2017-2018学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高二11月期中联考数学(理)试题

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2017-2018学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高二11月期中联考数学(理)试题

‎2017-2018学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高二11月期中联考 数学试题(理科)‎ 分值:150分 时间:120分钟 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填在题后的括号内。)‎ ‎1.要从已有编号(1~50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚进行发射试验,用系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.二进制数化为十进制数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.命题“”的否定为 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.已知某9个数的平均数为8,方差为3,现又加入一个新数据8,此时这10个数的平均数为,方差为,则(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.天气预报说,在今后三天中,每天下雨的概率均为0.4,有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数,他用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,产生3个随机数作为一组,产生20组随机数如下:027 556 488 730 113 537 989 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393,以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是( )‎ A. 0.30‎‎ B. ‎0.33 ‎‎ C. 0.375 D. 0.35‎ ‎6.已知两点、,且是与的等差中项,则动点的轨迹方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左或向右转,若这三种可能性大小相同,则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如图统计数据表:‎ 收入(万元)‎ ‎8.3‎ ‎8.5‎ ‎9.9‎ ‎11.4‎ ‎11.9‎ 支出(万元)‎ ‎6.3‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ ‎8.5‎ ‎9. 7‎ 据上表得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭的年支出为( )‎ A. 11.4‎万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 ‎9.如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且,当P在圆上运动时,则点M的轨迹C的方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知四棱锥中,,,,‎ 则点到底面的距离为( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎11.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于,两点,若,则( )‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎12.过椭圆C: 的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2,若,则椭圆C的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ∪‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中横线上。)‎ ‎13.已知正方体的棱长为1,则_______.‎ ‎14.抛物线上有一点的横坐标为,它到焦点的距离为,则抛物线方程为 .‎ ‎15.在三棱柱ABC—A1B‎1C1中,侧棱A‎1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若直线AB1与直线A‎1C的夹角的余弦值是,则棱AB的长度是________.‎ ‎16.已知为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的一条渐近线垂直,与双曲线的左右两支分别交两点,且,则双曲线的渐近线方程为__________.‎ 三、解答题解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本题满分10分)已知:实数满足,:实数满足 ‎,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本题满分12分)每年的‎4月23日是“世界读书日”,某校研究性学习小组为了解本校学生的阅读情况,随机调查了本校200名学生在这一天的阅读时间 (单位:分钟),将样本数据整理后绘制成如图的样本频率分布直方图.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若用分层抽样的方法从这200名学生中,抽出25人参加交流会,则阅读时间为, 的两组中各抽取多少人?‎ ‎19.(本题满分12分)某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎6‎ 未参加演讲社团 ‎6‎ ‎30‎ ‎(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5‎ ‎3名女同学B1,B2,B3,现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.‎ ‎20.(本题满分12分)已知椭圆的长轴为,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)直线经过定点,且与椭圆交于两点,求面积的最大值.‎ ‎21.(本题满分12分)如图,四棱锥的底面为平行四边形, 是边长为的等边三角形,平面平面,,,点是线段上靠近点的三等分点.‎ ‎(1)求证: ;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎22.(本题满分12分)已知椭圆,过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点的直线l交椭圆于A,B两点,交直线于点E,,,判断是否为定值。若是,计算出该定值;不是,说明理由.‎ 参考答案 ‎1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D 7.C ‎8.【解析】根据表格可求出, ,又因为,代入回归直线方程可求出,即可得到回归直线方程,当15时, 。 故选B ‎9.【解析】设,则 ,所以 ,选A.‎ ‎10.【解析】设是平面的一个法向量,则由题设,即,即,由于,所以,故点到平面ABCD的距离,应选答案D。‎ ‎11.【解析】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为,‎ ‎∵直线倾斜角为, ∴直线的方程为: .‎ 设直线与抛物线的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2), ∴|AF|=x1+,|BF|=x2+,‎ 联立方程组,消去y并整理,得12x2−20px+3p2=0,解得x1= ,x2=,‎ ‎∴|AF|:|BF|=3:1, 故选:D.‎ ‎12.【解析】, 所以,‎ 又因为,所以,即,解得.‎ 故选B.‎ ‎13.1, 14. 15.2‎ ‎16.【解析】过的直线与双曲线的一条渐近线垂直,设垂足为A,易得, ,又,所以,而,故, ,在中,利用余弦定理可得: ,即, ,得: ,故渐近线方程为: ‎ ‎17.【解析】:得 ‎ : ‎ ‎:因式分解,得,又 ‎ ‎ ‎ 的必要不充分条件, ‎ 因此,A1被选中且B1未被选中的概率为. ‎ ‎18.(1)由已知,得,‎ 解得.‎ ‎(2)阅读时间在分钟的人数为,‎ 阅读时间在分钟的人数为,‎ 用分层抽样选人的抽样比为,‎ ‎∴阅读时间在分钟的应选人,‎ 阅读时间在分钟的应选人.‎ ‎19.(Ⅰ)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20(人),所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=.‎ ‎(Ⅱ)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.‎ 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的,事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.‎ ‎20.解:(Ⅰ)椭圆的方程为:‎ ‎(Ⅱ)依题意知直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线方程为:,‎ 由,得,,‎ 由得:,设,,则,,‎ ‎,‎ 又∵原点到直线的距离,‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当,即时,等号成立,此时面积的最大值为.‎ ‎21.(Ⅰ)略 ‎ ‎[]‎ ‎(Ⅱ)∵是边长为的等边三角形,∴如图建立空间坐标系, ‎ ‎ 设面的法向量为,‎ ‎,令,得 ‎, ‎ ‎,设与面所成角为 ‎∴直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎22.解:解:(Ⅰ)由条件得,所以方程 ……4分 ‎ (Ⅱ)易知直线l斜率存在,令 由……5分 ‎ ………………6分 由 ‎ 得 …………………7分 由 ‎ 得 ……………8分 将代入 有 …………12分
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