数学卷·2018届辽宁省辽河油田二中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届辽宁省辽河油田二中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年辽宁省辽河油田二中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每道小题5分，满分60分）‎ ‎1．复数的虚部为（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．4i D．﹣4i ‎2．若命题“p且q”为假，且“¬p”为假，则（　　）‎ A．“p或q”为假 B．q假 C．q真 D．p假 ‎3．某科研小组共有5个成员，其中男研究人员3人，女研究人员2名，现选举2名代表，至少有1名女研究人员当选的概率为（　　）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（　　）‎ A．18 B．20 C．21 D．40‎ ‎5．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x ‎6．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（　　）‎ A．18，6 B．8，16 C．8，6 D．18，16‎ ‎7．“4＜K＜9”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力y ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（　　）‎ A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10‎ ‎9．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1，AB，CC1的中点分别为E，F，G，则EF与A1G所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎10．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（　　）‎ A．2 B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（每道小题5分，满分20）‎ ‎13．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=　　．‎ ‎14．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为　　．‎ ‎15．以椭圆短轴的两个顶点为焦点，且过点A（4，﹣5）的双曲线的标准方程是　　．‎ ‎16．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为　　．‎ ‎　‎ 三、简答题（满分70分，其中17题10分，18～22题均为12分）‎ ‎17．当实数m为何值时，复数z=（m2+m）+（m2﹣1）i是：‎ ‎①实数； ②虚数； ③纯虚数．‎ ‎18．某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．‎ ‎（1）求从该班男女同学在各抽取的人数；‎ ‎（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．‎ ‎19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．‎ ‎20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．‎ ‎（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；‎ ‎（2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PE⊥AF；‎ ‎（Ⅱ）若BC=2BE=2AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．．‎ ‎22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）已知点M的坐标为（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省辽河油田二中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每道小题5分，满分60分）‎ ‎1．复数的虚部为（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．4i D．﹣4i ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】先化简复数z，化简时要将分子、分母分别乘以分母的共轭复数，使分母实数化，进而可求出复数z的虚部．‎ ‎【解答】解：∵复数==3﹣4i，‎ ‎∴复数z的虚部为﹣4，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．若命题“p且q”为假，且“¬p”为假，则（　　）‎ A．“p或q”为假 B．q假 C．q真 D．p假 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据复合命题真假之间的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若“¬p”为假，则p为真命题．，‎ ‎∵“p且q”为假，‎ ‎∴q为假命题．，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．某科研小组共有5个成员，其中男研究人员3人，女研究人员2名，现选举2名代表，至少有1名女研究人员当选的概率为（　　）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】先确定科研小组共有5个成员，选举2名代表的方法数，再求出至少有1名女研究人员当选的方法数，由此可求概率．‎ ‎【解答】解：科研小组共有5个成员，选举2名代表，共有=10种方法，其中至少有1名女研究人员当选，共有=7种方法，‎ ‎∴选举2名代表，至少有1名女研究人员当选的概率为 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（　　）‎ A．18 B．20 C．21 D．40‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，‎ ‎∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．‎ ‎∴输出S=20．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．‎ 双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），‎ ‎∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，‎ ‎∴=2，∴m=，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（　　）‎ A．18，6 B．8，16 C．8，6 D．18，16‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】利用中位数、平均数计算公式求解．‎ ‎【解答】解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+x，24，27，‎ ‎∵甲组数据的平均数为18，‎ ‎∴5（9+12+10+x+24+27）=90，‎ 解得y=8．‎ ‎∵甲组数据为：9，15，10+y，18，24，乙组数据的中位数为16‎ ‎∴10+y=16，解得y=6．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．“4＜K＜9”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出方程+=1表示的图形为椭圆的k的范围，结合集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：∵方程+=1表示的图形为椭圆，‎ ‎∴，解得：4＜k＜9且k≠，‎ 故“4＜K＜9”是“方程+=1表示的图形为椭圆“的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力y ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（　　）‎ A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10‎ ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由表中数据得，，‎ 由在直线，得，‎ 即线性回归方程为．‎ 所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1，AB，CC1的中点分别为E，F，G，则EF与A1G所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与A1G所成的角．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，‎ 则E（2，0，1），F（2，1，0），A1（2，0，2），G（0，2，1），‎ ‎=（0，1，﹣1），=（﹣2，2，﹣1），‎ 设EF与A1G所成的角为θ，‎ 则cosθ===，‎ ‎∴θ=45°．‎ ‎∴EF与A1G所成的角为45°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出，再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．‎ ‎【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则==．‎ 因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面EFD所成角．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，‎ D为坐标原点．P（0，0，a），B（a，a，0），‎ ‎=（a，a，﹣a），又=（0，，），‎ ‎=0+=0，‎ ‎∴PB⊥DE．‎ 由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D，‎ ‎∴PB⊥平面EFD，‎ ‎∴PB与平面EFD所成角为90°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（　　）‎ A．