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文档介绍
中考数学压轴题精选一及答案
2010中考数学压轴题精选(一) ★★1、(2010北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= -x2+x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上。 (1)求点B的坐标; (2)点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E。延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长; k 若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F。延长QF 到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时,M点,N点也随之运动)。若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值。 x y O 1 1 ★★2、(2010北京)问题:已知△ABC中,ÐBAC=2ÐACB,点D是△ABC 内的一点,且AD=CD,BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。 请你完成下列探究过程: 先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当ÐBAC=90°时,依问题中的条件补全右图。观察图形,AB与AC的数量关系为 ; 当推出ÐDAC=15°时,可进一步推出ÐDBC的度数为 ;可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为 ; (2) 当ÐBAC¹90°时,请你画出图形,研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。 A C B ★★3、(2010郴州)如图(1),抛物线与y轴交于点A,E(0,b)为y 轴上一动点,过点E的直线与抛物线交于点B、C. (1)求点A的坐标; (2)当b=0时(如图(2)),与的面积大小关系如何?当时,上述关系还成立吗,为什么? (3)是否存在这样的b,使得是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由. 第26题 图(1) 图(2) ★★4、(2010滨州)如图,四边形ABCD是菱形,点 D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式; (3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位? ★★5、(2010长沙)已知:二次函数的图象经过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b),其中且、为实数. (1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示); (2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点; (3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求| x1-x2 |的范围. ★★6、(2010长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上, cm, OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒 1 cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒. (1)用t的式子表示△OPQ的面积S; (2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值; (3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比. B A P x C Q O y 第26题图 ★★7、(2010常德)如图9,已知抛物线轴交于点A(-4,0)和B(1,0)两点,与y轴交于C点. (1)求此抛物线的解析式; (2)设E是线段AB上的动点,作EF∥AC交BC于F,连接CE,当的面积是面积的2倍时,求E点的坐标; (3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作y轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标. A B O C 图9 y x ★★8、(2010常德)如图10,若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE. (1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE 是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M. ①求证:AG⊥CH; ②当AD=4,DG=时,求CH的长。 A B C D E F 图10 G A D 图11 F E B C G A D B C E F H M 图12 ★★9、(2010丹东)如图, 已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC, BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时, △DMN 也随之整体移动) . (1)如图①,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由; (2)如图②,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图②证明;若不成立,请说明理由; (3)若点M在点C右侧时,请你在图③中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论,不必证明或说明理由. 图① 图② 图③ 第25题图 A · B C D E F · · · ★★10、(2010丹东)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为 (-8,0),点N的坐标为(-6,-4). (1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C); (2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; (3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由; (4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出 此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由. 第26题图 参考答案 ★★1、(2010北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= -x2+x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上。 (1)求点B的坐标; (2)点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E。延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长; k 若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F。延长QF 到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时,M点,N点也随之运动)。