数学卷·2018届湖南省衡阳市衡阳四中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届湖南省衡阳市衡阳四中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎2．不等式x﹣2y+3＞0表示的区域在直线x﹣2y+3=0的（　　）‎ A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方 ‎3．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则b=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在△ABC中，a=2，b=5，c=6，cosB等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．不等式x2﹣2x＜0的解集是（　　）‎ A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x＜﹣2，或x＞0}‎ ‎6．已知等比数列{an}的公比为2，则值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎7．在等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a8等于（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎8．已知x＞3，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．7‎ ‎9．下面结论正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则有 B．若a＞b，则有a|c|＞b|c|‎ C．若a＞b，则有|a|＞b D．若a＞b，则有 ‎10．不等式组表示的平面区域面积是（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎11．集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣2） C．R D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）‎ ‎12．若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）‎ ‎13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为　　．‎ ‎14．在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，，则AC的长为　　．‎ ‎15．已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠1），则该数列的前n项和Sn=　　．‎ ‎16．比较x2+5x+6与2x2+5x+9的大小．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．解关于x的不等式：‎ ‎（1）3x2﹣7x＞10‎ ‎（2）．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=，A=30°．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）求cosC的值．‎ ‎19．等差数列{an}中，已知a2=3，a7=13．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列前8项和S8的值．‎ ‎20．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1且a1，a3，a9，成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和Sn．‎ ‎21．如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD的长为x米 （2≤x≤6）．‎ ‎（1）用x表示墙AB的长；‎ ‎（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y（元）表示为x（米）的函数；‎ ‎（3）当x为何值时，墙壁的总造价最低？‎ ‎22．已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）．‎ ‎（1）若对于所有实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；‎ ‎（2）若对于m∈[﹣2，2]不等式恒成立，求x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解 ‎【解答】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{an}‎ ‎∴an=an﹣1+an﹣2 （n＞3）‎ ‎∴x=a7=a5+a6=5+8=13‎ 故选C ‎　‎ ‎2．不等式x﹣2y+3＞0表示的区域在直线x﹣2y+3=0的（　　）‎ A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方 ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】利用二元一次不等式与对应直线的关系，利用点定域的方法解答．‎ ‎【解答】解：将（0，0）代入不等式x﹣2y+3＞0成立，所以它表示的区域在直线x﹣2y+3=0的右下方；‎ 故选B ‎　‎ ‎3．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则b=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得，．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，a=2，b=5，c=6，cosB等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】根据余弦定理cosB=的式子，代入题中的边长加以计算，可得cosB的值．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=5，c=6，‎ ‎∴根据余弦定理，得cosB===．‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．不等式x2﹣2x＜0的解集是（　　）‎ A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x＜﹣2，或x＞0}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】先求相应二次方程x2﹣2x=0的两根，根据二次函数y=x2﹣2x的图象即可写出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：方程x2﹣2x=0的两根为0，2，‎ 且函数y=x2﹣2x的图象开口向上，‎ 所以不等式x2﹣2x＜0的解集为（0，2）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知等比数列{an}的公比为2，则值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由已知可得： =22=4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．在等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a8等于（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得：a8=1+2×（8﹣1）=15．‎ 故选；C．‎ ‎　‎ ‎8．已知x＞3，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．7‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】利用基本不等式直接求解表达式的最小值即可．‎ ‎【解答】解：x＞3，则=≥=7．‎ 当且仅当x=5时等号成立．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．下面结论正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则有 B．若a＞b，则有a|c|＞b|c|‎ C．若a＞b，则有|a|＞b D．若a＞b，则有 ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】令a＞0＞b，我们可以判断A中不等式与D中不等式的真假，令c=0，我们可以判断B中不等式的真假，根据不等式的性质可得|a|≥‎ a，进而根据不等式的基本性质可判断C中不等式的真假，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：若a＞0＞b，则有，故A不正确；‎ 若c=0，则当a＞b时，有a|c|=b|c|，故B不正确；‎ 由|a|≥a，若a＞b，则有|a|＞b，故C正确；‎ 若a＞0＞b，则有，故D不正确；‎ 故选C ‎　‎ ‎10．不等式组表示的平面区域面积是（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出约束条件式组所表示的可行域，要求所表示的平面区域的面积就是图中三角形所在区域面积，求解即可．‎ ‎【解答】解：不等式组式组所表示的平面区域就是图中阴影部分，‎ 它所在平面区域的面积，等于图中阴影部分面积，‎ 其图形是一个三角形．其中A（1，0），B（0，1），C（1，1）‎ ‎∴S=×1×1=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣2） C．