 14.因式分解： = . 【答案】 【考点】因式分解 【解析】 步骤一：先提公因式 2 得到： ， 步骤二：再利用平方差公式因式分解得到结果： 【点评】此题目考察了对于因式分解的基本判断与认识，属于基础题目 15. 已知一组数据 ， ， ， ， ， 的众数是 和 ，则这组数据的中位数是 。 5x - x 5x ³ 50x -³ 5x³ 22 2 -a ( )( )112 -+ aa ( ) ( )( )1121222 22 -+=-=- aaaa ( )12 2 -a ( )( )112 -+ aa 6 x 3 3 5 1 3 5 第 9 页 共 22 页 【答案】4 【考点】中位数 【解析】解：因为众数为 3 和 5，所以 ，所以中位数为： 【点评】主要考察了众数的知识点，通过众数求中位数 16.如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45°.已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是 m（结果保留根 号）。 【答案】 【考点】三角函数 【解析】∵俯角是 ， ， =120m， 又∵ , 在 Rt△ADC 中 tan∠CDA=tan30°= , （m） 【点评】学会应用三角函数解决实际问题。 17.观察下列等式： ， ， ， ， ， ，…，根据其 中规律可得 · · · 的结果的个位数字是 。 【答案】3 【考点】循环规律 【解析】∵ ， ， ， ， 个位数 4 个数一循环， 余 ， ， · · · 的个位数字是 。 【点评】找到循环规律判断个位数。 5x = ( ) 4253 =÷+ 340 45! !45BDA =Ð ADAB = !30CAD =Ð 3 3=AD CD 40 3CD = 130 = 331 = 932 = 2733 = 8134 = 24335 = +++ 210 333 20183+ 130 = 331 = 932 = 2733 = 8134 = ( ) 504412018 =÷+ 3 13931 =++ +++ 210 333 20183+ 3 第 10 页 共 22 页 18. 如图，矩形 的顶点 在 轴上，且关于 轴对称， 反比例函数 的图像经过点 ，反比例函数 的图像分别与 交于点 ， 若 ，则 等于__________________. 【答案】 【考点】反比例函数综合题 【解析】设 的坐标为 ，则 为 ，其中 ，即 根据题意得到 ， ， ， 矩形面积 把 代入上式，得到 ABCD BA, x y )0(1 >= xx ky C )0(2 <= xx ky CDAD, FE, 03,7 21 =+=D kkS BEF 1k 91 =k B )0,(a A )0,( a- 03 21 =+ kk 21 3kk -= ),( 1 a kaC ),( 2 a kaE -- ),( 1 a kaD - ),3( 1 a kaF - 1 1 22 ka ka =×= 2 2 3 2 2 )2(3 2 2 ka kaDEDFS DEF -= -´ =×=D 1 1 3 2 2 3 4 2 ka kaBCCFS BCF = ´ =×=D 2 2 2 )(2 2 ka kaAEABS ABE -= -´ =×=D 7=DBEFS! 73 2 3 22 2121 =+-+ kkkk 12 3 1 kk -= 7)3 1(3 5 3 4 11 =-´+ kk 79 5 3 4 11 =- kk 79 7 1 =k 91 =k 第 11 页 共 22 页 【点评】该题考察到反比例函数中 值得计算，设点是关键，把各点坐标求出来，根据割补 法求面积列式，求出 的值。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答题因写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题满分 6 分） 计算： 【答案】 【考点】实数的运算；负指数幂；特殊角的三角函数值；根号的化简 【解析】 解：原式= = 【点评】本题先根据实数运算的步骤和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可 20. （本题满分 6 分）解分式方程： . 【答案】 【考点】解分式方程 【解答】 解：方程左右两边同乘 ，得 检验：当 时， 所以，原分式方程的解为 . 【点评】根据解分式的一般步骤进行去分母，然后解一元一次方程,最后记得检验即可. k 1k 33 211 -=-- x x x x 5.1=x )1(3 -x xxx 2)1(33 =-- xxx 2333 =+- 32 =x 5.1=x 5.1=x 5.1=x 0)1(3 ¹-x 第 12 页 共 22 页 21. （本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中， 已知 的三个顶点坐标分别是 . (1)将 向下平移 5 个单位后得到 ， 请画出 ; (2)将 绕原点 逆时针旋转 后得到 ，请画出 ； (3)判断以 为顶点的三角形的形状.