专题45+空间点、直线、平面之间的位置关系（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习

专题45+空间点、直线、平面之间的位置关系（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习

【学习目标】 1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的 位置关系． 2．掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语言的密切联系及相互转化． 3．掌握空间两条直线的位置关系的证明，并能够判定两条直线的异面关系，会求两条异面 直线所成的角． 4．熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些 简单问题． 【知识要点】 1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内． (2)公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)确定平面的条件： ①_______________可确定一个平面． ②一条直线和_______一点可确定一个平面． ③两条____________直线可确定一个平面． (4)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的 公共直线． 2．空间两直线的位置关系 (1)位置关系的分类 . (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成 的______________叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围：______． 3．平行公理 平行于同___________两条直线互相平行． 4．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S 侧＝______ V＝πr2h 圆锥 S 侧＝______ V＝1 3πr2h 圆台 S 侧＝π(r1＋r2)l V＝1 3πh(r12＋r1·r2＋r22) 直棱柱 S 侧＝ch V＝S 底·h 正棱锥 S 侧＝ V＝1 3S 底·h 正棱台 S 侧＝1 2(c＋c′)h′ V＝1 3(S 上＋＋S 下)h 球 S 球面＝______ V 球＝ 表中 S 表示面积，c′，c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h′表示斜高，l 表示侧棱长． 【高考模拟】 一、单选题 1．如图，在正四棱台 中，上底面边长为 4，下底面边长为 8，高为 5，点 分别在 上，且 .过点 的平面 与此四棱台的下底面会相交，则平 面 与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知，当平面α经过 BCNM 时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四 棱台的高及 MN 中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积。 【详解】 当斜面α经过点 时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上 底为 MN=4，下底为 BC=8 此时作正四棱台 俯视图如下： 【点睛】 本题考查了立体几何中过定点的截面面积问题，关键是分析出截面的位置，再根据条件求得 各数据，需要很好的空间想象能力，属于难题。 2．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图，还原空间结构体，分别求得各面的面积求和即可。 【详解】 根据三视图，画出原空间结构图如下图所示： 所以表面积为 所以选 B 【点睛】 本题考查了立体几何三视图的简单应用，判断好每个面各边的关系是解决面积问题的关键， 属于基础题。 3．棱长分别为 2、 、 的长方体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可. 【详解】 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接 点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为 正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球 面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 4．某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为（ ） A． 8 B． C． 20 D． 24 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图得到几何体的直观图，然后结合直观图的特征和相关数据求得几何体的体积． 【详解】 所以该四面体的体积是 ． 故选 A． 【点睛】 以三视图为载体考查几何体的表面积和体积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析， 从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再结合题意求解． 5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为 ， ， ，且 ，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即 为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体 的四个顶点，即 为三棱锥 ，且长方体 的长、宽、高分别为 ， 故选 B． 【点睛】 （1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等 于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用． （2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究 其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问 题． 6．已知正四棱锥 (底面四边形 是正方形，顶点 在底面的射影是底面的中心) 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 ，若该正四棱锥的体积为 ，则此球的 体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意作出图形，分别计算出棱锥的高、底面对角线长，然后构造直角三角形，求出结果 【详解】 故选 【点睛】 本题考查了正四棱锥的外接球问题，关键是要找出球心所在位置，然后计算，在计算过程中 注意图形的构造，由勾股定理求出结果，较为基础 7．点 是棱长为 的正方体 的棱切球上的一点，点 是 的外接圆上的 一点，则线段 的取值范围是（_____） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别求得正方体的棱切球与外接球半径，M 点要棱切球上动，N 点在外接球上某个小圆上 动,MN 的最大值与最小值为两个球半径和与差。 【详解】 【点睛】 本题考查空间距离计算，考查学生分析解决问题的能力，转化为 M 点要棱切球上动，点 N 在外接球上某个小圆上动是本题的关键。 8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是 的圆，则这个几何体的 表面积是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 几何体是球体切去 后余下的部分，球的半径为 2，代入球的表面积公式可得答案． 