2019学年高二数学下学期期中试题 理 新人教版

2019学年高二数学下学期期中试题 理 新人教版

1 1 2 2019 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷（理） k 6. ∫ (2x − 3x2 )dx = 0 ,则 k = ( ) 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试 时 间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； 0 A． 1 B．0 C．0 或 1 D．以上都不对 n (2n2 +1) 2 2 2 2 2 2 2 （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚 ； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效 ； 7.用数学归纳法证明：1 + 2 +  + ( n −1) + n + (n −1 ) +  + 2 + 1 = 时，从 3 （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸 刀． n = k 到 n = k +1 时，等边左边应添加的式子是（ ） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有 一个是符合题目要求的 A． ( k − 1)2 + 2k 2 C. ( k + 1)2 B． ( k + 1)2 + k 2 D． ( k + 1) 2 ( k + 1) + 1 3   1.复数 2 + i 的共轭复数是( ) 1 − 2i 8．若函数 f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( ) π A． − 3 i 5 B． 3 i C． −i 5 2 . D． i A. B．0 C．钝角 D．锐角 2 9．设函数 f ( x ) 的导函 数为 f ′( x ) ，且 f ( x) = x2 + 2 xf ′(1) ，则 f ′(0) = （ ） 2.指数函数 y = ax 是增函数，而 y = ( 1 ) x 是指数函数，所以 y = ( 1 ) x 是增函数,关于上面 2 2 推理正确的说法是( ) A. 0 B．2 C． −4 D. −2 A.推理的形式错误 B.大前提是错误的 C.小前提是错误的 D.结论是正确的 10．函数 f ( x) = x + 2 cos x 在[0,π]上的极小值点为（ ） 3. f ( x) = ax3 + x2 + 2 ,若 f ′(1) = 5 ,则 a 的值等于( ) π （A） 0 （B） 6 5π （C） 6 （D）π 11 A． 1 B． 2 C. 5 D． 3 11．观察数组：（—1，1，—1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40）--------- （ an，bn，cn）则 cn 的值不可能是（ ） 4 .用反证法证明“如果 a>b，那么 3 a ＞ 3 b ”假设的内容应是 （ ） A. 3 a = 3 b B. 3 a ＜ 3 b C. 3 a = 3 b 且 3 a ＜ 3 b D. 3 a = 3 b 或 3 a ＜ 3 b A，112， B，278， C，704 D，1664 12. 若点 P 是曲线 y=x2﹣lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为（ ） 5. 函数 f ( x ) = (2x − 3) ex 的单调递增区间是（ ） 3 A．1 B． 2 C． 2 D． 3 2 （A）  −∞, 1  （B） (2, +∞) （C）  0, 1  （D）  1 , +∞  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（共 20 分）．  2   2   2        13.若复数 z = (a2 − 2a) + (a2 − a − 2)i 为纯虚数，则实数 a 的值等于 ． 4 2 = 2 2 ， 3 +3 = 3 3 ， 4 + 4 = 4 4 3 3 8 8 15 15 2  a1 + a2 +  + an  * 1 14.若数列{an }是等差数列，则数列   n (n ∈ N  ) 也是等差数列；类比上 述 20（本小题满分 12 分）在数列{an } 中， a1 = ，且前 n 项的算术平均数等于第 n 项 的 2n − 1 倍 3 性质,相应地， {bn }是正项等比数列，则也是等比数列 . （ n ∈ N∗ ）． （1）写出此数列的前 3 项； 15. 已知 2 + ，.，类比这些等式 ， （2）归纳猜想{an } 的通项公式，并加以证明． 若 7 + a = 7 a （ a, b 均为正整数），则 a + b = . b b 21（本小题满分 12 分）等差数列{ 的前 n 项和为 ， =5+ =9+3 16 .已知 a, b 为正实数，直线 y = x − a 与曲线 y = ln ( x + b ) 相切，则 a 的取值范围 是 （1）求 以及 . 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 1 + b 5 （2 ）设 = ，证明数列{}中不存在不同的三项成等比数列 17（本小题 10 分）已知复数 z1 , z 2 在复平面内对应的点分别为 A(−2,1) ， B(a,3) ，（ a ∈ R ）． （Ⅰ）若 z1 + z 2 ≤ 5 ，求 a 的值 ； 22 （本小题 12 分) 已知函数 ，其中 a∈R． （Ⅱ）若复数 · 对应的点在二、四象限的角平分线上，求 a 的值． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； 18（本小题 12 分)设函数 （1）求 a 、 b 的值； f ( x) = 2x 3 + 3ax 2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值 ． （Ⅱ）若 a＞0 直线 x﹣y﹣1=0 是曲线 y=f（x）的切线，求实数 a 的值； （Ⅲ）若 a＞0 设 g（x）=xlnx﹣x2f（x），求 g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中 e 为自然对数的底) 若对于任意的 x ∈[0, 3] ，都有 f ( x) < c 2 成立，求 c 的取值范围。 .19（本小题 12 分）设函数 f(x)＝ax－ b 曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 ， x 7x－4y－12＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成三角形面积为 定值，并求此定值. 6 2 理科参考答案 一）选择题 1） C 由 Z= 2+i =5i=i 所以 z 为-i 13. 0 14. √a1a2 …an 15. 55 16. (0,1) 1−2i 5 设 P(x ,y )为切点，由 ẏ = 1 所以 1 =1 所以 x b=1 2） B 0 0 x0+b x0 +b 0 3） A f(ẋ )=3ax2+2x,由 f(1̇ )=5 所以 3a+2=5 所以 a=1 4） D 所以 y0 =0 又 P(x0 ,y0 )在 y=x-a 上 所以 0=x0 − a 所以 x0 a 所以 a+b=1 所以 a=1-b 又 a>0 b>0 所以 00 即 2x-1>0 所以 x>1 因为 a2 =(1−b) 2 =(b+1)+ 4 -4 又因为 00 即 x < 1 2 又 0≤x≤ π ∴-1≤a≤5-----------------------（6）分 所以 f(x）在[0,π]、[5π,π]为增函数，f(x)在[π,5π]为减函数 6 6 6 6 11） B 由{an }为等差数列且 an =2n-3,{bn }为等比数列，且 bn =2n−1 又 Cn =an · bn 2)由 z1=-2-i-------------------------（7）分 ∴ z ·z =(-2-i)(a+3i)=(3-2a)-(a+6)i-------------------（8）分 1 2 所以 Cn =（2n-3）·2n−1 由 z=z ·z 对应的点在二、四象限的角分线上可知(3-2a)-(a+6)=0------（9）分 1 2 12） B 由 P 与 y=x2-lnx 相切且与 y=x-2 相切时 p 到 y=x-2 的距离最小 由 ẏ =2x-1 x ∴a=-1---------------------------------------（10）分 8 2 所以 2x-1=1 所以 x=1 或 x=-1（舍去）所以 y=1 所以 P（1，1）设 P 到 y=x-2 的 18. 解：（1） f ′(x) = 6x + 6ax + 3b ，---------------------------------------------------------（1）分 二）填空 x 2 距离为 d，则 d=√2 ∵函数 f ( x) 在 x = 1 及 x = 2 取得极值，则有 f ′(1) = 0 ， f ′(2) = 0 ．-------（2）分 9  3 3 3 即6 + 6a + 3b = 0 ，解得 a = −3 ， b = 4 ．--------------------------------------= -（4） 分 为 y－y0＝(1＋ 2)(x－x0)，即 y－(x0－ )＝(1＋ 2)(x－x0).----------------（6）分 0 24 + 12a + 3b = 0 x0 x x0 （2）由（1）可知， f (x) = 2x3 − 9x2 +12x + 8c ， 令 x＝0，得 y＝－ 6 ，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为(0，－ 6 )-----（8） 分 x0 x0 f ′(x) = 6x2 −18x +12 = 6(x −1)(x − 2) ．------------------------------------（5）分 令 y＝x，得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0).-----（10 ）分 1 6 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为 |－ ||2x0|＝6. 当 x ∈ (0,1) 时， f ′( x) > 0 ；---------------------------------------------------------------------------（6） 分 2 x0 当 x ∈ (1, 2) 时， f ′( x) < 0 ----------（7） 分 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为定值 ， 此定值为 6.----------------------------------------------------------------------------------（12）分 当 x ∈ (2, 3) 时， f ′( x) > 0 ．---------（8）分 20. 解：（1）由已 知 1 ， a1 + a2 + a3 + + an ，分别取 a1 = 3 = (2n − 1)an 10 n n = 2，3，4，5 ∴当 x = 1 时， f ( x) 取得极大值 f (1) = 5 + 8c ，又 f (0) = 8c ， f (3) = 9 + 8c ． 得 1 1 1 ， a = 1 (a + a ) = 1 = 1 ， a2 = a1 = = 5 3 × 5 15 3 14 1 2 5 × 7 35 则当 x ∈[0, 3] 时， f ( x) 的最大值为 f (3) = 9 + 8c -------------------------------（10） 分 1 1 1 1 ， 1 所以数列的前 3 项是： a1 = ， a2 = ，a3 = ，a4 = 63 a5 = 99 ∵对于任意的 x ∈[0, 3] ，有 f ( x) < c2 恒成立，∴ 9 + 8c < c2 ，解得 c < −1 或 c > 9 ， 3 15 35 1 -----------------（5）-- 因此 c 的取值范围为 (−∞, −1) (9, +∞) ．