R D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．‎ ‎【解答】解：A={x|x2+2x＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），B={x|x2+2x﹣3＜0}=（﹣3，1），‎ 则A∩B=（﹣3，﹣2）∪（0，1），‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由已知，求出a，c，确定f（x），再求出y=f（﹣x）的解析式，确定图象．‎ ‎【解答】解：由已知得，﹣2，1是方程ax2‎ ‎﹣x﹣c=0的两根，分别代入，解得a=﹣1，c=﹣2．∴f（x）=﹣x2﹣x+2．从而函数y=f（﹣x）=﹣x2+﹣x+2=﹣（x﹣2）（x+1）‎ ‎ 它的图象是开口向下的抛物线，与x轴交与（﹣1，0）（2，0）两点．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）‎ ‎13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为　﹣1　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 由图可知，最优解为A，‎ 联立，解得A（0，1）．‎ ‎∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，，则AC的长为　6　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用已知及三角形内角和定理可求∠B，利用正弦定理即可求值得解．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，‎ ‎∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=30°，‎ ‎∴由正弦定理可得：AC===6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎15．已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠1），则该数列的前n项和Sn=　Sn=（q≠1）或Sn=q（q≠1）　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的通项公式可知：an=a1qn﹣1，等比数列的前n项和公式Sn=（q≠1），或Sn=q（q≠1）．‎ ‎【解答】解：由等比数列的通项公式可知：an=a1qn﹣1，‎ 由等比数列的前n项和公式可知：Sn=（q≠1），或Sn=q（q≠1），‎ 故答案为：Sn=（q≠1）或Sn=q（q≠1）．‎ ‎　‎ ‎16．比较x2+5x+6与2x2+5x+9的大小．‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】作差，与0比较，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：2x2+5x+9﹣（x2+5x+6）=x2+3≥3．‎ ‎∴x2+5x+6＜2x2+5x+9．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．解关于x的不等式：‎ ‎（1）3x2﹣7x＞10‎ ‎（2）．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）将不等式一边化为0，分解因式，解之；‎ ‎（2）将不等式等价转化为整式不等式解之即可．‎ ‎【解答】解：（1）原不等式可化为：3x2﹣7x﹣10＞0‎ 则方程3x2﹣7x﹣10=0的两根为x1=，x2=﹣1‎ ‎∴不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}‎ ‎（2）原不等式等价于（x﹣1）（2x+1）≤0且2x+1≠0‎ 则方程（x﹣1）（2x+1）=0的两根为x1=，x2=1‎ ‎∴不等式的解集为{x|＜x≤1}‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=，A=30°．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）求cosC的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及正弦定理即可解得sinB的值．‎ ‎（2）由B的范围及特殊角的三角函数值可求B的值，利用三角形内角和定理可求C的值，进而可求cosC的值．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理得：，由a=1，b=，A=30°，‎ 代入公式，即=，解得sinB=，‎ ‎（2）由（1）知，B=60°，或120°，‎ ‎∴C=180°﹣A﹣B=90°，或30°，‎ ‎∴cosC=0或．‎ ‎　‎ ‎19．等差数列{an}中，已知a2=3，a7=13．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列前8项和S8的值．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由等差数列的通项公式先求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）由首项和公差，利用等差数列前n项和公式能求出数列前8项和S8的值．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列的公差为d ‎∵a7=13，a2=3，‎ ‎∴a7﹣a2=5d=10‎ ‎∴d=2，又a1=1‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）*2=2n﹣1‎ ‎（2）由（1）知：a1=1，d=2，‎ ‎∴S8=8×1+=64．‎ ‎　‎ ‎20．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1且a1，a3，a9，成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）设数列{an}的公差为d≠0．由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32=a1•a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），解出d即可得出通项公式．‎ ‎（2）根据等比数列和等差数列的前n项和公式，分组求和即可．‎ ‎【解答】解：（1）：设数列{an}的公差为d≠0．‎ ‎∵a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，‎ ‎∴a32=a1•a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），‎ ‎∴4d2=8d，‎ ‎∵d≠0，∴d=1．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）=1+n﹣1=n．‎ ‎（Ⅱ）∵+an=2n+n，‎ ‎∴数列的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+‎ ‎　‎ ‎21．如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD的长为x米 （2≤x≤6）．‎ ‎（1）用x表示墙AB的长；‎ ‎（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y（元）表示为x（米）的函数；‎ ‎（3）当x为何值时，墙壁的总造价最低？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）由AB•AD=24，得AD=x，可得AB；‎ ‎（2）墙壁的总造价函数y=1000×，整理即可；‎ ‎（3）由基本不等式，可求得函数y=3000的最小值及对应的x的值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，由AB•AD=24，得AD=x，∴（米）；‎ ‎（2）墙壁的总造价函数y=1000×=3000（其中2≤x≤6）；‎ ‎（3）由y=3000≥3000×2=24000，当且仅当，即x=4时取等号；‎ ‎∴x=4时，y有最小值为24000；所以，当x为4米时，墙壁的总造价最低．‎ ‎　‎ ‎22．已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）．‎ ‎（1）若对于所有实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；‎ ‎（2）若对于m∈[﹣2，2]不等式恒成立，求x的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）等价于mx2﹣2x+（1﹣m）＜0对任意实数x恒成立，分m=0和m ‎≠0两种情况讨论，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．‎ ‎（2）等价于（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）＜0在[﹣2，2]上恒成立，利用一次函数要么为增函数，要么为减函数两种情况分别讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）原不等式等价于mx2﹣2x+（1﹣m）＜0对任意实数x恒成立 当m=0时，﹣2x+1＜0⇒x不恒成立 ‎∴，‎ ‎∴m无解．故m不存在．‎ ‎（2）设f（m）=（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）‎ 要使f（m）＜0在[﹣2，2]上恒成立，当且仅当 ‎⇔‎ ‎∴‎ ‎∴x的取值范围是{x|}‎ ‎　‎