数学理卷·2018届新疆石河子二中高二下学期期末考试（2017-07）

数学理卷·2018届新疆石河子二中高二下学期期末考试（2017-07）

‎2018届第二学期期末数学理科试卷 ‎ 试题总分:150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1、设 i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(   ) ‎ ‎ A、2 B、‎-2 C、 D、‎ ‎2、下列四个命题中，为真命题的是（　　） ‎ A、若a＞b，则ac2＞bc2   B、若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣d C、若a＞|b|，则a2＞b2  D、若a＞b，则＜‎ ‎3、已知：，：，则是成立的 (     ) ‎ A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 ‎4、已知函数，则函数f(x)在点(0,f(0))处切线方程为   （   ） ‎ ‎ A、x-y+1=0 B、x+y-1=0‎ C、 D、‎ ‎5、某种商品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中的m的值为（　　） ‎ A、45 B、‎50 C、55 D、60‎ ‎6、在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有（　　） ‎ A、180种 B、220种    C、260种 D、320种 ‎7、用数学归纳法证明 ，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加（   ） ‎ ‎ A、k2+1 B、（k+1）2‎ C、 D、（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2‎ ‎8、设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（　　） ‎ A、0.4 B、‎0.5 C、0.6 D、0.7‎ ‎9、已知双曲线的一条渐近线方程是， 它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（　　） ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎10、如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y= 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（  ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 11、双曲线 的离心率为2，则 的最小值为（   ） ‎ A、 B、 C、2 D、1‎ ‎12、已知函数是R上的可导函数，当时，有,则函数的零点个数是(    ) ‎ ‎ A、0 B、‎1 C、2 D、3‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13、（x2﹣ ）6的二项展开式中x2的系数为________（用数字表示）． ‎ ‎14、若 （x2+ ）dx= +ln3，则a的值是________．‎ ‎15、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点，直线 与椭圆交于B ， C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________. 16、在极坐标系中，曲线C1的方程为ρcos（θ+）=， 曲线C2的方程为ρ=2cos（π﹣‎ θ），若点P在曲线C1上运动，过点P作直线l与曲线C2相切于点M，则|PM|的最小值为________  ‎ 三、解答题：本大题共6小题；共70分．‎ ‎17．（本题满分10分）‎ ‎ 已知a，b，c都是正实数，求证（1） （2）≥a+b+c ‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 已知函数 ． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）在 上的值域． ‎ ‎ 19、（本题满分12分）‎ 如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．‎ ‎ (1)求直方图中x的值；‎ ‎ (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望.‎ ‎ 20（本题满分12分）‎ 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”． （Ⅰ）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ=1的概率 ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附：K2=‎ 21、 ‎（本题满分12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到其焦点的距离为4． （1）求p的值；（2）过点Q（1，0）作两条直线l1 ， l2与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线l1 ， l2的斜率分别为k1 ， k2 ， 若k1+k2=3，求证：直线MN过定点．‎ 22、 ‎（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R） （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间； （Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0 ， 使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围． ‎ ‎ 2018届第二学期期末数学理科试卷答案 ‎1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.C 10.C 11.A 12.B ‎13. 15 14. 3 15. 16.‎ ‎17.证明：（1）要证 即证：a2≥2ab﹣b2 即证：（a﹣b）2≥0 显然成立，故得证； （2）∵a，b，c都是正实数， ∴，, 相加，化简得≥a+b+c． ‎ ‎18.解：（I） = = = ． 函数f（x）的最小正周期是 ； （II）∵ ，∴ ， ∴ ， ∴f（x）的值域为 19解　(1)依题意及频率分布直方图知，‎ ‎ 0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.‎ ‎ (2)由题意知，X～B(3,0.1)．‎ ‎ 因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，‎ ‎ P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，‎ ‎ P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，‎ ‎ P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.‎ ‎ 故随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ ‎ X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.‎ ‎20解：（1）根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4， P（ξ=1）=， （Ⅱ）由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38， 乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46 根据列联表可知=4.762， 由于4.762＞3.841， ∴有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关．‎ ‎21. 解：（ 1）抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣， 由抛物线的定义可得，3+=4，解得p=2； （2）证明：由题意知，k1+k2=3， 不妨设AB的斜率k1=k，则CD的斜率k2=3﹣k， 所以AB的直线方程是：y=k（x﹣1），CD的直线方程是y=（3﹣k）（x﹣1）， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 由 ，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0， 则x1+x2=，x1x2‎ ‎=1， 所以y1+y2=k（x1﹣1）+k（x2﹣1）=k（2+）﹣2k=， 因为M是AB的中点，所以点M（1+，）， 同理可得，点N（1+，）， 所以直线MN的方程是：y﹣=（x﹣1﹣）， 化简得，y=（k﹣k2）（x﹣1）+，令x=1，得y=， 所以直线MN过定点（1，）． 22.（I）因为， 当a=1，， 令f'（x）=0，得x=1， 又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以x=1时，f（x）的极小值为1． f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）； （II）因为，且a≠0， 令f'（x）=0，得到， 若在区间上存在一点x0 ， 使得f（x0）＜0成立， 其充要条件是f（x）在区间上的最小值小于0即可． （1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立， 所以，f（x）在区间上单调递减， 故f（x）在区间上的最小值为， 由，得，即 ‎ ‎（2）当a＞0时， ①若，则f'（x）≤0对x∈成立， 所以f（x）在区间上单调递减， 所以，f（x）在区间上的最小值为， 显然，f（x）在区间上的最小值小于0不成立 ②若，即1＞时，则有 x f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f（x）在区间上的最小值为， 由， 得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去； 当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在递增， 可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立． 综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意． ‎ ‎ ‎