数学理卷·2018届山东省锦泽技工学校高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届山东省锦泽技工学校高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016-2017学年山东深泉学院高二（下）期中数学试卷（理科）‎ 满分：150分 时间：120分钟 姓名_________ 学号_______ 班级 ‎ 一、选择题：（本大题共有10个小题每题5分共50分）‎ ‎1．下列语句中是命题的是(　　) ‎ A．|x＋a|　　　　　　　　　 B．0∈N C．集合与简易逻辑 D．真子集 ‎2．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是(　　)‎ A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或”‎ C．使用了逻辑联结词“且”‎ D．使用了逻辑联结词“非”‎ ‎3．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么(　　)‎ A．命题p，q都是真命题 B．命题p，q都是假命题 C．命题p，q只有一个是真命题 D．命题，p，q至少有一个是真命题 ‎4．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么 (　　)‎ A．点P在直线l上，但不在圆M上 B．点P在圆M上，但不在直线l上 C．点P既在圆M上，也在直线l上 D．点P既不在圆M上，也不在直线l上 ‎5．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝(　　)‎ A．±3 B．0‎ C．±2 D. 一切实数 ‎6．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 (　　)‎ A．x2＋y2＝4(x≠±2)　 B．x2＋y2＝4‎ C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)‎ ‎7．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，a是常数)；命题乙：点 P的轨迹是椭圆，甲是乙的 (　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为(　　)‎ A．圆 B．抛物线和一条射线 C．椭圆 D．抛物线 ‎9．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是(　　)‎ A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可能 ‎10．已知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，AB＝1，则PC和平面ABC所成的角是(　　)‎ A．90° B．60°‎ C．45° D．30°‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）‎ ‎11．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎12．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)则双曲线的方程是________．‎ ‎13．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α.B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．‎ ‎ ‎ ‎14．设函数在处可导，则等于________．‎ ‎15．过点P(0,4)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有________条．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，前5题每小题12分，最后一题15分，共75分）‎ ‎16．P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．‎ ‎17．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离．‎ ‎ ‎ ‎18．已知：p：|3x－4|>2，q：>0，求¬p及¬q对应的x值的集合．‎ ‎19．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．‎ ‎ ‎ ‎20．求：(1)y＝ex在点A(0,1)处的切线方程；‎ ‎ (2)y＝lnx在点A(1,0)处的切线方程．‎ ‎21．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东深泉学院高二（下）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共有10个小题每题5分共50分）‎ ‎1．[答案] B．[解析]　由命题定义知选B.　‎ ‎2．[答案] B. [解析]　x＝±2是指x＝2或x＝－2.‎ ‎3．[答案]C. [解析]　“p∨q”为真，则至少p、q有一真，‎ p∧q为假，则至少p、q有一假，‎ ‎∴p、q一真一假，故选C.‎ ‎4．[答案]C. [解析]　将P(2,1)代入圆M和直线l的方程，得(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.‎ ‎5．[答案]A.[解析]　两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.‎ ‎6.[答案]A.[解析]　由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故答案为A.‎ ‎7．[答案]　B[解析]　若点P轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，点P的轨迹可能是线段，或不存在．‎ ‎8．[答案]　B ‎[解析]　如图，‎ 设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得 y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．‎ ‎9．[答案]　A ‎[解析]　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，‎ ‎∴a＋b与a－b垂直．‎ ‎10．[答案]　D ‎[解析]　作PO⊥平面ABC于O，由已知O为外心，且AB⊥OC，‎ ‎∴ ∠PCO为所求，∴OC＝×＝，‎ PC＝，∴cos∠PCO＝，‎ ‎∴∠PCO＝30°.‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）‎ ‎11．[答案]　[－3,0]‎ ‎[解析]　因为ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得 解得－3≤a<0.‎ 故－3≤a≤0.‎ ‎12．[答案]　x2－＝1‎ ‎[解析]　设双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ>0)，即－＝1.‎ ‎∵a2＋b2＝c2，‎ ‎∴＋λ＝10，解得λ＝9.‎ ‎∴双曲线方程为x2－＝1.‎ ‎13．[答案]　 ‎ [解析]　过点A作平面β的垂线，垂足为C，在平面β内过C作l的垂线．垂足为D，连结AD，由三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α－l－β的平面角，为60°，又由已知，∠ABD＝30°，连结CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2，则AC＝，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝＝.‎ ‎14． [答案] ‎ 根据导数的定义，=-‎ ‎ =‎ ‎15．[答案]　3‎ ‎[解析]　作出抛物线y2＝2x的图形如图，可以看出点P在y轴上，由图中看出过点P有3条直线与抛物线只有一个公共点．其中包括y轴(斜率不存在的切线)，过点P与x轴平行的直线以及过点P与抛物线相切的斜率存在一条直线．‎ ‎　三、解答题：（本大题共6小题，前5题每小题12分，最后一题15分，共75分）‎ ‎16．[解析]　解法一：易知引弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 由消去y得 ‎(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝.‎ 又∵x1＋x2＝2，∴＝2，得k＝－.故弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.‎ 解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得 ＋＝0.‎ ‎∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，‎ ‎∴＋(y1－y2)＝0，‎ ‎∴k＝＝－.‎ ‎∴此弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.‎ ‎17．[解析]　‎ ‎∵E是PA的中点，∴E到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离的一半．‎ ‎∵PC⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD，‎ 故过A在平面ABCD内作AH⊥BC，交BC于H，得AH⊥平面PBC，‎ ‎∴AH为A到平面PBC的距离．‎ 又AH＝AB·sin60°＝a，‎ 则E到平面PBC的距离为 a.‎ ‎18．[解析]　由p：|3x－4|>2，得p：x>2或x<，‎ ‎∴¬p：≤x≤2.‎ 即¬p：{x|≤x≤2}．‎ 由q：>0，得q：x>2或x<－1，‎ ‎∴¬q：－1≤x≤2，即¬q：{x|－1≤x≤2}.‎ ‎19．[解析]　∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，‎ ‎∴双曲线方程可设为－＝1(a>0，b>0)．‎ ‎∵点P(2，－1)在双曲线上，∴－＝1①.‎ 又∵圆x2＋y2＝5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为－1，‎ ‎∴k切＝2，即＝2，∴b＝2a②.‎ 解得①②得a2＝，b2＝15，∴双曲线方程为－＝1.‎ ‎20．[解析]　(1)∵(ex)′＝ex，‎ ‎∴y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.‎ ‎∴切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)∵(lnx)′＝，‎ ‎∴y＝lnx在点A(1,0)处的切线的斜率为1.‎ ‎∴切线方程为y＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.‎ ‎21． [解析]　∵y＝ax2＋bx＋c过(1,1)点，‎ ‎∴a＋b＋c＝1①‎ ‎∵y′＝2ax＋b，y′|x＝2＝4a＋b，‎ ‎∴4a＋b＝1②‎ 又曲线过(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1③‎ 解由①②③组成的方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