------------------------------------（12）分 7 19.解：(1)方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝4x－3. （2）由（1）中的分析可以猜想 an = ．---------------------（6）分 (2n − 1)(2n + 1) 下面用数学归纳法证明： ①当 n = 1 时，公式显然成立．-------------------------------------------------------（7）分 1 11 当 x＝2 时，y x   －x k x 2 2 1 b ＝ .又 f′(x)＝a＋ 2，------------------------（2）分 ②假设当 n = k 时成立，即 ak = ，那么由已知， (2k − 1)(2k + 1) 2a − b = 1 , 得 a1 + a2 + a3 + + ak + ak +1 k + 1 = (2k + 1)ak +1 ，即 a1 + a2 + a3 + + ak = (2k + 3k )ak +1 ， 于是  2 2 解得 a = 1, 故 f(x)＝x 3.------------（4 ）分 所以 (2k 2 − k)a = (2k 2 + 3k)ak +1 ，即 (2k −1)ak = (2k + 3)ak +1 ，---------------（10）分 a + 7 = 7 , b = 3,  4 4 又由归纳假设，得 (2k − 1) 1 = (2k + 3)a ， 3 (2) 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋ 2，知曲线在点 P(x0，y0)处的切线 方程 所以 ak +1 = 1 (2k + 1)(2k + 3) (2k − 1)(2k + 1) k +1 ，即当 n = k + 1 时，公式也成立．------------（12）分 12 n = 21，解：（1）设{an }的首项为 a1 由已知得 5+√2=a1 +2d 9+3√2=3a1 +3d 求得 a1 =√2+1 d=2---------（2）分 解：所以 an =2n+√2-1 Sn = 2+√2n------------------------------（4）分 （2)由 b Sn =n+√2-----------------------------------------------------（5） 分 n 假设 bn 中存在不同的三项能构成等比数列，即 an 、am 、ap 成等比 数列 所以 am 2 =an . ap 2 即(m √2) =( √2). (p √2) 所以(m2-np)+ √2[2m-(n+p)]=0----------------------------------------（7）分 因为 m、n、p 是正整数， 所以 m2-np 和 2m-(n+p)均为有理数 2) 由切线斜率 k=1= ，⇒x3=﹣ax+2a，①--------------------------（5）分 由 x﹣y﹣1=x﹣ ﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=± ．------（6）分 把 x=1 代入①得 a=1， 把 x= 代入①得 a=1，--------------------------------------------------------------------（7）分 把 x=﹣ 代入①得 a=﹣1（舍去）， 故所求实数 a 的值为 1．------------------------------------------------------------------（8）分 3) ∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）， ∴g′（x）=lnx+1﹣a，解 lnx+1﹣a=0 得 x=ea﹣1， 故 g（x）在区间（ea﹣1，+∞）上递增，在区间（0，ea﹣1）上递减，-------------（9）分 a﹣1 所以 m2-np=0 ， 2m-(n+p)=0------------------------------------------------ （9） 分 ①当 e ≤1 时，即 0＜a≤1 时，g（x）在区间上递增，其最小值为 g（1）=0；---（10） 分 所以( p)2=4np ， 所以( − p)2=0 所以 n=p 与 n≠p 矛盾------（11）分 所以数列{bn }中不存在不同的三项成等比数列-----------------------------（12） 分 ②当 1＜ea﹣1＜e 时，即 1＜a＜2 时，g（x）的最小值为 g（ea﹣1）=a﹣ea﹣1；------ （11）分 a﹣1 13 2 22: 1)①当 a=0 时 f(x)=0 为常函数------------------------------(1)分 ②当 a＞0 时 由 f(ẋ )=a·2x−x x4 令 f(ẋ )＞0 即 2x-x2 ＞0所以 0＜x＜2 ∴f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为减函数，在(0,2]上为增函数-------(2)分 ③当 a＜0 时 由 f(ẋ )=a·2x−x x4 令 f(ẋ )＜0 即 2x-x2 ＞0所以 0＜x＜2 ∴f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为增函数，在(0,2]上为减函数-------（3）分 ∴综上所述：当 a=0 时 f(x)=0 为常函数 当 a＞0 时 f(x)在(-∞,0)和（2,+∞)上为减函数，在(0,2]上为增函数 当 a＜0 时 f(x)在(-∞,0)和（2,+∞)上为增函数，在(0,2]上为减函数-----（4）分 14 ③当 e ≥e，即 a≥2 时，g（x）在区间上递减，其最小值为 g（e）=e+a﹣ae．----（12）分 ．