2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练41 直线、平面垂直的判定与性质

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练41 直线、平面垂直的判定与性质

课时规范练41　直线、平面垂直的判定与性质 基础巩固组 ‎1.‎ 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.‎ ‎(1)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE;‎ ‎(2)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE.‎ ‎2.‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.‎ 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎3.‎ 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=‎2‎,点E在AD上,且AE=2ED.‎ ‎(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;‎ ‎(2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的‎4‎‎3‎,求点E到平面PBC的距离.‎ ‎〚导学号21500561〛‎ ‎4.‎ 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.‎ ‎(1)求证:AE⊥DA1;‎ ‎(2)在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG.‎ 综合提升组 ‎5.‎ 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.‎ ‎(1)求四棱锥F-ADEC的体积;‎ ‎(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.‎ ‎6.如图①,五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图②,将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.‎ 图①‎ 图②‎ ‎(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;‎ ‎(2)若四棱锥P-ABCD的体积为2‎3‎,求四面体BCDM的体积.‎ ‎7.‎ 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.‎ ‎(1)求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE.‎ ‎(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.‎ ‎〚导学号21500562〛‎ 创新应用组 ‎8.‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2‎7‎,E为棱PD中点.‎ ‎(1)求证:PD⊥平面ABE;‎ ‎(2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.‎ ‎9.如图①,在平面六边形ABFCDE中,四边形ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=‎2‎,BF=CF=‎2‎,点M,N分别是AD,BC的中点,分别沿直线AD,BC将△ADE,△BCF翻折成如图②的空间几何体ABCDEF.‎ ‎(1)利用下面的结论1或结论2,证明:E,F,M,N四点共面;‎ 结论1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;‎ 结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个.‎ ‎(2)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,求三棱锥E-BCF的体积.‎ 图①‎ 图②‎ ‎〚导学号21500563〛‎ 参考答案 课时规范练41　直线、平 面垂直的判定与性质 ‎1.证明 (1)∵ED⊥平面ABCD,‎ ‎∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.‎ ‎∵AE=BE,‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△BDE,‎ ‎∴AD=BD.‎ 连接DM,则DM⊥AB,‎ ‎∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,‎ ‎∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM.‎ 又DE⊥CM,BD∩DE=D,∴CM⊥平面BDE,‎ ‎∵CM⫋平面CEM,‎ ‎∴平面CEM⊥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,‎ 在△EBA中,∵N为BE的中点,‎ ‎∴NG∥AB且NG=‎1‎‎2‎AB,‎ 又AB∥CD,且AB=2CD,‎ ‎∴NG∥CD,且NG=CD,‎ ‎∴四边形CDGN为平行四边形,‎ ‎∴CN∥DG.‎ 又CN⊈平面ADE,DG⫋平面ADE,∴CN∥平面ADE.‎ ‎2.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.‎ 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.‎ 又因为DE⊈平面A1C1F,A1C1⫋平面A1C1F,‎ 所以直线DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.‎ 因为A1C1⫋平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.‎ 又因为A1C1⊥A1B1,A1A⫋平面ABB1A1,A1B1⫋平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,‎ 所以A1C1⊥平面ABB1A1.‎ 因为B1D⫋平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.‎ 又因为B1D⊥A1F,A1C1⫋平面A1C1F,A1F⫋平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,‎ 所以B1D⊥平面A1C1F.‎ 因为B1D⫋平面B1DE,‎ 所以平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎3.(1)证明 ∵AB⊥AC,AB=AC,‎ ‎∴∠ACB=45°.‎ ‎∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,‎ ‎∴∠ACD=45°,∴AD=CD,‎ ‎∴BC=‎2‎AC=2AD.‎ ‎∵AE=2ED,CF=2FB,‎ ‎∴AE=BF=‎2‎‎3‎AD,‎ ‎∴四边形ABFE是平行四边形,‎ ‎∴AB∥EF.‎ 又AB⊥AC,∴AC⊥EF.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.‎ ‎∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC.‎ ‎∵EF⫋平面PEF,‎ ‎∴平面PEF⊥平面PAC.‎ ‎(2)解 ∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,‎ ‎∴PB=PC,‎ 取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1.‎ 设PA=x,连接PG,则PG=x‎2‎‎+1‎,‎ ‎∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的‎4‎‎3‎倍,‎ ‎∴‎1‎‎2‎×2×PG=‎4‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×(1+2)×1,即PG=2,求得x=‎3‎,‎ ‎∵AD∥BC,AD⊈平面PBC,BC⫋平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,‎ ‎∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC,‎ ‎∴点E到平面PBC的距离为‎1‎‎2‎PA=‎3‎‎2‎.‎ ‎4.(1)证明 连接AD1,BC1(图略).‎ 由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,‎ 又AB∩AD1=A,‎ ‎∴DA1⊥平面ABC1D1.‎ ‎∵AE⫋平面ABC1D1,‎ ‎∴AE⊥DA1.‎ ‎(2)解 所求点G即为点A1,证明如下:‎ 由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,‎ 可得DF⊥平面AHE.‎ ‎∵AE⫋平面AHE,∴DF⊥AE.‎ 又DF∩A1D=D,‎ ‎∴AE⊥平面DFA1,‎ 即AE⊥平面DFG.‎ ‎5.解 (1)∵D,E分别是AB,BC边的中点,‎ ‎∴DE