2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练44　简单几何体的表面积与体积

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练44　简单几何体的表面积与体积

课时分层训练(四十四)　简单几何体的表面积与体积 ‎(对应学生用书第285页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图759所示，则该三棱锥的体积为(　　)‎ 图759‎ A．60　　　　　　 B．30‎ C．20 D．10‎ D　[‎ 由三视图画出如图所示的三棱锥PACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱锥PACD＝××3×5×4＝10.‎ 故选D.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)如图7510是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ 图7510‎ A．20π B．24π C．28π D．32π C　[由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为2，所以圆锥的母线长为＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅲ)如图7511，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ 图7511‎ A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81‎ B　[‎ 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B.]‎ ‎4．某几何体的三视图如图7512所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x的值是(　　)‎ 图7512‎ A．2 B． C. D．3‎ D　[由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝×(1＋2)×2＝3，‎ 所以V＝x·3＝3，‎ 解得x＝3.]‎ ‎5．(2018·石家庄质检)某几何体的三视图如图7513所示，则该几何体的体积是(　　) ‎ ‎【导学号：79140241】‎ 图7513‎ A．16 B．20‎ C．52 D．60‎ B　[由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中四边形ABCD为邻边长分别为2,4的长方形，四边形CDEF为上底为2、下底为6、高为3的等腰梯形，所以该几何体可以看作是由两个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱锥和一个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱柱组成，则该几何体的体积为2×××3×4×2＋×3×4×2＝20，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎12　[设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，‎ ‎∴斜高h′＝＝2，‎ ‎∴S侧＝6××2×2＝12.]‎ ‎7．(2017·江苏高考)如图7514，在圆柱O1O2内有一个球O ‎，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．‎ 图7514‎ 　[设球O的半径为R，‎ ‎∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，‎ ‎∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.‎ ‎∴＝＝.]‎ ‎8．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．‎ π　[设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.‎ 设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，‎ ‎∴R＝.‎ 故球的体积V＝πR3＝π×3＝π.]‎ 三、解答题 ‎9.如图7515，在三棱锥DABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝‎ AC＋CD＝10，求三棱锥DABC的体积的最大值. ‎ ‎【导学号：79140242】‎ 图7515‎ ‎[解]　由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，∵棱AD与棱BC相互垂直，设d为AD到BC的距离，‎ 则VDABC＝AD·BC×d××＝2d，‎ 当d最大时，VDABC体积最大．‎ ‎∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，‎ ‎∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，‎ d有最大值＝.‎ 此时V＝2.‎ ‎10.如图7516，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ 图7516‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；‎ ‎(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．‎ ‎[解]　(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．‎ ‎(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.‎ 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.‎ 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.‎ 故S＝×(4＋10)×8＝56，‎ S＝×(12＋6)×8＝72.‎ 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，‎ 所以其体积的比值为.]‎ B组　能力提升 ‎11．(2018·东北三省四市模拟(一))点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°.若四面体ABCD体积的最大值为 ‎，则这个球的表面积为(　　)‎ A. B．4π C. D． D　[因为AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，所以由正弦定理知△ABC外接圆的半径r＝×＝1，S△ABC＝AB×BCsin 120°＝.设外接圆的圆心为Q，则当DQ与平面ABC垂直时，四面体ABCD的体积最大，所以S△ABC×DQ＝，所以DQ＝3.设球心为O，半径为R，则在Rt△AQO中，OA2＝AQ2＋OQ2，即R2＝12＋(3－R)2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝，故选D.]‎ ‎12．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________. ‎ ‎【导学号：79140243】‎ π　[如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得 HA＝·2R＝R，‎ ‎∴OH＝.‎ ‎∵截面面积为π＝π·(HM)2，‎ ‎∴HM＝1.‎ 在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，‎ ‎∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，‎ ‎∴R＝，‎ ‎∴S球＝4πR2＝4π·＝π.]‎ ‎13．四面体ABCD及其三视图如图7517所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.‎ ‎　　‎ 图7517‎ ‎(1)求四面体ABCD的体积；‎ ‎(2)证明：四边形EFGH是矩形．‎ ‎[解]　(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，‎ ‎∴AD⊥平面BDC，‎ ‎∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.‎ ‎(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，‎ ‎∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.‎ 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形．‎ 又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.‎ ‎∴四边形EFGH是矩形．‎