人教版高中数学选修1-1课件：8_生活中的优化问题举例

人教版高中数学选修1-1课件：8_生活中的优化问题举例

3.4 生活中的优化问题举例 新课引入 : 导数在实际生活中有着广泛的应用 , 利用导数求最值的方法 , 可以求出实际生活中的某些最值问题 . 1. 几何方面的应用 2. 物理方面的应用 . 3. 经济学方面的应用 ( 面积和体积等的最值 ) ( 利润方面最值 ) ( 功和功率等最值 ) 例 1 ．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2, 上、下两边各空 2dm, 左、右两边各空 1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为 xdm ，则版心的宽为 dm, 此时四周空白面积为 。 求导数，得 令 解得 舍去） 。 于是宽为 <0 ；当 当 时， 时， >0. 因此， x=16 是函数 S(x) 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为 16dm ，宽为 8dm 时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为 16dm ，宽为 8dm 时，海报四周空白面积最小。 解法二 ： 由解法 ( 一 ) 得 问题 2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 ? 你是否注意过 , 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 ? 你想从数学上知道它的道理吗 ? 是不是饮料瓶越大 , 饮料公司的利润越大 ? 例 2: 某制造商制造并出售球形瓶装饮料 . 瓶子制造成本是 0.8πr 2 分 . 已知每出售 1ml 的饮料 , 可获利 0.2 分 , 且瓶子的最大半径为 6cm. １）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ ２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是 令 当 当半径 r ＞２ 时， f ’(r)>0 它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径 r ＜２ 时， f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减 ， 即半径越大，利润越低 ． 1. 半径为２ cm 时，利润最小，这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值 ２．半径为６ cm 时，利润最大 未命名 .gsp 2 3 1 、当半径为 2 cm 时 , 利润最小 , 这时 f (2)<0, 2 、当半径为 6 cm 时，利润最大。 从图中可以看出 : 从图中，你还能看出什么吗？ 问题 3 、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？ (3) 如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？ R r 例 3 ：现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 的环行区域。 是不是 r 越小，磁盘的存 储量越大？ (2) r 为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：存储量 = 磁道数 × 每磁道的比特数 (1) 它是一个关于 r 的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是 r 越小，磁盘的存储量越大。 (2) 为求 f ( r ) 的最大值，先计算 解得 例 4: 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 , 如何确定它的高与底半径 , 使得所用材料最省 ? R h 解 设圆柱的高为 h, 底面半径为 R. 则表面积为 S(R)=2πRh+2πR 2 . 又 V=πR 2 h( 定值 ), 即 h=2R. 可以判断 S(R) 只有一个极值点 , 且是最小值点 . 答 罐高与底的直径相等时 , 所用材料最省 . 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 课堂练习 1 ．用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长 0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 2. 课本 P 104 利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题 优化问题的答案 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 回顾总结 解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。