2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）

2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）

‎2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}‎ ‎2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（　　）‎ A． B． C．﹣ D．2‎ ‎3．（5分）该试题已被管理员删除 ‎4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：‎ x ‎6‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ 则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（　　）‎ A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7‎ ‎5．（5分）已知数列{an}满足：a1=1，an＞0，an+12﹣an2=1（n∈N*），那么使an＜5成立的n的最大值为（　　）‎ A．4 B．5 C．24 D．25‎ ‎6．（5分）已知函数f （x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x）的一个单调递增区间是（　　）‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎7．（5分）若0＜m＜1，则（　　）‎ A．logm（1+m）＞logm（1﹣m） B．logm（1+m）＞0‎ C．1﹣m＞（1+m）2 D．‎ ‎8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）‎ A． B．4 C．3 D．‎ ‎9．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）‎ ‎10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（　　）‎ A． B．48π C．24π D．16π ‎11．（5分）设数列{an}前n项和为Sn，已知，则S2018等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）数列{an}满足：若log2an+1=1+log2an，a3=10，则a8=　 　．‎ ‎15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　 　．‎ ‎16．（5分）函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）设函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；‎ ‎（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求角C的值．‎ ‎18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；‎ ‎（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．‎ ‎19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面 BCE；‎ ‎（2）求三棱锥B﹣EMN的体积．‎ ‎20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b，（k∈R，b∈R）．‎ ‎（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；‎ ‎（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k，b应满足的条件．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；‎ ‎（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}‎ ‎【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}‎ ‎∴A∩B={0，1}‎ 故选C ‎　‎ ‎2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（　　）‎ A． B． C．﹣ D．2‎ ‎【解答】解：=‎ ‎=+i 由=﹣得b=﹣．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）该试题已被管理员删除 ‎　‎ ‎4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：‎ x ‎6‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ 则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（　　）‎ A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7‎ ‎【解答】解：根据表中数据，得；‎ ‎=（6+5+10+12）=，‎ ‎=（6+5+3+2）=4，‎ 且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，‎ 所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，‎ 即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知数列{an}满足：a1=1，an＞0，an+12﹣an2=1（n∈N*），那么使an＜5成立的n的最大值为（　　）‎ A．4 B．5 C．24 D．25‎ ‎【解答】解：由题意an+12﹣an2=1，‎ ‎∴an2为首项为1，公差为1的等差数列，‎ ‎∴an2=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，则an=，‎ 由an＜5得＜5，‎ ‎∴n＜25．‎ 那么使an＜5成立的n的最大值为24．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知函数f （x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x）的一个单调递增区间是（　　）‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎【解答】解：由图象可知：T=﹣=，‎ ‎∴T==π，‎ ‎∴ω=2，‎ 又×2+φ=π（或×2+φ=），‎ ‎∴φ=﹣，‎ ‎∴f （x）=2sin（2x﹣），‎ 由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，得其单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]．‎ 当k=1时，单调递增区间为：[，]．‎ 显然，（，）⊆[，]．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若0＜m＜1，则（　　）‎ A．logm（1+m）＞logm（1﹣m） B．logm（1+m）＞0‎ C．1﹣m＞（1+m）2 D．‎ ‎【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=logmx是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m＞1﹣m＞0，∴logm（1+m）＜logm（1﹣m）；∴A不正确；‎ ‎②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴logm（1+m）＜0；∴B不正确；‎ ‎③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；‎ ‎④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）‎ A． B．4 C．3 D．‎ ‎【解答】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 截面是等腰梯形FHDE，‎ ‎∵正方体的棱长为2，‎ ‎∴FH=，DE=，梯形的高为．‎ ‎∴该截面的面积为S=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）‎ ‎【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，‎ 则f′（﹣1）f′（1）＜0，‎ 即（1﹣a）（5﹣a）＜0，‎ 解得1＜a＜5，‎ 另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，‎ 当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（　　）‎ A． B．48π C．24π D．16π ‎【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，‎ 把A、B、C、D扩展为三棱柱，‎ 上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，‎ AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，‎ 所以AE=．‎ AO=．‎ 所求球的体积为：==32．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设数列{an}前n项和为Sn，已知，则S2018等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵a1=‎ ‎∴a2=2×﹣1=，‎ a3=2×﹣1=，‎ a4=2×=‎ a5=2×=，‎ ‎∴数列{an}是以4为周期的周期数列，‎ ‎∴a1+a2+a3+a4=+++=2，‎ ‎∴S2018=504×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=1008+=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：由x2=4y，对其求导得．