【详解】 【点睛】 (1)本题主要考查三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这 些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法 和模型法. 9．已知球 的半径为 ， ， ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 的距离为 ， ， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意首先求得球的半径，然后求解其表面积即可. 【详解】 由余弦定理得： ， 设三角 ABC 外接圆半径为 r，由正弦定理可得： ，则 ， 又 ，解得： ， 则球的表面积 . 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查余弦定理的应用，球与多面体的切接问题等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 10．在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ，该四棱锥被一 平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由题意结合三视图确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积比即可. 【详解】 【点睛】 (1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观 图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直 接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 11．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱 锥的体积为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 12．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则俯视图中圆的半径为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，计算表面积令其等于 ，即可得 解. 【详解】 【点睛】 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视 图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再根据所求进行解题即可． 13． 九章算术 是我国古代数学名著，在 九章算术 中将底面为矩形且有一侧棱垂直于 底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。 【详解】 由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示； 【点睛】 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题． 14．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是该几何体是如图所示的三棱 柱 挖去一个三棱锥 ，进而得到答案． 【详解】 故选 A. 【点睛】 本题考查的知识点是由三视图求几何体体积，考查空间想象能力，属于中档题． 15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可. 【详解】 【点睛】 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从 三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而 表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 16．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接 球的表面积等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径 圆心设为 M 半径为 r，球心到底面距离为 设球心为 O，根据勾股定理列出方程即可. 【详解】 由三视图知几何体是底面为边长为 3，4，5 的三角形，高为 5 的三棱柱被平面截得的， 如图所示， 【点睛】 这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或 者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外 接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。 17．三棱锥 A-BCD 的所有顶点都在球 的表面上， 平面 ， ， ，则球 的表面积为 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先确定三角形 BCD 外接圆半径，再解方程得外接球半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】 因为 ， ，所以 ， 因此三角形 BCD 外接圆半径为 , 设外接球半径为 R，则 选 D. 【点睛】 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或 线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系， 或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已 知量的关系，列方程(组)求解. 18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． 1 B． 2 C． 3 D． 6 【答案】B 【解析】 【分析】 画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】 解：由题意可知几何体的形状如图： ， ， ， ，BCDE 是矩形， ， 所以几何体的体积为： ． 故选：B． 【点睛】 本题考查几何体的体积的求法，三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键． 19．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 该几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，由此可求该几何体的表面积. 【详解】 故选：D． 【点睛】 本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部 分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端． 20．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先找到三视图对应的几何体原图，再利用补形法求几何体外接球的半径，最后求球的表面积. 【详解】 还原几何体如图所示三棱锥由 （如下左图）， 【点睛】 (1)本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的表面积计算，意在考查学生对这 些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)求几何体外接球的半径常用直接法和模型 法，本题利用的就是模型法,简捷高效. 21．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． 2 B． C． 4 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由三视图可知该几何体为四棱锥，底面与俯视图轮廓相同，高与正视图的高一致，由棱锥的 体积公式即可求得体积. 