若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值。 x y O 1 1 O A B C D E P y x 图1 解:(1)∵拋物线y= -x2+x+m2-3m+2经过原点,∴m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2,由题意知m¹1,∴m=2, ∴拋物线的解析式为y= -x2+x, ∵点B(2,n)在拋物线y= -x2+x上, ∴n=4,∴B点的坐标为(2,4)。 (2)j 设直线OB的解析式为y=k1x,求得直线OB的解析式为 y=2x,∵A点是拋物线与x轴的一个交点,可求得A点的坐标为(10,0),设P点的坐标为(a,0),则E点的坐标为(a,2a),根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。可求得点C的坐标为(3a,2a),由C点在拋物线上,得2a= -´(3a)2+´3a,即a2-a=0,解得a1=,a2=0(舍去),∴OP=。 k 依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2x+b,由点A(10,0), 点B(2,4),求得直线AB的解析式为y= -x+5,当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况: 第一种情况:CD与NQ在同一条直线上。 如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t,∴t+4t+2t=10,∴t=。 第二种情况:PC与MN在同一条直线上。 如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t,∵F点在直线AB上,∴FQ=t,∴MQ=2t,∴PQ=MQ=CQ=2t, ∴t+2t+2t=10,∴t=2。 第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上, 如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10, 图4 y x B O Q(P) N C D M E F ∴t=。综上,符合题意的t值分别为,2, 。 x y O A M (C) B (E) D P Q F N 图3 E x O A B C y P M Q N F D 图2 ★★2、(2010北京)问题:已知△ABC中,ÐBAC=2ÐACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。 请你完成下列探究过程: 先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当ÐBAC=90°时,依问题中的条件补全右图。观察图形,AB与AC的数量关系为 ; 当推出ÐDAC=15°时,可进一步推出ÐDBC的度数为 ;可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为 ; (2) 当ÐBAC¹90°时,请你画出图形,研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。 A C B 解:(1) 相等;15°;1:3。 (2) 猜想:ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。 证明:如图2,作ÐKCA=ÐBAC,过B点作BK//AC交CK于点K, 连结DK。∵ÐBAC¹90°,∴四边形ABKC是等腰梯形, ∴CK=AB,∵DC=DA,∴ÐDCA=ÐDAC,∵ÐKCA=ÐBAC, B A C D K 1 2 3 4 5 6 图2 ∴ÐKCD=Ð3,∴△KCD@△BAD,∴Ð2=Ð4,KD=BD, ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC,∴ÐACB=Ð6, ∵ÐKCA=2ÐACB,∴Ð5=ÐACB,∴Ð5=Ð6,∴KC=KB, ∴KD=BD=KB,∴ÐKBD=60°,∵ÐACB=Ð6=60°-Ð1, ∴ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1, ∵Ð1+(60°-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°,∴Ð2=2Ð1, ∴ÐDBC与ÐABC度数的比值为1:3。 ★★3、(2010郴州)如图(1),抛物线与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线与抛物线交于点B、C. (1)求点A的坐标; (2)当b=0时(如图(2)),与的面积大小关系如何?当时,上述关系还成立吗,为什么? (3)是否存在这样的b,使得是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由. 第26题 图(1) 图(2) 解:(1)将x=0,代入抛物线解析式,得点A的坐标为(0,-4) (2)当b=0时,直线为,由解得, 所以B、C的坐标分别为(-2,-2),(2,2) , 所以(利用同底等高说明面积相等亦可) 当时,仍有成立. 理由如下 由,解得, 所以B、C的坐标分别为(-,-+b),(,+b), 作轴,轴,垂足分别为F、G,则, 而和是同底的两个三角形, 所以. (3)存在这样的b. 因为 所以,所以,即E为BC的中点 所以当OE=CE时,为直角三角形,因为 所以 ,而 所以,解得, 所以当b=4或-2时,ΔOBC为直角三角形. ★★4、(2010滨州)如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式; (3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位? 解: 解:①由抛物线的对称性可知AM=BM 在Rt△AOD和Rt△BMC中,∵OD=MC,AD=BC, ∴△AOD≌△BMC.∴OA=MB=MA. 设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中, ,解得m=1.∴DC=2,OA=1,OB=3. ∴A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(2,) ②设抛物线的解析式为y=(—2)2+ 代入A点坐标可得=— 抛物线的解析式为y=—(—2)2+ ③设抛物线的解析式为y=—(一2)2+k,代入D(0,)可得k=5 所以平移后的抛物线的解析式为y=—(一2)2+5,平移了5一=4个单位. ★★5、(2010长沙)已知:二次函数的图象经过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b),其中且、为实数. (1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示); (2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点; (3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求| x1-x2 |的范围. 解:(1)∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx ∵一次函数过(1,-b) ∴y=-bx (2)∵y=ax2+bx-2过(1,0)即a+b=2 由得 ① ∵△= ∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ∴两函数有两个不同的交点. (3)∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ∴ ∴= 或由求根公式得出。 ∵a>b>0,a+b=2 ∴2>a>1 令函数 ∵在1查看更多
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