2 B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），‎ 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，‎ 则抛物线的焦点为（2，0）；‎ 则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；‎ 点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，‎ 由双曲线的性质，可得b=1；‎ 则c=，则焦距为2c=2‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每道小题5分，满分20）‎ ‎13．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=　1　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：∵ =1﹣i，‎ ‎∴a+i=‎ ‎∴a=﹣i=﹣i=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：正方形的面积S=0.5×0.5=0.25，‎ 若铜钱的直径为2cm，则半径是1，圆的面积S=π×12=π，‎ 则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．以椭圆短轴的两个顶点为焦点，且过点A（4，﹣5）的双曲线的标准方程是　　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】求出椭圆短轴的两个顶点，可得双曲线的焦点，再利用双曲线的定义求出2a，即可求出双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：椭圆短轴的两个顶点为（0，±3），‎ ‎∴双曲线的焦点为（0，±3）．‎ ‎∵双曲线过点A（4，﹣5），‎ ‎∴2a==2，‎ ‎∴a=，‎ ‎∵c=3，‎ ‎∴b==2，‎ ‎∴所求双曲线的标准方程是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为　　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】根据题，过取BC的中点E，连接C1E，AE，证明AE⊥面BB1C1C，故∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，解直角三角形AC1E即可．‎ ‎【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE 则AE⊥BC，‎ 正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，‎ ‎∴面ABC⊥面BB1C1C，‎ 面ABC∩面BB1C1C=BC，‎ ‎∴AE⊥面BB1C1C，‎ ‎∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，‎ 在Rt△AC1E中，∵AB=AA1，‎ sin∠AC1E=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、简答题（满分70分，其中17题10分，18～22题均为12分）‎ ‎17．当实数m为何值时，复数z=（m2+m）+（m2﹣1）i是：‎ ‎①实数； ②虚数； ③纯虚数．‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】①由复数z的虚部等于0求解m的值；‎ ‎②由复数z的虚部不等于0求解m的值；‎ ‎③复数z的实部等于0且虚部不等于0联立求解m的值．‎ ‎【解答】解：①当m2﹣1=0，即m=±1时，z是实数；‎ ‎②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，z是虚数；‎ ‎③当m2+m=0，且m2﹣1≠0，即m=0时，z是纯虚数．‎ ‎　‎ ‎18．某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．‎ ‎（1）求从该班男女同学在各抽取的人数；‎ ‎（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）按照分层抽样的方法：各层被抽到的比例相同解答；‎ ‎（Ⅱ）利用列举法分别明确从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈和选出的两名同学中恰有一名男同学的所以可能，利用古典概率公式解答．‎ ‎【解答】解：（1）抽取的5人中男同学的人数为5×=3人，女同学的人数为5﹣3=2人．‎ ‎（2）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2．‎ 从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．‎ 用C表示：“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，‎ 所以 选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P（C）==．‎ ‎　‎ ‎19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），解得p即可得出．‎ ‎（2）F（1，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为：y=x﹣1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得：|MN|=．利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线MN的距离d．利用△OMN的面积S=即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．‎ ‎∴抛物线C的方程为：y2=4x．‎ ‎（2）F（1，0）．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 直线l的方程为：y=x﹣1．‎ 联立，‎ 化为x2﹣6x+1=0，‎ ‎∴x1+x2=6，x1x2=1．‎ ‎∴|MN|===8．‎ 原点O到直线MN的距离d=．‎ ‎∴△OMN的面积S===2．‎ ‎　‎ ‎20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．‎ ‎（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；‎ ‎（2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）判断垂直．证明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD．‎ ‎（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过向量的数量积求解二面角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）垂直．‎ 证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，‎ 可得△ABC为正三角形．‎ 因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．‎ 又BC∥AD，因此AE⊥AD．‎ 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥AE．‎ 而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，‎ 所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，‎ 所以AE⊥PD．‎ ‎（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，‎ 所以，．‎ 设平面AEF的一个法向量为，则，‎ 因此，取z1=﹣1，则．‎ 因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，‎ 所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．‎ 又，所以．‎ 因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PE⊥AF；‎ ‎（Ⅱ）若BC=2BE=2AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离．‎ ‎【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE，AF的坐标，得到其数量积为0即可证明结论．‎ ‎（Ⅱ）先根据条件求出D的坐标以及，的坐标，进而求出平面PDE的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．设AP=AB=2，BE=a 则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）‎ 于是，，，‎ 则，‎ 所以AF⊥PE．…‎ ‎（Ⅱ）若，则，，‎ ‎=（2，2，﹣2），‎ 设平面PDE的法向量为=（x，y，z），‎ 由，得：，令x=1，则，‎ 于是，而 设直线AP与平面PDE所成角为θ，‎ 则sinθ==．‎ ‎∴直线AP与平面PDE所成角为60°．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）已知点M的坐标为（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）右焦点（c，0），则=，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出．‎ ‎（2）设直线l的方程为：y=x+m，与椭圆方程联立可得：x2+2mbx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．k1+k2=+=，分子=+，把根与系数的关系代入即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：右焦点（c，0），则=，又，a2=b2+c2，‎ 联立解得c=，a=2，b=2．‎ ‎∴椭圆E的方程为=1．‎ ‎（2）证明：设直线l的方程为：y=x+m，联立，‎ 化为：x2+2mbx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．又k1=，k2=．‎ ‎∴k1+k2=+=，‎ 分子=+=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0，‎ ‎∴k1+k2=0，为定值．‎ ‎　‎