2018-2019学年安徽省芜湖市四校联考高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省芜湖市四校联考高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省芜湖市四校联考高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合0，1，，，则如图中阴影部分所表示的集合为( )‎ A．0， B． C． D．0，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，所以，则阴影部分为0，‎ ‎【详解】‎ 由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即0， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查Venn图及集合的交集和补集运算，属基础题。‎ ‎2．已知，且，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把左右同时平方，可得，根据x的范围进一步判断x为钝角，可得的值，解方程组求得和，即可得到．‎ ‎【详解】‎ ‎，且，，，为钝角．，‎ ‎，，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求出，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎3．函数的零点所在区间是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在区间(2,3)上存在零点．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．‎ ‎4．2003年至2015年北京市电影放映场次单位：万次的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据图象可知,13年间电影放映场次基本变化趋势为逐年增加，且增速越来越快，进而判断.‎ ‎【详解】‎ 根据图象可知,13年间电影放映场次基本变化趋势为逐年增加，且增速越来越快 对于A．f（x）=ax2+bx+c，当a＞0，−＜0，可得满足条件的函数；‎ 对于B．当a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；‎ 对于C．当a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；‎ 对于D．当a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；当a＜0时，为单调递减函数，也不符合图象的特征．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了根据实际问题选择函数类型 ,考查了根据函数增长差异选择函数模型，综合考查了二次函数、指数函数、对数函数等函数的图象与性质，考查了推理能力.‎ ‎5．已知，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎6．九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢，弧田如图由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　‎ A．16平方米 B．18平方米 C．20平方米 D．25平方米 ‎【答案】C ‎【解析】【分析】根据圆心角和半径分别计算出弦和矢，在根据题中所给的公式弧田面积=12×(=12×(弦××矢++矢2)即可计算出弧田的面积.‎ ‎【详解】如图，由题意可得：，，在中，‎ 可得， ，‎ ‎，‎ 可得：矢 ，‎ 由，‎ 可得弦 ，‎ 所以弧田面积弦矢矢2) 平方米，‎ 故选C. ‎ ‎【点睛】该题属于新定义运算范畴的问题，在解题的时候一定要认真读题，将题中要交代的公式一定要明白对应的量是谁，从而结合图中的中，根据题意所得的，即可求得的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解. ‎ ‎7．设，函数，则的值等于　　‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出，从而，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎，函数，．故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数值的求法，考查指对数函数运算求解能力，属基础题．‎ ‎8．函数满足，那么函数的图象大致为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】从函数图像特征逐一分析。‎ ‎【详解】‎ 函数g(x)＝|loga(x＋1)的定义域为：| ，从而排除D。‎ 由g(x)＝|loga(x＋1)| 0，排除B。‎ ‎ 时， ，排除A。‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 由题意得出，根据图形特征一一排除答案即可，注意看出图形的区别是关键。‎ ‎9．设函数其中a，b，，为非零实数，若，则的值是　　‎ A．5 B．3 C．8 D．不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故 故选 ‎10．关于函数有如下命题，其中正确的个数有　　‎ 的表达式可改写为 是以为最小正周期的周期函数；‎ 的图象关于点对称；‎ 的图象关于直线对称．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎【解析】利用诱导公式变形判断；由正弦函数的周期公式判断；求得的值可判断；求得的值可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，正确；‎ 的最小正周期，错误；‎ ‎，则的图象关于点对称，正确；‎ 由不为最值，错误．‎ 其中正确的个数为2．故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查诱导公式，型函数的图象和性质，属基础题．‎ ‎11．已知　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知可得，根据二倍角公式，进一步求得与的值，再由，应用两角和的正弦公式展开求解．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式、倍角公式及两角和的正弦公式，属中档题．‎ ‎12．函数的定义域为D，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D上为非减函数设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：；；，则等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由③得，，∴．‎ 由②．‎ ‎∵且，．‎ 又在上非减函数，∴，故选．‎ 点睛：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及新定义的理解，要注意对函数新定义的理解是解答的关键，同时把函数的奇偶性和单调性联合运用可以把抽象函数问题转化为具体函数的问题，在一些抽象函数问题中有时需要先探究函数的奇偶性，然后再利用函数的单调性来解决问题是常见的一种解题思路，着重考查了计算能力和转化思想点的应用，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎13．的单调递增区间为______．