2018-2019学年安徽省安庆市五校联盟高二下学期期中考试数学（文）解析版

2018-2019学年安徽省安庆市五校联盟高二下学期期中考试数学（文）解析版

绝密★启用前 安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．函数f（x）=1+sinx，其导函数为f（x），则f（）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，再代值计算即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=1+sinx，其导函数为f′（x）=cosx，∴，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．‎ ‎2．过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．‎ ‎【详解】‎ 由函数，得f′（x）=x2-2x，设函数图象 上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），‎ 则f′（x0）=x02-2x0=（x​0-1）2-1≥-1，∴tanα≥-1，‎ ‎∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，‎ 切线倾斜角的范围为 ．‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性，是中档题．‎ ‎3．已知函数f（x）=x3-的导函数为f（x），则f（x）的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（x）=4x2+,利用基本不等式求其最值即可 ‎【详解】‎ ‎（x）=4x2+，当且仅当x=时取等号， ∴（x）的最小值为为4． ‎ 答案：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数，基本不等式求最值，熟记求导公式，准确计算是关键，是基础题 ‎4．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 A．9 B．18 C．20 D．35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为输入的,故,满足进行循环的条件,,满足进行循环的条件,,满足进行循环的条件,,不满足进行循环的条件,故输出的值为,故选B.‎ 考点：1、程序框图；2、循环结构.‎ ‎5．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎　f′(x)＝1－2sin x.‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴sin x∈[－1,0]，∴－2sin x∈[0,2]．‎ ‎∴f′(x)＝1－2sin x>0在上恒成立，‎ ‎∴f(x)在上单调递增．‎ ‎∴f(x)min＝－＋2cos（－）＝－. 选A ‎6．在R上可导的函数f（x）的图象如图示，f（x）为函数f（x）的导数，则关于x的不等式x•f（x）＜0的解集为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过图象得到函数的单调性，从而得到导数在某区间的符合，通过讨论x 的符号求解不等式即可．‎ ‎【详解】‎ 由图象可知f（x）=0的解为x=-1和x=1 ‎ 函数f（x）在（-∞，-1）上增，在（-1，1）上减，在（1，+∞）上增 ‎ ‎∴f（x）在（-∞，-1）上大于0，在（-1，1）小于0，在（1，+∞）大于0 ‎ 当x＜0时，f（x）＞0解得x∈（-∞，-1） ‎ 当x＞0时，f（x）＜0解得x∈（0，1） ‎ 综上所述，x∈（-∞，-1）∪（0，1）， ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的图象，导数的运算以及其他不等式的解法，分类讨论的思想的渗透，本题属于基础题．‎ ‎7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： .则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n=（　　）‎ A．7 B．35 C．48 D．63‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n的值.‎ ‎【详解】‎ 考查所给的等式的特征，归纳其性质有：‎ 若等式左侧根号外面的数为，则根号内部的分子为，分母为，‎ 据此归纳推理可知：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎8．对任意的a∈R，曲线y＝ex(x2‎ ‎+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l与圆C：(x-1)2+y2＝16的位置关系是（   ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出曲线y＝ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵y=ex（x2+ax+1-2a），∴y′=ex（x2+ax+2x+1-a），x=0时，y′=1-a，‎ ‎∴曲线y=ex（x2+ax+1-2a）在点P（0，1-2a）处的切线y-1+2a=（1-a）x，‎ 恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内，‎ ‎∴切线l与圆C：（x-1）2+y2=16的位置关系是相交．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎9．如图是二次函数f（x）=x2-bx+c的部分图象，则函数g（x）=ln x+f（x）的零点所在的区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数图象的对称轴确定b的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．‎ ‎【详解】‎ 由图可知，0＜b＜1，0＜c＜1，b-c=， ∴＜b＜1，g（x）=ln x+x-b为增函数， ‎ g（1）=1-b＞0，g（）=-ln2+-b＜0， 故零点所在的区间为（，1）． ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的图象和性质，导数的运算、函数零点的判定定理的应用，属于基础题．‎ ‎10．已知函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x+3y=0垂直，若数列{}的前n项和为Sn，则S2013的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求b，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S2013的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f(x)=x2-ax，∴f′(x)=2x-a，根据导数的几何意义，‎ ‎∴y=f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a，‎ ‎∵函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x+3y=0垂直，‎ ‎∴ ，∴a=-1，∴f(x)=x2+x，‎ ‎∴f(n)=n2+n=n(n+1)，∴ ,‎ ‎∴.‎ 故选:D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．考查学生的综合能力．属于中档题．‎ ‎11．