2017-2018学年辽宁省盘锦市高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 辽宁省盘锦市高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设全集U=R， 集合， ，则(CB) A= （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得：,，‎ ‎∴=，‎ ‎∴() A=‎ 故选：D 点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．‎ ‎2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．‎ ‎3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2．若复数满足，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题先计算，然后求出共轭复数根据模长公式计算即可.‎ 详解：由题可得：‎ 故选C.‎ 点睛：考查复数的出除法运算，共轭的复数，复数的模长计算，属于基础题.‎ ‎3．下列命题错误的是（　　）‎ A. 命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”‎ B. 若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题 C. “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 D. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 ‎【答案】D ‎【解析】分析：分别对选项逐一分析即可.‎ 详解：A，利用逆否命题的定义即可判断出A正确；‎ B，若为真命题，则，一真一假或，都为真，所以，至少有一个为真命题，B正确；‎ C，当时，；当得或，不一定是.‎ ‎“”是“”的充分不必要条件，C正确；‎ D，若为假命题，则，至少有一个为假命题，不表示，一定都是假命题，则D错误.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查命题真假的判断，正确判断的关键是熟练掌握复合命题真假的判断规则以及充分条件必要条件的判断规则.‎ ‎4．设函数（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出，再求出即可.‎ 详解：，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题.‎ ‎5．已知定义在上的奇函数满足，且当时时， ．则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由条件可知函数的周期,，故选B.‎ 考点：函数性质的简单应用 ‎6．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，解出即可.‎ 详解：，‎ 函数在区间单调递增，‎ ‎ 在区间上恒成立，‎ ‎，‎ 而在区间上单调递减，‎ ‎，‎ 的取值范围是.‎ 故选：C.‎ 点睛：可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，‎ 从而获得参数的取值范围 ‎7．函数的大致图像是（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于函数，且，所以函数为奇函数，排除B选项.当时，，故排除A，C.因此选D.‎ 考点：函数图象与性质.‎ ‎8．已知 ，,， ，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. [1,3]‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由等式归纳得出和的关系，从而得出关于的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出的范围.‎ 详解：由可得，‎ 恒成立，即恒成立，且，‎ ‎.‎ 令，，‎ ‎，，‎ 单调递增，‎ 当时，取得最小值，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ 点睛：若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立，只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可，利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值，从而问题得解．‎ ‎9．已知分别是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心、为半径的圆上,则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接，由三角形的中位线可得与其中一条渐近线平行，即，且，所以为等边三角形，则，则该双曲线的离心率为.故选C.‎ ‎10．设偶函数f（x）在R上存在导数，且在上,若，则实数m的取值范围为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设，则偶函数f（x）在R上存在导数，且在 上,‎ 不等式转化为： ，‎ 整理可得： ，‎ 据此可得实数m的取值范围为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎11．已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，则函数的零点个数为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，‎ 要判断函数的零点个数，则根据是定义在上的偶函数，‎ 只需要判断当x＞0时的根的个数即可，‎ 当时， ，‎ 当时， 时， ；‎ 当4＜x≤6时，2＜x-2≤4时， ，‎ 作出函数在（0，6）上的图象，由图象可知有2个根，‎ 则根据偶函数的对称性可知在上共有4个根，‎ 即函数的零点个数为4个。选B。‎ 点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 ‎(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎12．已知,若关于的方程恰好有4个不相等的实数解,则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ 当时， ， ‎ 当时，即在内为增函数 当时， ，即在内为减函数 当时， ，即在内为减函数 作出函数的图象如图所示：‎ ‎∴函数在内有个最大值 设 当时，方程有1个解 当时，方程有2个解 当时，方程有3个解 当时，方程有1个解 当时，方程有0个解 则方程等价为 ‎∵方程有两个不同的根， ‎ ‎∴当时，方程有1个解 要使方程恰好有4个不相等的实数解，则 ‎∴‎ 故选C 点睛：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，一般对于这种复合函数题目，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键，这样内层是分式型的函数，外层是二次型的，对应内外层函数找对应的根的个数即可.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设是上的偶函数, 且在上递增, 若， ，那么的取值集合是 ____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论.‎ 详解：函数是上的偶函数,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 不等式的等价于.‎ 又函数在上递增，‎ ‎，得：，‎ 解得，‎ 即的取值集合是.‎ 故答案为：.‎ 点睛：掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(2)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.‎ ‎14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.‎ 零件数x(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y(min)‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．‎ ‎【答案】68‎ ‎【解析】试题分析：设表中有一个模糊不清数据为，由表中数据得： ，由最小二乘法求得回归方程将，代入回归方程，得。‎ 考点：线性回归方程 ‎15．