（无须说明理由） 【答案】详情见解析 【考点】平面直角坐标系中的作图变换--平移与旋转 【解析】（1）如图所示， 即为所求； （2）如图所示， 即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形。 【点评】常规题型，涉及到作图变换的两种类型：平 移变换和旋转变换，要求数清格子，且按要求作图即可。 22. （本题满分 8 分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学 校对本校 100 名参加选拔赛的同学的成绩按 四个等级进行统计，绘制成如下 不完整的统计表和扇形统计图. ABCD ),1,1(A )3,3(),1,4( CB ABCD 111 CBAD 111 CBAD ABCD O °90 222 CBAD 222 CBAD BAO ,, 1 111 CBAD 222 CBAD DCBA ,,, 第 13 页 共 22 页 (1) 求 ____________, ____________; (2) 在扇形统计图中，求“ 等级”所对应圆心角的度数； (3) 成绩等级为 的 名同学中有 1 名男生和 3 名女生，现从中随机挑选 2 名同学代表学 校参加全市比赛.请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率. 【答案】（1） ；（ 2）108°；（3） 【考点】统计表；扇形统计图；概率统计 【解析】（1） ； 看扇形可知 的百分数为 ，则其频率为 ，则人数为 ， 总人数为 ，则 的人数 总人数 人数， 即 ； （2）圆周角为 ，根据频率之和为 1，求出 的频率为 ， 则“ 等级”对应圆心角的度数为 0.3 360°=108° （3）将 名男生和 名女生标记为 ,用树状图表示如下： =m =n C A 4 30,51 == nm 2 1 5110051.0 =´=m D %15 15.0 1510015.0 =´ 100 C = ）、、（ DBA- 3015514100 =---=n !360 C 3.0 C × 1 3 4321 AAAA 、、、 第 14 页 共 22 页 由树状图可知随机挑选 名学生的情况总共有 种，其中恰好选中 男和 女的情况有 种， 概率 【点评】该题属于常规题，是我们平常练得较多的题目，懂得看扇形统计图以及抓住样本总 量与频率和为 1 是关键。 23. （本题满分 8 分）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E、F，且 BE=DF. （1）求证：▱ABCD 是菱形； （2）若 AB=5,AC=6，求▱ABCD 的面积。 【解答】 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D． ∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠AEB=∠AFD=90°， 又∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD(ASA)． ∴AB=AD， ∴四边形 ABCD 是菱形． 2 12 1 1 6 2 1 12 6 == 第 15 页 共 22 页 （2）如图, 连接 BD 交 AC 于点 O ∵由（1）知四边形 ABCD 是菱形，AC = 6． ∴AC⊥BD, AO=OC= AC = × 6 = 3， ∵AB=5,AO=3, 在 Rt△AOB 中，BO = √AB − AO = √5 − 3 = 4, ∴BD=2BO=8, ∴S▱ABCD = AC ∙ BD = × 6 × 8 = 24 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的性质与判定；勾股定理；菱形的判定与性质、面 积计算． 【解析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D，由题目 AE⊥BC，AF⊥DC 得出∠AEB=∠ AFD=90°，因为 BE=DF,由 ASA 证明△AEB≌△AFD，可得出 AB=AD,根据菱形的判定，即可 得出四边形 ABCD 为菱形。 （2）由平行四边形的性质得出 AC⊥BD，AO=OC= AC=3，在 Rt△AOB 中，由勾股定理 BO = √AB − AO可求 BD, 再根据菱形面积计算公式可求出答案。 【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、菱形的性质 和判定、菱形的面积计算等知识点，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题，属于 中考常考题型． 