2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

‎2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．的实部为（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接化简得到，计算实部得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，故实部为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的化简，属于简单题.‎ ‎2．设集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别计算，，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集的运算，属于简单题.‎ ‎3．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的定义域定义得到不等式解得答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域满足，解得 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4．某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（ ）‎ A．甲景区月客流量的中位数为12950人 B．乙景区月客流量的中位数为12450人 C．甲景区月客流量的极差为3200人 D．乙景区月客流量的极差为3100人 ‎【答案】D ‎【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图的数据：‎ 甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.‎ 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.‎ ‎5．若，，则（ ）‎ A． B．6 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据得到，再利用和差公式展开得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∴∴.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6．执行下边的程序框图，若输入的的值为5，则输出的的值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序框图依次计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 执行程序框图：依次为，，，，∵‎ ‎∴输出的的值为4.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力.‎ ‎7．函数的零点所在的区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别计算，，根据零点存在定理得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，，且为增函数 故的零点所在的区间为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的关键.‎ ‎8．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点（不含端点），且满足勾股定理.则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由等面积得，利用向量几何意义求解即可 ‎【详解】‎ 由等面积法可得，依题意可得，，则在上的投影为，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题 ‎9．已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）‎ A．16 B．19 C．20 D．25‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用，，成等比数列求解 ‎【详解】‎ 因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题 ‎10．已知函数，则的图象的对称中心为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简得到，取，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 令，得 则的图象的对称中心为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变换，三角函数对称中心，化简得到是解题的关键.‎ ‎11．已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立，然后分离变量，得，求出的最小值，就能确定m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为，所以．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键.‎ ‎12．函数在上单调递增，且为奇函数.当时，，且，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】计算，，判断函数在上单调递增，将不等式变换为，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，则.‎ ‎，所以 ‎.‎ 在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.‎ 所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ 二、填空题 ‎13．的展开式中的系数为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 的展开式中：，取得的系数为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14．某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型，意在考查学生对于几何概型的掌握情况.‎ ‎15．现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是___________.‎ ‎①若，则的最大值为；‎ ‎②若，，是等差数列的前项，则；‎ ‎③“”的一个必要不充分条件是“”；‎ ‎④“，”的否定为“，”.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】①根据基本不等式判断；②利用等差中项先计算出公差，即可求解出的值；③根据“小推大”的原则去推导属于相应的何种条件；④含一个量词的命题的否定方法：改量词，否结论，由此进行判断.‎ ‎【详解】‎ ‎①若，则，，‎ 当且仅当时，等号成立，所以①正确；‎ ‎②若，，是等差数列的前项，则，‎ 所以，所以②不正确；‎ ‎③因为，所以“”能推出“”，但是“”‎ 不能推出“”，所示“”的一个充分不必要条件是“”，所以③不正确；‎ ‎④因为特称命题的否定是全称命题，否定含一个量词的命题时，注意修改量词，否定结论.所以④正确.‎ 故所有正确结论的编号是①④.‎ 故答案为：①④.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的综合判断，难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时，注意说明取等号的条件；(2)注意区分“是的必要不充分条件”、“的必要不充分条件是”这两者的区别.‎ ‎16．在中，，，则当的面积取得最大值时，边上的高为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如图所示：以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，设，整理得，得到面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，如图所示：‎ 则，，因为，所以 设，则，整理得 则当面积取得最大值时，的坐标为，则边上的高为.‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形面积的最值问题，建立坐标系是解题的关键，可以简化运算.‎ 三、解答题 ‎17．设，，分别为内角，，的对边，已知，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）计算，利用正弦定理得到，再根据边的大小关系得到答案.‎ ‎（2）直接利用余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以.，所以 解得或，又，所以.‎ ‎（2）由余弦定理，可得，即 解得（负根舍去），‎ 故的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.‎ ‎18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.‎ ‎（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.‎ ‎（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.‎ ‎（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；‎ ‎（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.‎ 可能用到的参考数据：取，.‎ ‎【答案】(1)60%；(2) （i）0.12 （ii） ‎ ‎【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；‎ ‎（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解 ‎【详解】‎ ‎（1）估计本科上线率为.‎ ‎（2）（i）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，‎ 则. ‎ ‎（ii）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，‎ 依题意，可得，. ‎ 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，‎ 所以，即， ‎ 解得，‎ 又，故p的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.‎ ‎19．直线：与坐标轴的交点为，，以线段为直径的圆经过点.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线：与圆交于，两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）先计算交点为，，根据得到，再计算圆心和半径得到答案 ‎（2）计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线：与坐标轴的交点为，.‎ 因为以线段为直径的圆经过点，所以，‎ 所以，解得.‎ 所以圆的圆心为线段的中点，其坐标为，半径，‎ 圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为圆心到直线：的距离为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的标准方程，弦长，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20．在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据递推公式计算，，利用等差数列公式计算得到答案.‎ ‎（2）将题目中两式相加得到，故是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，，则的公差为 故的通项公式为.‎ ‎（2），①‎ ‎，②‎ ‎①②得.‎ 又，从而是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到是解题的关键.‎ ‎21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值和的单调区间；‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.‎ ‎【答案】（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.‎ ‎【解析】（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.‎ ‎（2）讨论，两种情况，变换得到，设 ‎，求函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），由切线方程，知，，‎ 解得，.‎ 故，，‎ 由，得；由，得.‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）①当时，恒成立，则.‎ ‎②当时，恒成立等价于对恒成立.‎ 令，，.‎ 令，，‎ 则对恒成立，所以在上单调递增.‎ 又，，所以，.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，又，‎ 则，‎ 故，整数的最大值为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.‎ ‎（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，则，即.‎ 因为，，所以.‎ ‎（2）将代入，得.‎ 设，两点对应的参数分别为，，则，.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.‎ ‎（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到 ‎，解不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得，则；‎ 当时，，解得，则.‎ 综上所述：不等式的解集为.‎ ‎（2）‎ ‎，当时等号成立.‎ 若对任意，不等式恒成立，即，‎ 解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.‎