2017-2018学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高二11月期中联考数学（理）试题

2017-2018学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高二11月期中联考数学（理）试题

‎2017-2018学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高二11月期中联考 数学试题（理科）‎ 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。）‎ ‎1．要从已有编号（1~50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚进行发射试验，用系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．二进制数化为十进制数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．命题“”的否定为 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4．已知某9个数的平均数为8，方差为3，现又加入一个新数据8，此时这10个数的平均数为，方差为，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．天气预报说,在今后三天中，每天下雨的概率均为0.4，有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，他用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，产生3个随机数作为一组，产生20组随机数如下：027 556 488 730 113 537 989 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393,以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是（ ）‎ A. 0.30‎‎ B. ‎0.33 ‎‎ C. 0.375 D. 0.35‎ ‎6．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如图统计数据表：‎ 收入（万元）‎ ‎8.3‎ ‎8.5‎ ‎9.9‎ ‎11.4‎ ‎11.9‎ 支出（万元）‎ ‎6.3‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ ‎8.5‎ ‎9. 7‎ 据上表得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭的年支出为（ ）‎ A. 11.4‎万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 ‎9．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且，当P在圆上运动时，则点M的轨迹C的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知四棱锥中，，，，‎ 则点到底面的距离为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎11．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎12．过椭圆C: 的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ∪‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）‎ ‎13．已知正方体的棱长为1，则_______.‎ ‎14．抛物线上有一点的横坐标为,它到焦点的距离为,则抛物线方程为 .‎ ‎15．在三棱柱ABC—A1B‎1C1中，侧棱A‎1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A‎1C的夹角的余弦值是，则棱AB的长度是________．‎ ‎16．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，则双曲线的渐近线方程为__________．‎ 三、解答题解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）已知：实数满足，：实数满足 ‎，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本题满分12分）每年的‎4月23日是“世界读书日”,某校研究性学习小组为了解本校学生的阅读情况,随机调查了本校200名学生在这一天的阅读时间 (单位:分钟),将样本数据整理后绘制成如图的样本频率分布直方图.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从这200名学生中，抽出25人参加交流会，则阅读时间为， 的两组中各抽取多少人？‎ ‎19．（本题满分12分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎6‎ 未参加演讲社团 ‎6‎ ‎30‎ ‎(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5‎ ‎3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ ‎20．（本题满分12分）已知椭圆的长轴为，离心率为．‎ ‎(1)求椭圆的方程．‎ ‎(2)直线经过定点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值．‎ ‎21．（本题满分12分）如图，四棱锥的底面为平行四边形， 是边长为的等边三角形，平面平面，,，点是线段上靠近点的三等分点.‎ ‎(1)求证: ；‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎22．（本题满分12分）已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，，，判断是否为定值。若是，计算出该定值；不是，说明理由.‎ 参考答案 ‎1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C ‎8．【解析】根据表格可求出， ，又因为，代入回归直线方程可求出，即可得到回归直线方程，当15时， 。 故选B ‎9．【解析】设,则 ,所以 ,选A.‎ ‎10．【解析】设是平面的一个法向量，则由题设，即，即，由于，所以，故点到平面ABCD的距离，应选答案D。‎ ‎11．【解析】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为，‎ ‎∵直线倾斜角为， ∴直线的方程为： .‎ 设直线与抛物线的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)， ∴|AF|=x1+,|BF|=x2+，‎ 联立方程组,消去y并整理,得12x2−20px+3p2=0，解得x1= ,x2=，‎ ‎∴|AF|:|BF|=3:1， 故选：D.‎ ‎12．【解析】， 所以，‎ 又因为，所以，即，解得.‎ 故选B.‎ ‎13．1， 14． 15．2‎ ‎16．【解析】过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，设垂足为A，易得， ,又，所以，而，故， ，在中，利用余弦定理可得： ，即， ，得： ，故渐近线方程为： ‎ ‎17．【解析】：得 ‎ ： ‎ ‎：因式分解，得，又 ‎ ‎ ‎ 的必要不充分条件， ‎ 因此，A1被选中且B1未被选中的概率为． ‎ ‎18．（1）由已知，得，‎ 解得．‎ ‎（2）阅读时间在分钟的人数为，‎ 阅读时间在分钟的人数为，‎ 用分层抽样选人的抽样比为，‎ ‎∴阅读时间在分钟的应选人，‎ 阅读时间在分钟的应选人．‎ ‎19．（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．‎ ‎（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．‎ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．‎ ‎20．解：（Ⅰ）椭圆的方程为：‎ ‎（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，‎ 由，得，，‎ 由得：，设，，则，，‎ ‎，‎ 又∵原点到直线的距离，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．‎ ‎21．（Ⅰ）略 ‎ ‎[]‎ ‎（Ⅱ）∵是边长为的等边三角形，∴如图建立空间坐标系， ‎ ‎ 设面的法向量为，‎ ‎，令，得 ‎， ‎ ‎，设与面所成角为 ‎∴直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎22．解：解：（Ⅰ）由条件得，所以方程 ……4分 ‎ （Ⅱ）易知直线l斜率存在，令 由……5分 ‎ ………………6分 由 ‎ 得 …………………7分 由 ‎ 得 ……………8分 将代入 有 …………12分