【详解】 【点睛】 本题考查三视图还原以及锥体的体积，当三视图中有两个三角形时，几何体一般为锥体，当 三视图中有两个矩形时，几何体一般为柱体，另一图形为多边形，则为棱锥或棱柱，另一图 形为圆时，为圆锥或圆柱. 22．已知边长为 的菱形 ， ，沿对角线 把 折起，二面角 的平 面角是 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外 接球的表面积. 【详解】 【点睛】 本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是 求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长）；②若 面 （ ），则 （为 外接圆半径）；③可以 转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 23．如图是一个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 将该几何体放入棱长为 的正方体中，由三视图可知该四面体为图中 ，根据正方体 的性质可得结果. 【详解】 【点睛】 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三 视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成 直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注 意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题， 先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 24．如图，在三棱锥 中， ， ，则三棱 锥 的外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求得外接球半径，然后求解外接球的表面积即可. 【详解】 以 P 为原点，PC 为 x 轴正方向，PB 为 y 轴正方向，PA 为 x 轴正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系. 易知 ， 设球心坐标为 ，由 OA=OB=OC=OD 可得： ， 解得： ，则外接球半径： ， 其表面积： . 本题选择 A 选项. 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接 点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为 正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球 面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 25．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A． 4＋ B． 4＋ C． 4＋ D． 4＋π 【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可. 【详解】 【点睛】 本题主要考查三视图还原几何体的方法，组合体体积的求解等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 26．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 2 ，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为( ) A． 12π B． 28π C． 44π D． 60π 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得底面三角形的外接圆半径，然后结合几何关系确定外接球半径，最后求解球的表面 积即可. 【详解】 设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得： ，则 ， 设外接球半径为 ，结合三棱柱的特征可知外接球半径 ， 外接球的表面积 . 本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查多面体与球的外接问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 27．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为 2 的半圆)，则该几何体的 体积为( ) A． 80＋5π B． 80＋10π C． 92＋14π D． 120＋10π 【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可. 【详解】 【点睛】 (1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观 图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直 接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 28．长方体的长、宽、高分别为 4,2,2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A． 12π B． 24π C． 48π D． 96π 【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可. 【详解】 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接 点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为 正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球 面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 画出几何体的图形，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可． 【详解】 由三视图可画出几何体的直观图为多面体 ABCDEF，放在长方体中如图所示，则几何体的表 面由四个全等且直角边长分别为 2，3 的直角三角形，两个边长分别为 ， ， 的等 腰 三 角 形 及 一 个 边 长 为 2 的 正 方 形 构 成 ， 故 几 何 体 的 表 面 积 为 ． 故选：A 【点睛】 由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的 直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再 根据三视图进行调整. 30．如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画的是一个几何体的三视图.则该几何体的体 积为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到 答案． 【详解】 由已知中的三视图可得： 该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体， 长方体的长，宽，高分别为：2，1，2，体积为：4， 切去的三棱锥的长，宽，高分别为：2，1，1，体积为 ， 故组合体的体积 ， 故选：A． 【点睛】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题． 二、填空题 31．如图， 是球 的直径 上一点，平面 截球 所得截面的面积为 ，平面 ， ，且点 到平面 的距离为 1，则球 的表面积为__________． 