2020九年级数学上册 第1章 二次函数 1

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2020九年级数学上册 第1章 二次函数 1

1.2 二次函数的图象(2)‎ ‎(见A本3页)‎ A 练就好基础 基础达标 ‎1.下列坐标所表示的点在y=x2-4图象上的是( C )‎ A.(4,4)       B.(1,-4) C.(2,0) D.(0,4)‎ ‎2.如果将抛物线y=x2 向下平移1个单位,那么所得新抛物线的函数表达式是( C )‎ A.y=(x-1)2 B.y=(x+1)‎2 ‎ C.y=x2-1 D.y=x2+1‎ ‎3.已知二次函数y=-(x-1)2+2,下列说法中,正确的是( C )‎ A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是(-1,2)‎ C.函数有最大值2 ‎ D.图象与y轴的交点坐标为(0,2)‎ ‎4.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是( D )‎ A.     B.    C.     D.‎ ‎5.抛物线y=2(x-3)2的开口__向上__,顶点坐标是 (3,0) ,对称轴是直线__x=3__.‎ ‎6.一条抛物线的形状与抛物线y=2x2相同,顶点在(0,-1)上,那么这条抛物线的表达式为__y=2x2-1或y=-2x2-1__.‎ ‎7.如图所示,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB为‎20 m,顶点M距水面‎6 m(即MO=‎6 m),小孔顶点N距水面‎4.5 m(即NC=‎4.5 m).当水位上涨到刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,可以得出此时大孔的水面宽度EF是__10_m__.‎ 第7题图 5‎ ‎8.一个二次函数,其图象由抛物线y=x2向右平移1个单位,再向上平移k(k>0)个单位得到,平移后的图象过点(2,1),求k的值.‎ 解:由抛物线y=x2向右平移1个单位,再向上平移k个单位,得y=(x-1)2+k.又∵过点(2,1),∴(2-1)2+k=1,解得k=.‎ 第9题图 ‎9.如图所示,某水渠的横截面成抛物线,水面的宽度为AB(单位:米),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的坐标系.已知AB=‎8米,设抛物线的解析式为y=ax2-4.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)点C(-1,m)是抛物线上一点,点C关于原点O的对称点为点D,连结CD,BC,BD,求△BCD的面积.‎ 解:(1)∵AB=8,由抛物线的性质可知OB=4,‎ ‎∴B(4,0),把B点坐标代入解析式,得16a-4=0,‎ 解得a=.‎ ‎(2)过点C作CE⊥AB于E,过点D作DF⊥AB于F,‎ 第9题答图 ‎∵a=,‎ ‎∴y=x2-4,‎ 又∵点C(-1,m)是抛物线上一点,‎ ‎∴m=×(-1)2-4=-,‎ ‎∴C.‎ ‎∵点C关于原点的对称点为点D,‎ 5‎ ‎∴点D的坐标为,‎ 则CE=DF=,‎ S△BCD=S△BOD+S△BOC=OB·DF+OB·CE=×4×+×4×=15,‎ ‎∴△BCD的面积为15平方米.‎ B 更上一层楼 能力提升 ‎10.二次函数y=a(x+k)2+k,当k取不同实数值时,图象顶点所在直线的函数表达式是__y=-x__.‎ ‎11.在二次函数y=-(x-2)2+的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有__7__个.‎ ‎12.二次函数y=a(x+1)2-2的图象均在x轴的下方,则a的取值范围为__a<0__.‎ 第13题图 ‎13.有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度BM为‎3 m,跨度OA为‎6 m,以OA所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系(如图所示).‎ ‎(1)请你直接写出A,M两点的坐标;‎ ‎(2)一艘小船上平放着一些长‎3 m、宽‎2 m且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过此桥洞,问:这些木板最高可堆放多少米?(假设底层木板与水面在同一平面上)‎ 解:(1)A(6,0),M(3,3).‎ ‎(2)设抛物线的表达式为y=a(x-3)2+3,因为抛物线过点(0,0),所以0=a(0-3)2+3,解得a=-,所以y=- (x-3)2+3,要使木板堆放最高,依据题意,得B点应是木板宽的中点,把x=2代入抛物线的表达式得y=,所以这些木板最高可堆放 m.‎ 第14题图 ‎14.如图所示,二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M. ‎ ‎(1)求二次函数的表达式;‎ ‎(2)请叙述三种平移的方式,使得平移后的二次函数的图象经过原点.‎ 5‎ 解:(1)∵二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,∴ 解得 则抛物线的解析式为y=x2-2x-3.‎ ‎(2)将原二次函数向右平移1个单位或向左平移3个单位或向上平移3个单位后都经过原点.(答案不唯一)‎ C 开拓新思路 拓展创新 第15题图 ‎15.如图,点A,B的坐标分别为(2,-5)和(5,-5),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).若点D的横坐标最大值为10,则点C的横坐标最小值为__-3__.‎ 第16题图 ‎16.如图所示,二次函数图象的顶点在原点O上,经过点A;点F(0,1)在y轴上,直线y=-1与y轴交于点H.‎ ‎(1)求二次函数的表达式.‎ ‎(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M,求证:FM平分∠OFP.‎ ‎(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.‎ 解:(1)∵二次函数图象的顶点在原点O上,‎ ‎∴设二次函数的表达式为y=ax2,‎ 将点A代入y=ax2,得a=,‎ ‎∴二次函数的表达式为y=x2.‎ ‎(2)证明:∵点P在抛物线y=x2上,‎ ‎∴可设点P的坐标为,‎ 如答图,过点P作PB⊥y轴于点B,则BF=,PB=|x|,∴在Rt△BPF中,‎ 5‎ PF==x2+1. ‎ 第16题答图 ‎∵PM垂直于直线y=-1,∴PM=x2+1,‎ ‎∴PF=PM,∴∠PFM=∠PMF,‎ 又∵PM∥y轴,∴∠MFH=∠PMF,‎ ‎∴∠PFM=∠MFH,∴FM平分∠OFP.‎ ‎(3)当△FPM是等边三角形时,∠PMF=60°,‎ ‎∴∠FMH=30°,‎ ‎∴在Rt△MFH中,MF=2FH=2×2=4.‎ ‎∵PF=PM=FM,∴x2+1=4,‎ 解得x=±2,∴x2=12,y=3.‎ ‎∴满足条件的点P的坐标为(2,3)或(-2,3).‎ 5‎
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