2020年中考数学真题试题（含解析） 新 人教版

2020年中考数学真题试题（含解析） 新 人教版

‎2019年中考数学真题试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（4分）计算的结果是（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．‎ ‎2．（4分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　）‎ A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意 ‎3．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4分）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（　　）‎ A．3 B．6 C．8 D．9‎ ‎5．（4分）与最接近的整数是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎6．（4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（4分）化简的结果为（　　）‎ A． B．a﹣1 C．a D．1‎ ‎8．（4分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ 26‎ ‎9．（4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）‎ A．2π B． C． D．‎ ‎10．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）‎ A．4 B．6 C． D．8‎ ‎12．（4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果）‎ ‎13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=　 　度．‎ 26‎ ‎14．（4分）分解因式：2x3﹣6x2+4x=　 　．‎ ‎15．（4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于　 　．‎ ‎16．（4分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　 　．‎ ‎17．（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．‎ ‎19．（5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．‎ 26‎ ‎20．（8分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：‎ 时间（小时）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数 ‎5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；‎ ‎（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．‎ ‎（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？‎ ‎21．（8分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；‎ ‎（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．‎ ‎22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．‎ ‎（1）求证：PA•BD=PB•AE；‎ 26‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．‎ ‎23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　 　；位置关系是　 　．‎ ‎（2）类比思考：‎ 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．‎ ‎（3）深入研究：‎ 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．‎ ‎24．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；‎ ‎（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；‎ ‎（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．‎ 26‎ ‎　‎ 26‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（4分）计算的结果是（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．‎ ‎【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值．‎ ‎【分析】先计算绝对值，再计算减法即可得．‎ ‎【解答】解：=﹣=0，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的减法法则．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　）‎ A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意 ‎【考点】X1：随机事件．‎ ‎【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．‎ ‎【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；‎ B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；‎ C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；‎ D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 26‎ ‎【考点】P3：轴对称图形．‎ ‎【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知：选项C中的图形不是轴对称图形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称图形，牢记轴对称图形的概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（　　）‎ A．3 B．6 C．8 D．9‎ ‎【考点】35：合并同类项；42：单项式．‎ ‎【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，‎ ‎∴单项式am﹣1b2与是同类项，‎ ‎∴m﹣1=2，n=2，‎ ‎∴m=3，n=2，‎ ‎∴nm=8．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）与最接近的整数是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】2B：估算无理数的大小；27：实数．‎ ‎【分析】由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵36＜37＜49，‎ ‎∴＜＜，即6＜＜7，‎ ‎∵37与36最接近，‎ ‎∴与最接近的是6．‎ 故选：B．‎ 26‎ ‎【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=6最接近．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．‎ ‎【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．‎ ‎【解答】解：sinA===0.15，‎ 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）化简的结果为（　　）‎ A． B．a﹣1 C．a D．1‎ ‎【考点】6B：分式的加减法．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=+‎ 26‎ ‎=‎ ‎=a﹣1‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】O2：推理与论证．‎ ‎【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．‎ ‎【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，‎ 所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；‎ 若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，‎ 所以甲只能是胜两场，‎ 即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．