设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+1的导函数为f（x）=3ax（x-2），若函数y=f（x）共有三个不同的零点，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的公式求出a，b，c的关系以及函数的解析式，求函数的极值，根据极值和零点的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f(x)=ax3+bx2+cx+1的导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax(x-2)=3ax2-6ax，‎ ‎∴2b=-6a,c=0,即b=-3a,c=0,则f(x)=ax3-3ax2+1,‎ ‎①若a＞0,则由f′(x)=3ax(x-2)＞0得x＞2或x＜0,‎ 由f′(x)＜0得0＜x＜2,则函数在x=0时取得极大值f(0)=1,‎ 在x=2时,函数取得极小值f(2)=8a-12a+1=1-4a,‎ 若函数y=f(x)共有三个不同的零点,则f(2)=1-4a＜0,解得a＞.‎ ‎②若a＜0,则由f′(x)=3ax(x-2)＜0得x＞2或x＜0,‎ 由f′(x)＞0得0＜x＜2,则函数在x=0时取得极小值f(0)=1,‎ 在x=2时,函数取得极大值f(2)=8a-12a+1=1-4a，‎ 则此时函数y=f（x）只有1个零点,不满足条件.‎ 综上a＞.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点个数的应用，求函数的导数，利用函数极值和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎12．已知f（x）=-x3-ax在（-∞，-1]上递减，且g（x）=2x-在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数小于等于零恒成立，求出的范围，再由在上有零点，求出的范围，综合两种情况可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数在上单调递减，‎ 所以对于一切恒成立，‎ 得，‎ 又因为在区间上既有最大值，又有最小值，‎ 所以，可知在上有零点，‎ 也就是极值点，即有解，在上解得，‎ 可得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知， 为虚数单位，若为实数，则的值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】为实数，‎ 则.‎ ‎【考点】 复数的分类 ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ 复数，‎ 当时， 为虚数，‎ 当时， 为实数，‎ 当时， 为纯虚数.‎ ‎14．函数f（x）（x＞0）的单调增区间为______ ．‎ ‎【答案】（1，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，利用导函数的符号大于0，求出x的范围，即可得到函数的单调增区间．‎ ‎【详解】‎ 由函数f（x）=（x＞0）， 可得（x）=＞0，得x＞1， ‎ 即函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）． ‎ 故答案为：（1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，单调增区间的求法，考查计算能力．‎ ‎15．已知f（x）=x2+3xf（2），则1+f（1）= ______ ．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出f′（x）＝2x+3f'（2），令x＝2，即可求出f′（1 ）．‎ ‎【详解】‎ 因为f(x)=x2+3xf′(2)，所以（x）=2x+3f'（2），令x=2，得（2）=4+3f'(2），‎ 所以（2）=-2，所以（1）=2+3f'(2)=-4，所以1+（1）=-3‎ 故答案为：-3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出（2） 是关键步骤．‎ ‎16．设，当取得极大值，当取得极小值，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对函数进行求导得，由于函数在在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，所以 在和内各有一个实数根，从而，化简得到，设，则，作出点的可行域如下图所示的阴影部分，易知，即，故答案应填：．‎ 考点：1、导数；2、二次方程根的分布；3、极值；4、线性规划．‎ ‎【思路点晴】本题是关于导数、极值、二次方程根的分布、线性规划等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是，首先根据函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，得到应满足的关系式，进而得出，满足的关系式，得到可行域，再结合的几何意义，最终得出其取值范围．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数的极值点为1和2．‎ ‎（1）求实数a，b的值．‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出函数的导数，根据极值点为，列出方程组，即可求解的值；（2）由（1）中得，可得，得出函数的单调性，即可求解在区间上的最大值.‎ 试题解析：（1）由得，‎ 依题意有 ‎（2）由（1）得， ，‎ 由或；；‎ 所以在上递增，在上递减，在上递增 所以在区间上的或处取得最大值 由， ‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值与最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中涉及到导数的运算公式、方程组的计算等，本题的解答中，正确利用导数的四则运算公式，求解函数的导数，利用函数的极值和导数的符号得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了学号的推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎18．已知p：方程x2＋(m2－6m)y2＝1表示双曲线，q：函数f(x)＝x3－mx2＋(2m＋3)x在(－∞，＋∞)上是单调增函数．‎ ‎（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）(0，6)；（2）[－1，0]∪(3，6)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线C：x2+（m2﹣6m）y2＝1是双曲线，列出不等式求解即可．（2）由函数f（x）x3﹣mx2+（2m+3）x是单调增函数，通过（x）＝x2﹣2mx+m+3≥0恒成立．推出△≤0，解得m的范围，利用复合命题的真假关系，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，曲线C：x2＋(m2－6m)y2＝1是双曲线，‎ 所以m2－6m＜0．解得0＜m＜6，即m的取值范围为(0，6)．‎ ‎（2）由函数f(x)＝x3－mx2＋(2m＋3)x是单调增函数，‎ 可知f ′(x)＝x2－2mx＋m＋3≥0恒成立．‎ 故△＝－4(2m＋3)≤0，解得－1≤m≤3．‎ 因为p或q是真命题，p且q是假命题，所以p真q假或者p假q真．‎ 因此 ‎ 故m的取值范围是[－1，0]∪(3，6)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎19．