【答案】 【解析】 设球的半径为 且点 到平面 的距离为 1， ∴球心 到平面 的距离 为 1， ∵ 截球 所得截面的面积为 ， ∴截面圆的半径为 3， 故由 R ∴球的表面积 点睛：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为，球心距为 ，球半径为 ，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理 32．网格纸上小正方形的边长为 1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的 几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 先确定几何体，再根据长方体以及四棱柱体积公式求结果. 【详解】 根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为 2，下底为 4，高为 2）高为 2 的直四棱柱，所以 ． 【点睛】 先根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图 还原为实物图，再在具体几何体中求体积. 33．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 、 、 ，则它的外接球的表面积为 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直 径，然后求出球的表面积． 【详解】 【点睛】 本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方 体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力． 34．已知棱长为 1 的正方体有一个内切球（如图）， 为面底 的中心， 与球相交于 ， 则 的长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出球心到 FE 的距离，利用勾股定理求出 EF． 【详解】 设球心 O 到 FE 的距离为 d，则在 △ OA1E 中，A1E= ，OE= ． 由等面积可得 ， ∴d= ， ∵球的半径为 ， ∴EF= =63． 故答案为： ． 【点睛】 解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注 意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶 点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角 三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 35．已知三棱柱 的底面是正三角形，侧棱 底面 ABC，若有一半径为 2 的 球与三棱柱的各条棱均相切，则 的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出 的长度 【详解】 【点睛】 本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查 计算能力，逻辑推理能力，属于中档题。 36．网格纸上小正方形的边长为 1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的 几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 先确定几何体，再根据长方体以及四棱柱体积公式求结果. 【详解】 根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为 2，下底为 4，高为 2）高为 2 的直四棱柱，所以 ． 【点睛】 先根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图 还原为实物图，再在具体几何体中求体积. 37．棱长均为 的直三棱柱的外接球的表面积是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可. 【详解】 由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为 ， 则外接球的半径 ， 则外接球的表面积为 . 【点睛】 本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 38．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积和体积即可. 【详解】 【点睛】 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从 三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而 表面积是侧面积与底面圆的面积之和． (4)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观 图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； (5)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进 行求解． 39．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为 ，则该正四棱锥内切球的表面积为________。 【答案】 【解析】 【分析】 根据侧面积求出正四棱锥的棱长，画出组合体的截面图，根据三角形的相似求得四棱锥内切 球的半径，于是可得内切球的表面积． 【详解】 设正四棱锥的棱长为 ，则 ， 解得 ． 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图 △ PMN 的内切圆， 其中 ， ． ∴ ． 设内切圆的半径为， 由 ，得 ，即 ， 解得 ， ∴内切球的表面积为 ． 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接 点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为 正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球 面上，正方体的体对角线长等于球 的直径． 40．半径为 的球的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据球的体积公式求解。 【详解】 根据球的体积公式 。 【点睛】 球的体积公式 41．将圆心角为 ，面积为 的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___． 【答案】 【解析】分析：由扇形的面积公式求出扇形的半径，得到圆锥的母线长，由弧长公式得圆锥 底面半径，由勾股定理求得圆锥的高，由圆锥的体积公式可得结果. 详解： 点睛：本题考查圆锥的体积公式，圆锥的侧面展开图、考查数形结合的解题思想方法，明确 圆锥侧面展开图中的量与圆锥中的量之间的关系是解题的关键，本题属于中档题. 42．—个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、 (0,0,1)，则该四面体的体积为________. 【答案】 【解析】分析：满足条件的四面体为正方体的一个角 ，利用三棱锥的体积计算公式 即可得出结果. 详解： 如图所示，满足条件的四面体为正方体的一个角 ， 该四面体的体积 ，故答案为 . 点睛：本题主要考查空间直角坐标系与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象力、推理能 力与计算能力，属于中档题. 43．在三棱锥 中， 与 都是正三角形，平面 平面 ，若该三棱锥的 外接球的体积为 ，则 的边长为__________． 【答案】6. 【解析】试题分析：取 AD，BC 中点分别为 E，F，连接 EF，AF，DF，求出 EF，判断三棱锥 的外接球球心 O 在线段 EF 上，连接 OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的体积． 故答案为：6． 