‎ 答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）‎ A．2π B． C． D．‎ ‎【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．‎ ‎【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．‎ ‎【解答】解：如图，连接CO，‎ 26‎ ‎∵∠BAC=50°，AO=CO=3，‎ ‎∴∠ACO=50°，‎ ‎∴∠AOC=80°，‎ ‎∴劣弧AC的长为=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．‎ ‎【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．‎ ‎【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，‎ 依题意得：﹣=30，即．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥‎ 26‎ BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）‎ A．4 B．6 C． D．8‎ ‎【考点】KO：含30度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，‎ ‎∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，‎ ‎∴∠ACB=2∠B，NM=NC，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∵AN=1，‎ ‎∴MN=2，‎ ‎∴AC=AN+NC=3，‎ ‎∴BC=6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．‎ ‎【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△‎ 26‎ APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，‎ 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，‎ ‎∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，‎ ‎∴△BPE为等边三角形，‎ ‎∴PE=PB=4，∠BPE=60°，‎ 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，‎ ‎∴AE2=PE2+PA2，‎ ‎∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，‎ ‎∴∠APB=90°+60°=150°．‎ ‎∴∠APF=30°，‎ ‎∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．‎ ‎∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．‎ 则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果）‎ ‎13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=　40　度．‎ 26‎ ‎【考点】JA：平行线的性质．‎ ‎【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1的度数可得答案．‎ ‎【解答】解：∵a∥b，‎ ‎∴∠1+∠2=180°，‎ ‎∵∠1=140°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠1=40°，‎ 故答案为：40．‎ ‎【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）分解因式：2x3﹣6x2+4x=　2x（x﹣1）（x﹣2）　．‎ ‎【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等；53：因式分解﹣提公因式法．‎ ‎【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．‎ ‎【解答】解：2x3﹣6x2+4x ‎=2x（x2﹣3x+2）‎ ‎=2x（x﹣1）（x﹣2）．‎ 故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．‎ ‎【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于　10　．‎ ‎【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．‎ ‎【分析】要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD∥BC，CD=AB=2‎ 26‎ 由折叠，∠DAC=∠EAC ‎∵∠DAC=∠ACB ‎∴∠ACB=∠EAC ‎∴OA=OC ‎∵AE过BC的中点O ‎∴AO=BC ‎∴∠BAC=90°‎ ‎∴∠ACE=90°‎ 由折叠，∠ACD=90°‎ ‎∴E、C、D共线，则DE=4‎ ‎∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10‎ 故答案为：10‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略E、C、D三点共线．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　2　．‎ ‎【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．‎ ‎【解答】解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，‎ ‎∴AC=BC=BD，‎ 由题意得：AC=BD=m，‎ 当y=0时，x2+2x﹣3=0，‎ ‎（x﹣1）（x+3）=0，‎ x1=1，x2=﹣3，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0），‎ ‎∴AB=3+1=4，‎ 26‎ ‎∴AC=BC=2，‎ ‎∴m=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　2018　．‎ ‎【考点】37：规律型：数字的变化类．‎ ‎【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；‎ ‎【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，‎ ‎∴第45行第一个数是2025，‎ ‎∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，‎ 故答案为2018．‎ ‎【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．‎ ‎　‎ 26‎ 三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．‎ ‎【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；76：分母有理化．‎ ‎【分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a ‎=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a ‎=2ab﹣1，‎ 当时，‎ 原式=2（+1）（）﹣1‎ ‎=2﹣1‎ ‎=1．‎ ‎【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．‎ ‎【考点】K7：三角形内角和定理．‎ ‎【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．‎ ‎【解答】证明：过点A作EF∥BC，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠1=∠B，∠2=∠C，‎ ‎∵∠1+∠2+∠BAC=180°，‎ ‎∴∠BAC+∠B+∠C=180°，‎ 即∠A+∠B+∠C=180°．‎ 26‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：‎ 时间（小时）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数 ‎5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；‎ ‎（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．‎ ‎（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？‎ ‎【考点】X4：概率公式；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．