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ ‎  ‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎  ‎ ‎10 ‎ ‎  ‎ 女生 ‎20 ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ 合计 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整；‎ ‎（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；‎ ‎（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15 ‎ ‎0.10 ‎ ‎0.05 ‎ ‎0.025 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎0.001 ‎ k ‎ ‎2.072 ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828 ‎ ‎（参考公式：，其中n=a+b+c+d）‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，‎ 可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得与邻界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1人喜欢游泳的概率.‎ 试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，‎ 所以喜欢游泳的学生人数为人 其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下： ‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎（2）因为 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关 ‎（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a，b，c，另外2名学生记为1， 2，任取2名学 生，则所有可能情况为（a，b）、（a，c）、（a，1）、（a，2）、（b，c）、（b，1）、（b，2）、（c，1）、（c，2）、（1，2），共10种.‎ 其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a，1）、（a，2）、（b，1）、（c，1）、‎ ‎（c，2），共6种 所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为 ‎【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及独立性检验的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎20．已知函数 ‎ ‎（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；‎ ‎（2）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)最大值为8，最小值为；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用的图象在点处的切线方程为求出，再求函数在区间上的最大值.（2）由题得得或，‎ 再解不等式 或 得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得 ， ，‎ ‎， ，‎ ‎ 令, 得或2， ‎ 又 , ,‎ ‎.‎ ‎（2）得或， ‎ 若在上不单调，则在上有解,‎ ‎ 或 ，‎ 或.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查利用函数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本题的关键是分析推理出在上有解,即 或 .‎ ‎21．已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．‎ ‎（1）当a＞0时，若f（x）满足：y极小值=1，y极大值=，试求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若x∈[0，1]时，y=f（x）图象上的任意一点处的切线斜率k满足：|k|≤1，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（x）=-x3+x2+1；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=,易求出函数取极值时x的值，然后根据函数f（x）的极小值和极大值分别为1、，构造关于a，b的方程，解方程后即可求出函数y＝f（x）的解析式；（2）根据导数的几何意义可知|k|=|f′（x）|≤1在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=．‎ a＞0时，x变化时f'（x），f（x）变化如下表：‎ ‎ ‎ 所以f（0）=b=1，,解得a=1，b=1．故f（x）=-x3+x2+1；‎ ‎（2）由题设x∈[0，1]时，恒有|k|=|f′（x）|≤1，‎ 即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0，1]上恒成立．‎ 当x=0时，a∈R；‎ 当x∈（0，1]时，由-3x2+2ax≥-1恒成立，即2ax≥3x2-1，‎ y=在（0，1]上为增函数 所以a≥1‎ 另一方面，由-3x2+2ax≤1恒成立，所以（当且仅当x=时，取最值）．‎ 综上所述：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数极值，导数几何意义，不等式恒成立问题，准确计算是关键，是中档题 ‎22．已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）．‎ ‎（1）求证：ex≥x+1；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见证明； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证ex≥x+1，只需证f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，求导得f′（x）＝ex﹣1，利用导数性质能证明ex≥x+1．‎ ‎（2）不等式f（x）＞ax﹣1在x∈[，2]上恒成立，即a在x∈[]上恒成立，令g（x），x∈[]，利用导数性质求g（x）在x∈[]‎ 上的最小值，由此能求出正数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，要证，只需证，‎ 求导得，当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴f（x）在是增函数，在时是减函数，‎ 即在时取最小值，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．‎ ‎（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，‎ 亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，，‎ 以下求在上的最小值，‎ ‎,当时，，‎ 当]时，，‎ ‎∴当]时，单调递减，当]时，单调递增，‎ ‎∴在处取得最小值为，‎ ‎∴正数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