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、 切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间 的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该 几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 44．一个几何体的三视图如图所示（单位： )，则该几何体的体积为__________ . 【答案】 . 【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，分析得到其为一个圆柱和一个 圆锥的组合体，所以其体积为圆柱和圆锥的体积之和，结合图中所给的数据，利用体积公式 求得结果. 详解：根据题中所给的几何体的三视图，将几何体还原， 可以得到几何体是一个圆柱和圆锥的组合体， 利用相关数据可知圆柱的体积为 ，圆 锥的体积为 ， 所以该几何体的体积为 ， 故答案是 . 点睛：该题考查的是有关根据几何体的三视图求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何 体是解题的关键，之后利用图中的相关数据，结合体积公式求得结果，注意组合体的体积在 求解的时候将其分割，计算即可. 45．用半径为 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为________． 【答案】 【解析】分析：半圆形纸片卷成圆锥筒后，纸片与圆锥筒之间通过弧长相关联，根据几何关 系可求得高的值。 详解：半圆形纸片卷成圆锥筒后，半圆周长变为圆锥底面周长 所以 ，解得 母线 为原来圆的半径 根据圆锥的母线 、高 、底面圆的半径 构成一个直角三角形的性质 所以 点睛：本题考查了平面几何与立体几何间的关系，两种形式转化过程中的变与不变，要有一 定的空间想象能力，属于基础题。 46．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______. 【答案】16 【解析】分析：还原出原几何体，根据三视图中的数据进行计算． 详解：如图，是原几何体的结构，它是一个四棱锥， ∴ ． 故答案为 16． 点睛：本题考查三视图，考查棱锥的体积计算，解题关键是由三视图还原出原几何体． 47．已知正四棱锥底面正方形边长为 2，体积为 ，则此正四棱锥的侧棱长为__________． 【答案】 . 【解析】分析：由题意得到四棱锥的高，然后在由侧棱、棱锥的高和底面对角线的一半构成 的直角三角形中求解可得侧棱的长． 详解：设四棱锥的高为 ，则由题意得 ， 解得 ． 又正四棱锥底面正方形的对角线长为 ， ∴正四棱锥的侧棱长为 ． 点睛：本题考查四棱锥体积的有关运算，解题的关键是求出棱锥的高，然后再通过勾股定理 求解，考查学生的运算能力和空间想象能力． 48．已知正四面体 的棱长均为 ， 为正四面体 的外接球的球心，过点 作平 行于底面 的平面截正四面体 ，得到三棱锥 和三棱台 ，那 么三棱锥 的外接球的表面积为__________． 【答案】 . 【解析】分析：先计算出底面 △ ABC 的外接圆半径 r，再计算正四面体的外接球半径为 R，最 后计算三棱锥 的外接球的表面积. 详解:由题设底面 △ ABC 的外接圆半径 r,则 所以正四面体的高为 ， 设正四面体的外接球半径为 R，则 . 因为 ， 所以三棱锥 的外接球的表面积为 故答案为： 点睛：（1）本题主要考查几何体的外接球的问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对 这 些 知 识 的 掌 握 水 平 和 空 间 想 象 能 力 . (2) 解 答 本 题 的 关 键 是 解 直 角 三 角 形 得到 . 49．已知三棱锥 的外接球的球心为 ， 平面 ，则球心 O 到平面 PBC 的距离为_________. 【答案】 . 【解析】 【分析】 首先将结合体补形为长方体，然后建立空间直角坐标系，利用点面距离公式整理计算即可求 得最终结果. 【详解】 由题意可知，三棱锥位于如图所示的长方体中，其中长方体的长宽高分别为 ， 其外接球球心为 的中点 ，以点 B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知 ， ， ，则 ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 据此可得平面 的一个法向量为 ， 且 ， ，由中点坐标公式可得： ，则 ， 结合点面距离公式可得，球心 O 到平面 PBC 的距离为 . 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接 点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为 正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球 面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 50．直角 △ 的三个顶点都在球 的球面上， ，若球 的表面积为 ，则球心 到平面 的距离等于________． 【答案】1. 【解析】分析：先根据球的表面积求球半径，再根据直角三角形求球心 到平面 的距离. 详解：因为球 的表面积为 ，所以 , 因为直角 △ 的外接圆圆心 O1 为 AB 的中点，所以 CO1= 因此球心 到平面 的距离为 O O1= . 点睛：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转 化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 三、解答题 51．已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，半径为 ． （1）设圆锥的母线长为 ，求圆锥的体积； （2）设 ， 、 是底面半径，且 ， 为线段 的中点，如图．求异面直 线 与 所成的角的大小． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 （1）由圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积． （2）以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角． 【详解】 （1）∵圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，半径为 ，圆锥的母线长为 ， ∴圆锥的体积 ． （2）∵ ， ， 是底面半径，且 ， 为线段 的中点， ∴以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴， 建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ， 设异面直线 与 所成的角为 ， 则 ． ∴ ． ∴异面直线 与 所成的角的为 ． 【点睛】 求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解 一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然 后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的 数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解. 52．如图，在斜三棱柱 中，已知 ， ，且 . （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若 ，求四棱锥 的体积. 【答案】(1)见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）连接 ，易证得 ， ，所以 ，所以 ，从而 可证得 ，即可证得结论； （2）由 即可得解. 