‎ ‎【分析】（1）先根据表格提示的数据得出50名学生读书的时间，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，9出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，从而求出中位数是8.5；‎ ‎（2）根据题意直接补全图形即可．‎ ‎（3）从表格中得知在50名学生中，读书时间不少于9小时的有25人再除以50即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：‎ ‎（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，‎ 故这组样本数据的平均数为2；‎ ‎∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数是9；‎ ‎∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，‎ 26‎ ‎∴这组数据的中位数为（8+9）=8.5；‎ ‎（2）补全图形如图所示，‎ ‎（3）∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10，‎ ‎∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人，‎ ‎∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是=‎ ‎【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；‎ ‎（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．‎ ‎【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；‎ 26‎ ‎（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，‎ ‎∴A（1，3），‎ 把A（1，3）代入双曲线y=，可得m=1×3=3，‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为：y=；‎ ‎（2）∵A（1，3），‎ ‎∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；‎ ‎（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，‎ ‎∴点B的坐标为（4，0），‎ 把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴y2=x+，‎ 令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），‎ ‎∴BC=7，‎ ‎∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，‎ ‎∴CP=BC=，或BP=BC=，‎ ‎∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，‎ ‎∴P（﹣，0）或（，0）．‎ ‎【点评】‎ 26‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．‎ ‎（1）求证：PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】MR：圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．‎ ‎（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵DP平分∠APB，‎ ‎∴∠APE=∠BPD，‎ ‎∵AP与⊙O相切，‎ ‎∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，‎ ‎∴∠EAP=∠B，‎ ‎∴△PAE∽△PBD，‎ ‎∴，‎ 26‎ ‎∴PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，‎ ‎∵DP平分∠APB，‎ AD⊥AP，DF⊥PB，‎ ‎∴AD=DF，‎ ‎∵∠EAP=∠B，‎ ‎∴∠APC=∠BAC，‎ 易证：DF∥AC，‎ ‎∴∠BDF=∠BAC，‎ 由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，‎ 解得：AE=2，BD=3，‎ ‎∴由（1）可知：，‎ ‎∴cos∠APC==，‎ ‎∴cos∠BDF=cos∠APC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF=2，‎ ‎∴DF=AE，‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形，‎ ‎∵AD=AE，‎ ‎∴四边形ADFE是菱形，‎ 此时点F即为M点，‎ ‎∵cos∠BAC=cos∠APC=，‎ ‎∴sin∠BAC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DG=，‎ ‎∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形 26‎ 其面积为：DG•AE=2×=‎ ‎【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　MG=NG　；位置关系是　MG⊥NG　．‎ ‎（2）类比思考：‎ 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．‎ ‎（3）深入研究：‎ 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．‎ ‎【考点】KY：三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；‎ ‎（2）同（1）的方法即可得出结论；‎ ‎（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．‎ 26‎ ‎【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H，‎ ‎∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°‎ ‎∴∠CAD=∠BAE，‎ ‎∴△ACD≌△AEB（SAS），‎ ‎∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，‎ ‎∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，‎ ‎∴∠BHD=90°，‎ ‎∴CD⊥BE，‎ ‎∵点M，G分别是BD，BC的中点，‎ ‎∴MGCD，‎ 同理：NGBE，‎ ‎∴MG=NG，MG⊥NG，‎ 故答案为：MG=NG，MG⊥NG；‎ ‎（2）连接CD，BE，相较于H，‎ 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；‎ ‎（3）连接EB，DC，延长线相交于H，‎ 同（1）的方法得，MG=NG，‎ 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，‎ ‎∴∠AEB=∠ACD，‎ ‎∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，‎ 26‎ ‎∴∠DHE=90°，‎ 同（1）的方法得，MG⊥NG．‎ ‎【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；‎ ‎（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；‎ ‎（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）将已知点坐标代入即可；‎ ‎（2）利用抛物线增减性可解问题；‎ ‎（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣）求出相关角度．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（1，），点B（3，﹣）分别代入y=ax2+bx得 解得 26‎ ‎∴y=﹣‎ ‎（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=‎ 当x＞时，y随x的增大而减小 ‎∴当t＞4时，n＜m．‎ ‎（3）如图，设抛物线交x轴于点F 分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E ‎∵AC≥AD，BC≥BE ‎∴AD+BE≥AC+BE=AB ‎∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．‎ ‎∵A（1，），点B（3，﹣）‎ ‎∴∠AOF=60°，∠BOF=30°‎ ‎∴∠AOB=90°‎ ‎∴∠ABO=30°‎ 当OC⊥AB时，∠BOC=60°‎ 点C坐标为（，）．‎ ‎【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．‎ ‎　‎ 26‎