‎ 设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为kPA=，kPB=．‎ 由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），‎ 联立解得P，‎ 因为P在l上，所以=﹣1，‎ 所以kPA•kPB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．‎ 所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　﹣1　．‎ ‎【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），‎ 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，‎ 经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，‎ 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，‎ 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）数列{an}满足：若log2an+1=1+log2an，a3=10，则a8=　320　．‎ ‎【解答】解：∵log2an+1=1+log2an ‎∴an+1=2an ‎∴数列{an}是2为公比的等比数列 ‎∴a8=a325=320‎ 故答案为：320‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈‎ R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　4　．‎ ‎【解答】解：由题 O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，‎ 可得＜|m|＜．‎ 再根据题意可得O1A⊥AO2，‎ ‎∴m2=5+20=25，‎ ‎∴m=±5，‎ ‎∴利用，‎ 解得：AB=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　（，）　．‎ ‎【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为 函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，‎ 作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，‎ 由题意，C（0，﹣），B（1，0）；‎ 故kBC =，‎ 当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；‎ 设切点A的坐标为（x1，lnx1），‎ 则=；‎ 解得，x1=；‎ 故kAC =；‎ 结合图象可得，‎ 实数m的取值范围是（，）．‎ 故答案为：（，）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）设函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；‎ ‎（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求角C的值．‎ ‎【解答】解：（1）因为=，‎ 所以f（x）的最小正周期为2π．‎ 因为x∈R，所以，‎ 所以f（x）的值域为[﹣1，1]．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以．‎ 因为0＜A＜π，所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 由正弦定理 可得，‎ 所以sinB=1，‎ 因为0＜B＜π，‎ 所以，‎ 故得：．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；‎ ‎（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20．‎ 估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37（岁）‎ ‎（2）由题意可知抽取的6人中，年龄在[35，45）范围内的人数为4，记为a，b，c，d；‎ 年龄在[45，55]范围内的人数为2，记为m，n．‎ 从这6人中选取2人，结果共有15种：‎ ‎（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），‎ ‎（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（cn），‎ ‎（dm），（dn），（mn）．‎ 设“这2人在不同年龄组“为事件A．‎ 则事件A所包含的基本事件有8种，故，‎ 所以这2人在不同年龄组的概率为．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面 BCE；‎ ‎（2）求三棱锥B﹣EMN的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．‎ 由题意可得MP∥AD∥BC，‎ ‎∵MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MP∥平面BCE，‎ 同理可证NP∥平面BCE．‎ ‎∵MP∩NP=P，‎ ‎∴平面MNP∥平面BCE，‎ 又MN⊂平面MNP，‎ ‎∴MN∥平面BCE；‎ ‎（2）解：由（1）可得MP∥DA，且MP=DA，‎ ‎∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，且DA⊥AB，‎ ‎∴DA⊥平面ABE，‎ ‎∴M到平面ENB的距离为，‎ ‎∵N为AB的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴==．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2‎ ‎，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）由题意，∵|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=‎ ‎∴c=1，a=2，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴椭圆的标准方程为+=1 …（4分）‎ ‎（II）设P（x0，y0），则 ‎∵A（﹣2，0），F1（﹣1，0），‎ ‎∴•=（﹣1﹣x0）（﹣2﹣x0）+y02=x2+3x+5，‎ 由椭圆方程得﹣2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=﹣6＜﹣2‎ 当x=﹣2时，取最小值0，‎ 当x=2时，取最大值12．‎ ‎∴•的取值范围是[0，12]…（12分）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b，（k∈R，b∈R）．‎ ‎（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；‎ ‎（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k，b应满足的条件．‎ ‎【解答】解：（1）因为f'（x）=ex，设切点为（t，et），所以k=et，b=et（1﹣t），‎ 所以直线l的方程为：y=etx+et（1﹣t），‎ 令函数F（x）=f（x）﹣kx﹣b，‎ 即F（x）=ex﹣etx﹣et（1﹣t），F'（x）=ex﹣et，‎ 所以F（x）在（﹣∞，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，‎ 所以F（x）min=f（t）=0，‎ 故F（x）=f（x）﹣kx﹣b≥0，‎ 即f（x）≥kx+b对任意x∈R成立．‎ ‎（2）令H（x）=f（x）﹣kx﹣b=ex﹣kx﹣b，x∈[0，+∞）H'（x）=ex﹣k，x∈[0，+∞），‎ ‎①当k≤1时，H'（x）≥0，则H（x）在[0，+∞）单调递增，‎ 所以H（x）min=H（0）=1﹣b≥0，b≤1，‎ 即，符合题意．‎ ‎②当k＞1时，H（x）在[0，lnk]上单调递减，在[lnk，+∞）单调递增，‎ 所以H（x）min=H（lnk）=k﹣klnk﹣b≥0，‎ 即b≤k（1﹣lnk），‎ 综上所述：满足题意的条件是或．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．‎ ‎【解答】解：（1）由消去参数α，得 即C的普通方程为 由，得ρsinθ﹣ρcosθ①‎ 将代入①得y=x+2‎ 所以直线l的斜率角为．‎ ‎（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）‎ 即（t为参数），‎ 代入并化简得 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．‎ 则，所以t1＜0，t2＜0‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；‎ ‎（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．‎ ‎【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；‎ ‎②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；‎ ‎③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．‎ 综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；‎ ‎（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，‎ 则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．‎ ‎∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|‎ ‎=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|‎ ‎=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，‎ 故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．‎ ‎　‎