【详解】 【点睛】 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求 解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则 几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包 括等面积法和等体积法． 53．在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 , 分别是线段 的中点， . (1)证明： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 分析：（1）取 的中点为 ，连接 ,推导出四边形 为平行四边形，由此能证明 ； （2）由题意知 因为 ，知 到平面 的距离等于 到平面 距离，连接 ，从而求得 与 ，则利用 即可求得. （2）解：由题意知 , ∵ , ∴ 到平面 的距离等于 到平面 距离，连接 ， ∵ ， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , ∴ 且 ， ∴ . 点睛：本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查立体几何的基础知识， 考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 54．在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形， 平面 , . (1)求四棱锥 的体积； (2)求异面直线 与 所成角的大小. 【答案】(1) . (2) . 【解析】 【分析】 （1）由底面 是边长为 4 的正方形， 平面 ， 能求出四棱锥 的 体积；（2）由 ，得 就是异面直线 与 所成的角，由此能求出异面直线 与 所成角的大小． 【详解】 (1) ∵在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形， 平面 ， ，∴ 四棱锥 的体积 (2)因为 ,所以 就是异面直线 与 所成的角, 因为 平面 ,所以 ,又 ,所以 ， 在 中, , ， 异面直线 与 所成角的大小为 . 【点睛】 本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题. 55．如图，四棱锥 中， ， // ， ， 为正三角形. 且 . （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）若点 到底面 的距离为 2， 是线段 上一点，且 //平面 ，求四面体 的体积. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）证明 ， ，可证平面 平面 ； （Ⅱ）如图，连接 ， 交于点 ，因为 // ，由（Ⅰ）点 到平面 的距离为 2， 所以点 到平面 的距离为 ，所以由 可求四面体 的 体积. 【详解】 （Ⅰ）证明： ，且 ， ，又 为正三角形，所以 ，又 ， ，所以 ， 又 ， // ， ， ， 所以 平面 ，又因为 平面 ， 所以平面 平面 . （Ⅱ）如图，连接 ， 交于点 ，因为 // ， 【点睛】 本题考查面面垂直的证明以及锥体体积的实际，属中档题. 56．如图 ，四边形 为等腰梯形 沿 折起，使得平面 平面 为 的中点，连接 （如图 2）. 图 1 图 2 （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （I）证明 ，结合平面 平面 ，推出 平面 ，然后证明 ． （II）取 AC 中点 F，连接 EF、EC E，设 E 点到平面 BCD 的距离为 ， ， ,利用则 求解直线 DE 与平面 BCD 所成的角的正弦 值即可． 【详解】 （Ⅰ） , 则, ，又因为平面 平面 且平面 平面 ，所以 平面 ，从而 ． （Ⅱ）取 AC 中点 F，连接 EF、EC. ，设 E 点到平面 BCD 的距离为 ， ， , DE 与平面 BCD 所成角为 ，则 . 【点睛】 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查 空间想象能力以及计算能力． 57．如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， 为棱 的中点， ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求斜三棱柱 的体积. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据底面为正三角形，易得 ；由各边长度，结合余弦定理，可求得 的值， 再根据勾股定理逆定理可得 ，可证 平面 。 （Ⅱ）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解。 【详解】 （Ⅰ）如图，连接 ， 因为底面 是边长为 的正三角形， 所以 ，且 ， 因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ，又因为 ，所以 ， 所以 ， 又因为 ，所以 平面 . （Ⅱ）设斜三棱柱 的体积为 ，则 所以斜三棱柱 的体积为 【点睛】 本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理 非常重要，属于基础题。 58．如图，四棱锥 E﹣ABCD 中，AD∥BC， 且 BC⊥底面 ABE，M 为 棱 CE 的中点， （Ⅰ）求证：直线 DM⊥平面 CBE； （Ⅱ）当四面体 D﹣ABE 的体积最大时，求四棱锥 E﹣ABCD 的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】 分析：（1）取 的中点 N,证 平面 详解：（2）设 ，当四面体 的体积最大时，求出 ，进而求得四棱锥 的体积． （Ⅰ）因为 ，设 为 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ， 所以 平面 ，又 ，所以 平面 ． （Ⅱ） ，设 ， 则四面体 的体积 当 ，即 时体积最大 又 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 . 点睛：本题主要考查立体几何相关知识，线面垂直的证明以及棱椎体积的求法，属于中档题。 59．如图，在三棱柱 中， 平面 ，底面三角形 是边长为 2 的等边三 角形， 为 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若直线 与平面 所成的角为 ，求三棱锥 的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 连接 交 于 点，连接 ，由三角形中位线定理可得 ，再由线面平行的判 定可得 平面 直接利用等积法求三棱锥 的体积 【详解】 【点睛】 本题主要考查了直线与平面垂直的性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查了计算能力 和逻辑推理能力，注意等积法的应用。 60．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形， 已知 ， . （1）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ； （2）求四棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】 【分析】 （1）由题意结合几何关系可证得 平面 ，结合面面垂直的判断定理可得平面 平面 . （2）过 作 交 于 ，易知 为四棱锥 的高，计算可得 ，四边形 的面积为 ，则棱锥的体积 . 【详解】 （2）如图，过 作 交 于 ，由于平面 平面 ， ∴ 平面 .∴ 为四棱锥 的高. 又 是边长为 2 的等边三角形， ∴ . 在底面四边形 中， ， ， 所以四边形 是梯形. 在 中，斜边 边上的高为 ， ∴四边形 的面积为 . 故 . 【点睛】 本题主要考查面面垂直的判断定理，棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力.