‎ ‎【答案】 ，‎ ‎【解析】由题意利用正切函数的单调性，结合绝对值性质，可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 对于函数，令，‎ 求得，‎ 可得函数的增区间为 ，，‎ 故答案为： ，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正切函数的单调性，属基础题．‎ ‎14．设函数，则使得成立的x的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得成立，则，解得.‎ ‎【考点】函数的图象与性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式成立，转化为，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎15．定义R上的奇函数图象关于对称，且时，则______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】根据是奇函数，且图像关于对称可得出，，从而得出 ‎，进而得出，即得出的周期为4，且能得出，从而得出．‎ ‎【详解】‎ 是奇函数，且图象关于对称；；‎ ‎；；的周期为4；‎ 是定义在R上的奇函数；；．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】‎ 考查奇函数的定义，函数的对称性和周期性，属中档题。函数关于对称时，满足，结合奇函数关于（0,0）对称，可得周期为。‎ ‎16．设定义域为R的函数，若关于x的函数，若关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的取值范围是______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】令t=f(x)，则原函数等价为。作出函数f(x)的图象如图，‎ 图象可知当由时，函数有四个交点。‎ 要使关于x的函数有8个不同的零点，‎ 则函数在（0,1）上有两个不同的实根，‎ 令，则由根的分布可得 ‎，整理得，解得。‎ 所以实数的取值范围是。‎ 答案： ‎ 点睛：本题是已知函数零点的个数求参数的取值范围，解题时要注意换元方法、数形结合方法的运用，将问题转化成函数在区间（0,1）上有两个零点的问题，然后转化成不等式的问题求解，体现了函数、方程和不等式的综合，解题中要注意方法的灵活应用。‎ 三、解答题 ‎17．已知全集为实数集R，集合，．‎ 求，；‎ 已知集合，若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：(1)借助题设条件求集合,再求其交集与补集；(2)借助题设运用数轴分类建立不等式组求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ ‎（2）(i)当时，，此时.‎ ‎（ii）当时，，则 综合（i）（ii），可得的取值范围是 ‎【考点】函数的定义域集合的运算等有关知识的综合运用.‎ ‎18．已知函数．‎ Ⅰ求函数的单调递增区间；‎ Ⅱ若，，求的值．‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数： ，再根据正弦函数性质求单调区间，最后写出区间形式（2）先代入得,再根据同角三角函数关系求得 ‎,最后根据两角差的余弦公式求 试题解析：(1) 函数的单调递增区间为： ‎ ‎（2）,， ， ‎ ‎19．已知函数 若，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象．‎ 若偶函数，求；‎ 在的前提下，将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在的单调递减区间．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时得解析式，由五个关键点及区间端点，作出表格，进而画图即可；‎ ‎（2）因为偶函数，则y轴是图像的对称轴，求出=1，再根据的范围求得的值；‎ ‎（3）由图像变化得，令，结合定义域即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当，‎ 列表：‎ 函数 ‎（2） ‎ 因为为偶函数，则y轴是图像的对称轴 所以=1，则即 又因为，故 （用偶函数的定义解也给分）.‎ ‎（3）由（2）知，将f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将横坐标变为原来的4倍，得到,‎ 所以 当，即时，的单调递减，因此在的单调递减区间.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.‎ ‎20．已知二次函数满足，且．‎ 求函数的解析式 令求函数在区间的最小值．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）射出二次函数的解析式，利用已知条件求出的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）化简函数的解析式，利用对称轴与区间的关系，分类讨论，即可求解函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由已知令 ；‎ ‎（1），‎ 所以，又，‎ 所以.‎ ‎（2）当 ，即时， ‎ 当，即 时，‎ 当，即时，, ‎ 综上， .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的解析式的求解，以及二次函数的最值的计算，其中熟记二次函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了分类讨论思想的应用，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．已知函数，若同时满足以下条件：‎ 在D上单调递减或单调递增；‎ 存在区间，使在上的值域是，那么称为闭函数．‎ 求闭函数符合条件的区间；‎ 若是闭函数，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】根据题意，分析易得在R上为减函数，结合闭函数的性质可得，解可得a、b的值，即可得答案。‎ 根据题意，可得是增函数，结合闭函数的性质可得，则方程即有两个不同的根，设，则，运用换元法分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数，在R上为减函数，‎ 若在上的值域是，则有，解可得，，‎ 则符合条件的区间为；‎ 根据题意，，易得是增函数，‎ 若是闭函数，在区间上函数的值域也是，即，‎ 则方程即有两个不同的根，‎ 设，则，‎ 则有，‎ 则直线与在上有2个不同的交点，‎ 则，即k的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的应用，涉及函数的单调性的应用，解题的关键是掌握“闭函数”的定义与性质，并进行灵活应用，属中档题。‎ ‎22．已知函数，若．‎ 求a的值，并写出函数的最小正周期不需证明；‎ 是否存在正整数k，使得函数在区间内恰有2017个零点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1), (2)存在=504,满足题意 ‎【解析】试题分析：（1）代入，解得，根据周期定义可得（2）先，根据绝对值分两类：，再根据同角关系转化为二次函数，根据二次方程解的情况讨论零点情况，最后根据个数确定的值 试题解析：（1），‎ ‎（2）存在，满足题意 理由如下：‎ 当时， ，设，则，‎ ‎，则，可得或，由 图像可知，在上有个零点满足题意 当时， ，，则，‎ ‎，，，或，因为，‎ 所以在上不存在零点。‎ 综上讨论知：函数在上有个零点，而，因此函数在有个零点，所以存在正整数满足题意.‎