2016届高考数学(理)5年高考真题备考试题库:第5章 第3节 等比数列及其前n项和

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2016届高考数学(理)5年高考真题备考试题库:第5章 第3节 等比数列及其前n项和

‎2010~2014年高考真题备选题库 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和 ‎1. (2014江苏,5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+‎2a4,则a6的值是________.‎ 解析:设等比数列{an}的公比为q,q>0,则a8=a6+‎2a4即为a4q4=a4q2+‎2a4,解得q2=2(负值舍去),又a2=1,所以a6=a2q4=4.‎ 答案:4‎ ‎2. (2014重庆,5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(  )‎ A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 解析:选D 由等比数列的性质得,a3·a9=a≠0,因此a3,a6,a9一定成等比数列,选D.‎ 答案:D ‎3. (2014广东,5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a‎10a11+a‎9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________.‎ 解析:由等比数列的性质可知a‎10a11+a‎9a12=2e5⇒a‎1a20=e5,于是a‎1a2…a20=(e5)10=e50,ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a‎1a2…a20)=ln e50=50.‎ 答案:50‎ ‎4. (2014新课标全国Ⅱ,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.‎ ‎(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:++…+<.‎ 证明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.‎ 又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.‎ 所以an+=,‎ 因此{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)由(1)知=.‎ 因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,‎ 所以≤.‎ 于是++…+≤1++…+ ‎=<.‎ 所以++…+<.‎ ‎5.(2013新课标全国Ⅱ,5分)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 = a2 +‎10a1 ,a5=9,则a1=(  )‎ A.           B.- C. D.- ‎ 解析:本题考查等比数列的基本知识,包括等比数列的前n项和及通项公式,属于基础题,考查考生的基本运算能力.由题知q≠1,则S3==a1q+‎10a1,得q2=9,又a5=a1q4=9,则a1=,故选C. ‎ 答案:C ‎6.(2013北京,5分)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=________;前n项和Sn=________.‎ 解析:本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查方程思想以及考生的运算求解能力.‎ q==2,又a2+a4=20,故a1q+a1q3=20,解得a1=2,所以Sn=2n+1-2.‎ 答案:2 2n+1-2‎ ‎7.(2013湖北,12分)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a‎1a2a3=125.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.‎ 解:本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、不等式等基础知识和基本方法,考查方程思想、分类与整合思想,考查运算求解能力、逻辑思维能力,考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.‎ ‎(1)设等比数列{an}的公比为q,则由已知可得解得或 故an=·3n-1,或an=-5·(-1)n-1.‎ ‎(2)若an=·3n-1,则=·n-1,故是首项为,公比为的等比数列,‎ 从而==·<<1.‎ 若an=-5·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故是首项为-,公比为-1的等比数列,‎ 从而=故<1.‎ 综上,对任何正整数m,总有<1.‎ 故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.‎ ‎8.(2013辽宁,5分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=________.‎ 解析:本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式,意在考查考生对等比数列公式的运用,以及等比数列性质的应用情况.由题意得,a1+a3=5,a‎1a3=4,由数列是递增数列得,a1=1,a3=4,所以q=2,代入等比数列的求和公式得S6=63.‎ 答案:63‎ ‎9.(2013湖北,13分)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.‎ 解:本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式,也考查了分类讨论思想.‎ ‎(1)设数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.由题意得 即 解得故数列{an}的通项公式为an=3(-2)n-1.‎ ‎(2)由(1)有Sn==1-(-2)n.‎ 若存在n,使得Sn≥2 013,则1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012.‎ 当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;‎ 当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11.‎ 综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.‎ ‎10.(2013陕西,12分)设{an}是公比为q的等比数列.‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式;‎ ‎(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.‎ 解:本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题,深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法.‎ ‎(1)设{an}的前n项和为Sn,‎ 当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;‎ 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①‎ qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②‎ ‎①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,‎ ‎∴Sn=,∴Sn= ‎(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+,‎ ‎(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),‎ a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,‎ aq2k+‎2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,‎ ‎∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.‎ ‎∵q≠0,∴q2-2q+1=0,‎ ‎∴q=1,这与已知矛盾.‎ ‎∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.‎ ‎11.(2013江西,5分)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(  )‎ A.-24              B.0‎ C.12 D.24‎ 解析:选A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质,意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况.由等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1(此时3x+3=0,不合题意,舍去),故该等比数列的首项x=-3,公比q==2,所以第四项为(6x+6)×q=-24.‎ ‎12.(2013江苏,5分)在正项等比数列{an}中,a5=,a6+a7=3.则满足a1+a2+…+a n>a‎1a2…an的最大正整数n的值为________.‎ 解析:本题主要考查等比数列的基本性质,意在考查学生的运算能力.‎ 设等比数列{an}的公比为q(q>0).由a5=,a6+a7=3,可得(q+q2)=3,即q2+q-6=0,所以q=2,所以an=2n-6,数列{an}的前n项和Sn=2n-5-2-5,所以a‎1a2…an=(a1an)=2,由a1+a2+…+an>a‎1a2…an可得2n-5-2-5>2,由2n-5>2,可求得n的最大值为12,而当n=13时,28-2-5>213不成立,所以n的最大值为12.‎ 答案:12‎ ‎13.(2012浙江,4分)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=‎3a2+2,S4=‎3a4+2,则q=____________.‎ 解析:∵S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),∴a2(q+q2)=‎3a2(q2-1),‎ 解得q=-1(舍去)或q=.‎ 答案: ‎14.(2012新课标全国,5分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a‎5a6=-8,则a1+a10=(  )‎ A.7 B.5‎ C.-5 D.-7‎ 解析:设数列{an}的公比为q,由 得或所以或 所以或所以a1+a10=-7.‎ 答案:D ‎15.(2011新课标全国,12分)等比数列{an}的各项均为正数,且‎2a1+‎3a2=1,a=‎9a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an,求数列{}的前n项和.‎ 解:(1)设数列{an}的公比为q.由a=‎9a2a6得a=‎9a,所以q2=.由条件可知q>0,故q=.‎ 由‎2a1+‎3a2=1,得‎2a1+‎3a1q=1,得a1=.‎ 故数列{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an=‎ ‎-(1+2+…+n)=-.‎ 故=-=-2(-).‎ ++…+=-2[(1-)+(-)+…+(-)]=-.‎ 所以数列{}的前n项和为-.‎
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