24.（本题满分 分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料 吨，如果运出甲仓库所存原 料的 ，乙仓库所存原料的 ，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 吨. (1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？ (2)现公司需将 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 元/吨和 元/吨。经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 元/吨（ ），从乙仓库到 10 450 60% 40% 30 300 120 100 a 10 30a££ 第 16 页 共 22 页 工厂的运价不变。设从甲仓库运 吨原料到工厂，请求出总运费 关于 的函数解析式（不 要求写出 的取值范围）； (3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明:随着 的增大， 的变化情况 . 【答案】(1)设甲仓库存放原料 吨,乙仓库存放原料 吨. 根据题意得： 解得 . 故甲仓库存放原料 吨,乙仓库存放原料 吨. (2)据题意，从甲仓库运 吨原料到工厂，则从乙仓库运 吨原料到工厂 总运费. (3)①当 ， ，由一次函数的性质可知， 随着m的增大而增大. ②当 时, ， 随着 m 的增大没有变化. ③当 ，则 ， 随着 m 的增大而减小. 【考点】二元一次方程组；一次函数的性质及应用 【解析】(1)根据题意，可设甲仓库存放原料 吨,乙仓库存放原料 吨，利用甲、乙两仓库 的原料吨数之和为 吨以及乙仓库剩余的原料比甲的 吨.，即可列出二元一次方程组求 解. (2)据题意，从甲仓库运 吨原料到工厂，则 从乙仓库运 吨原料到工厂，甲仓库到 工厂的运价为 元/吨，由乙仓库到工厂的运价不变即为 元/吨，利用“运费=运价 ×数量”即可求出甲、乙仓库到工厂的总运费 . (3)本题考察一次函数的性质，一次项系数 20 − a 的大小决定 随着 的增大而如何变化， 需根据题中所给参数a的取值范围， 进行3种情况讨论，判断 的正负，可依次得到 m W m m m W x y 450 (1 40%) (1 60%) 30 xy yx ì += í ---=î 240 210 x y ì = í =î 240 210 m 300 m- (120 ) 100(300 ) (20 ) 30000Wammam=-+ -=-+ 10 ＜20a£ 20 ＞0a- W 20a = 20 =0a- W 20 30a££ 20 ＜0a- W x y 450 30 m 300 m- 120 a- 100 W W m 20 a- 第 17 页 共 22 页 、 即 ，即得 随着 的增大的变化情况. 【点评】此题考察二元一次方程组及一次函数的性质及应用，根据题中的数量关系不难列出 二元一次方程组及总运费 关于 的函数解析式，难点在于最后一问函数性质的运用，需 利用题中所给的数量参数 的范围，讨论一次项系数， 随着 的增大而产生的变化情况. 25. 如图， 内接于⊙O， ， 为直径， 与 相交于点 ， 过点 作 ，垂足为 ，延长 交 的延长线于点 ，连接 。 （1）求证： 与⊙O 相切； （2）若 ，求 的值； （3）在（2）的条件下，若⊙O 的半径为 8， ，求 的长. 【答案】】解：（1）证： 如图 1，连接 ,则 ∵弧 BC=弧 BC 又∵∠CBG=∠A ∵CD 是⊙O 直径 点 在圆上， 与⊙O 相切 20 ＞0a- 20 =0a- 20 ＜0a- W m W m a W m ABC△ =CBG A∠ ∠ CD OC AB E E EF BC⊥ F CD GB P BD PG 5 8 EF AC = BE OC PD OD= OE OB ODOB = DBOBDC Ð=Ð BDCA Ð=Ð DBOA Ð=Ð DBOCBG Ð=Ð °=Ð+Ð 90OBCDBO °=Ð+Ð 90OBCCBG °=Ð 90OBG B PG 图 1 第 18 页 共 22 页 （2）方法一： 如图 2 过 作 于点 , 链接 OA ，则 ， ∵弧 =弧 ∴ 又∵ ∴ ∽ ∴ ∵ , ∴ 又∵ 方法二： ∵CD 是⊙O 直径 ∵ 又∵ ∽ ① O ACOM ⊥ M AOCCOMAOM ∠ 2 1∠∠ == ACAM 2 1= AC AC AOCABC ∠=∠ 2 1 °=∠=∠ 90OGAEFB BEFΔ OAMΔ OA BE AM EF = ACAM 2 1= OCOA= OC BE AC EF = 2 1 5 8 EF AC = 4 5 8 522 =×=×=∴ AC EF OC BE °=Ð 90DBC °=Ð 90EFC ECFDCB ∠=∠ DCBD ECFD DC EC DB EF = 图 2 M BCEF ⊥ 第 19 页 共 22 页 又∵∠ =∠ ∽ ② ①×②得： 即 又∵ （3）∵ , 在 中， 又 ∵ 是等边三角形 ∵ , ， 可设 在 中， 解得： BDE EAC AECDEB Ð=Ð DEBD AECD EC BE AC DB = EC BE DC EC AC DB DB EF ×=× DC BE AC EF = 8 5= DC BE OCDC 2= 8 5 2 = OC BE 4 5=OC BE ODPD= °=∠ 90PDO 8== ODBD DBCRtD 3822 =-= BDDCBC OBOD = DOBD °=Ð 60DOB OCBOBCDOB +∠∠=∠ OCOB = °=Ð 30OCB 2 1=CE EF 3=EF FC xFCxECxEF 3,2, === xBF 338 -= BEFRtD 222 BFEFBE += ( )22 338100 xx -+= 136±=x 第 20 页 共 22 页 ∵ ，舍去 【考点】切线的性质和判断；相似三角形 【解析】（1）要证为切线只需证明 为 90 度， 与 为同弧所对圆周角相等， 又 ，得 即可证明。 （2）通过证明 2 组三角形相似，建立比例关系，消元后，再在直角三角形 中利用勾股 定理求解即可。 【点评】本题第一问比较常规，第二问需要建立相似比之间的数量关系，第三问需要转化到 一个直角三角形中利用勾股定理解题，还要对两个解进行处理，思路复杂，而且计算量较大， 属于较难的题目。 26.(本题满分 10 分)如图，抛物线 与坐标轴分别交于点 三点，其中 ，点 在 轴上， ，过点 B 作 轴交抛物线于点 ，点 分别是线段 上的动点，且 ，连接 （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）当△CMN 是直角 三角形时，求点 M 的坐标 ； （3）试求出 的最小值. 【答案】（1）抛物线的解析式为： ； D（3，5）. 8136 >+! 136-=x 13212 -=EC ( ) 4132132128 -=--=OE OBGÐ AÐ BDCÐ DBOBDC Ð=Ð DBOCBG Ð=Ð BEF 2 5yaxaxc=-+ ,,AC E (3,0),(0,4)AC- B x AC BC= BD ^ x D MN， ,CO BC CM BN= ,,.MN AM AN AM AN+ 46 5 6 1 2 ++-= xxy 第 21 页 共 22 页 （2）M（0， ）或 M（0， ） （3） 【考点】①用待定系数法求解析式；②动点形成相似三角形的运用；③全等三角形的证明， 动点中线段和最值问题的转化 【解析】解：（1） 把点 A（-3，0）、 C（0，4）带入 得 解得 ∴抛物线的解析式为： ∵AC=BC, OC=OC ∴Rt△AOC Rt△BOC（HL） ∴OA=OB ∵A（-3，0） ∴B（3，0） ∵BD⊥ 轴，D 在抛物线上 ∴D（3，5） （2）由（1）得 OC=4， BC=5，设 M（0， ） ∵CM=BN ∴CM=BN=4- ，CN=BC-BN=5-（4- ）=1+ ①当∠CMN=90°时，△CMN∽△COB 由 得 解得： ∴M（0， ） ②当∠CNM=90°时，△CNM∽△COB 9 16 9 11 61 caxaxy +-= 52 î í ì = =++ 4 0159 c caa ïî ïí ì = -= 4 6 1 c a 46 5 6 1 2 ++-= xxy @ x a a a a CB CN CO CM = 5 1 4 -4 aa += 9 16=a 9 16 第 22 页 共 22 页 由 得 解得： ∴M（0， ） 综上所述：当△CMN 是直角三角形时 M（0， ）或 M（0， ） （3）连接 DN、AD，如右图， ∵BD⊥ 轴 ∴∠OCB=∠DBN ∵∠OCB=∠ACM ∴∠ACM =∠DBN 又∵CM=BN，AC=BD ∴△CAM △BDN（SAS） ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN 当 A、N、D 三点共线时，DN+AN=AD 即 AM+AN 的最小值为 AD ∵AB=6 , BD=5 ∴在 △ABD 中，由勾股定理得， AD= ∴AM+AN 的最小值为 . 【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的综合 运用，直角三角形的分类讨论，全等三角形的证明及线段和最值问题的转化思想，此题 1、 2 问难度适中，3 问综合性较强，难度较大。 CO CN CB CM = 4 1 5 -4 aa += 9 11=a 9 11 9 16 9 11 y @ tR 6122 =+ BDAB 61