2017-2018学年河北衡水中学高二下学期期中考试数学(理)试题

2017-2018学年河北衡水中学高二下学期期中考试数学(理)试题

‎2017-2018学年河北衡水中学高二下学期期中考试数学(理)试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.给出下列表述:‎ ‎①综合法是由因导果法；‎ ‎②综合法是顺推证法；‎ ‎③分析法是执果索因法；‎ ‎④分析法是间接证明法；‎ ‎⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎3.设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.用反证法证明命题“若，则且”时，下列假设的结论正确的是（ ）‎ A．或 B．且 C．或 D．且 ‎5.方程（为参数）表示的曲线是（ ）‎ A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．圆 ‎6.若，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有甲、乙、丙个柱子，在甲柱上现有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束.在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9.设函数，则函数的所有极大值之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）‎ 的单调递减区间为（ ）‎ A． B．， C． D．，‎ ‎12.已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. ‎ ‎13.复数（为虚数单位）的虚部为 ．‎ ‎14.在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 ．‎ ‎15.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ．‎ ‎16.已知实数，满足，，则的最小值为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设复数，其中为虚数单位，当实数取何值时，复数对应的点：‎ ‎（1）位于虚轴上；‎ ‎（2）位于一、三象限；‎ ‎（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上.‎ ‎18.已知数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（1）写出，，，并推测数列的表达式；‎ ‎（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.‎ ‎19.在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线与曲线交于，两点，且，求实数的值.‎ ‎20.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系，如下表所示（假设该区域空气质量指数不会超过）：‎ 空气质量指数 空气质量等级 级优 级良 级轻度污染 级中度污染 级重度污染 级严重污染 该社团将该校区在年某天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.‎ ‎（1）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；‎ ‎（2）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这三天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望.‎ ‎21.已知抛物线的焦点为椭圆：的右焦点，点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，求的取值范围.‎ ‎22.已知，函数.‎ ‎（1）若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求函数的最小值的最大值；‎ ‎（3）设函数，，求证：.‎ 参考答案及解析 一、选择题 ‎1-5: BCDAB 6-10: ACBDB 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 甲 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）复数对应的点位于虚轴上，‎ 则.‎ ‎∴时，复数对应的点位于虚轴上.‎ ‎（2）复数对应的点位于一、三象限，‎ 则或.‎ ‎∴当时，复数对应的点位于一、三象限.‎ ‎（3）复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上，则或.‎ ‎∴或时，复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上.‎ ‎18.解：（1）将，，分别代入，‎ 可得，，.‎ 猜想.‎ ‎（2）①由（1），得时，命题成立；‎ ‎②假设时，命题成立，即，‎ 那么当时，‎ ‎，‎ 且，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即当时，命题也成立.‎ 根据①②，得对一切，都成立.‎ ‎19.解：（1）曲线的参数方程为，‎ 则曲线的普通方程为.‎ 由曲线的极坐标方程为，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设，两点所对应参数分别为，，‎ 将曲线的参数方程代入：，‎ 得.‎ 若有两个不同的交点，‎ 则，即.‎ 由韦达定理，有，‎ 根据参数方程的几何意义，‎ 可知，，‎ 又由，可得，‎ 即或.‎ ‎∴当时，‎ 有，符合题意.‎ 当时，‎ 有，符合题意.‎ 综上所述，实数的值为或.‎ ‎20.解：（1）由直方图，可估算（以天计算）全年空气质量优良的天数为 ‎（天）.‎ ‎（2）由题，可知的所有可能取值为，，，，，，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎（元）.‎ ‎21.解：（1）由已知，‎ 可得的焦点坐标为，‎ 设，‎ 则，‎ 解得，‎ 所以.‎ 由点在椭圆上，得，‎ 即.‎ 又，解得，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，与直线无交点，‎ 故直线的斜率不为.‎ 设直线的方程为，‎ ‎，，‎ 由，得，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎.‎ 当时，直线的方程为，‎ 由，‎ 得，，‎ 即，‎ 所以.‎ 所以 ‎.‎ 设，则，‎ 则，‎ 由于在区间内为增函数，‎ 所以，‎ 则.‎ 当时，，，‎ 则，所以.‎ 综上，得的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）函数在区间内单调递减 ‎，恒有成立，‎ 而，‎ 故对，恒有成立，‎ 而，则满足条件.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎（2）当时，.‎ 随的变化，，的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎+‎ 极小值 所以的最小值.‎ ‎.‎ 随的变化，，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ 极大值 所以的最大值为.‎ ‎（3）因为，‎ 所以当时，‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以在区间内是增函数，‎ 故.‎ 当时，‎ ‎，‎ 由 ‎，‎ 解得（舍去）或.‎ 又，故时，，‎ 所以在区间内是增函数，‎ 所以.‎ 综上所述，对，恒成立.‎