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由抛物线y2=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，从而得到双曲线的关于a，b 的方程，求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程。解：抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0）故双曲线的c=2，又|PF|=5，设P（m，n），则|PF|=m+2∴m+2=5，m=3，∴点P的坐标（3，±）∴a2+b2=4， 解得：a2=1，b2=3则双曲线的渐近线方程为故答案为。‎ 考点：抛物线的简单性质，双曲线的简单性质 点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，抛物线的定义等．解答的关键是学生对圆锥曲线基础知识掌握的熟练程度．‎ ‎16．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：设，，在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可.‎ 详解：设，，‎ 则，‎ 当时，，当或时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 当时，取得极小值，‎ 作出与的函数图象如图：‎ 显然当时，在上恒成立，‎ 即无正整数解，‎ 要使存在唯一的正整数，使得，显然，‎ ‎，即，‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查了函数图象以及不等式整数解的问题，关键是将问题转化为两个函数图象交点问题，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数，其中a>0．‎ ‎（Ⅰ）求证：函数f(x)在x=1处的切线经过原点；‎ ‎（Ⅱ）如果f(x)的极小值为1，求f(x)的解析式．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）．‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数的导数，得到切线的斜率，从而求出切线方程即可；‎ ‎（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值，结合题意求出a的值，从而求出的解析式.‎ 详解：（I）由已知，则，即函数在处的切线斜率为，而，因而切线方程为 即，因而经过原点；‎ ‎（II）由，得，‎ 当时，单调递减，当时，单调递增，‎ ‎∴的极小值为，由已知，显然有解 设，则，则 因而时，单调递增，时，单调递减，‎ ‎∴极大值为，因而方程有且只有一解，∴．‎ 点睛：本题考查了切线方程的问题，函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.‎ ‎18．已知函数 ‎（1）当＝3时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或．（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意利用绝对值的意义，求得不等式的解集；‎ ‎（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，由此求得的取值范围.‎ 详解：（1）当＝3时， ‎ 由绝对值的几何意义得或故不等式解集为或．‎ ‎（2）原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 故的取值范围是．‎ 点睛：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题.‎ ‎19．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数).‎ ‎(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设M(x,y)为上任意一点,求的最小值,并求相应的点M的坐标.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）当M为或时原式取得最小值1.‎ ‎【解析】试题分析：(1)将直线中的参数消去，即可得到其普通方程，在极坐标方程两边平方，由 替换即可得到圆的直角坐标方程．(2)由变换公式先写出变换后的方程为一椭圆，用椭圆的参数方程表示点代入，由三角函数知识求之即可．‎ 试题解析：（1）由，得，代入，‎ 得直线的普通方程．‎ 由，得，∴．‎ ‎（2）∵，∴的直角坐标方程为．‎ ‎∴设，则．‎ ‎∴．‎ ‎∴当，即或，上式取最小值．‎ 即当或， 的最小值为．‎ ‎【考点】1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐标与直角坐标的互化；3．大陆架参数方程的应用．‎ ‎20．海南大学某餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校新生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎(Ⅰ)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名中文系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．‎ 附：，K2＝‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析： （1）将2×2列联表中数据代入K2＝，根据结果做出结论；（2）列举出所有的的基本事件，找到“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件包含的基本事件，即可根据古典概型概率公式计算.‎ 试题解析：‎ ‎(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 ‎.‎ 由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．‎ ‎(2)从5名中文系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，‎ 其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3.‎ Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．‎ 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．‎ 事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.‎ ‎21．已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）是曲线上两点，且，为坐标原点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）面积的最大值为1.‎ ‎【解析】分析：（1）设，由伸缩变换得：，，即可得出曲线的方程；‎ ‎（2）设，，直线方程为：，与椭圆方程联立利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式即可得出.‎ 详解：（I）设，‎ 由伸缩变换得：，即曲线E的方程为.‎ ‎（II）设，，直线方程为：，‎ 联立得，‎ 故，‎ 由，得，‎ 故原点到直线的距离，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 又，‎ 当.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),;(2)实数的取值范围是.‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，分析可得且，解方程可得的值，即可得到答案；‎ ‎（2）根据题意，由（1）的结论可得，当时，恒成立等价于，设，利用导数分析即可得到答案.‎ 详解：（1）函的定义域为，‎ ‎，把代入方程中，得，‎ 即，∴，又因为，∴，‎ 故.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 当时，恒成立等价于.‎ 设，‎ 则 ，‎ 由于，‎ 当时，，则在上单调递增，‎ 恒成立.‎ 当时，设,则.则为上单调递增函数，‎ 又由.即在上存在，使得，‎ 当时，单调递减，当时，单调递增；‎ 则，不合题意，舍去.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 点睛：(1)证明f(x)>g(x)可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值．‎ ‎(2)对于F(x)＝f(x)－g(x)的最小值，不易求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明．‎