数学卷·2018届广东省汕头市潮南实验中学高二上学期10月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省汕头市潮南实验中学高二上学期10月月考数学试卷（理科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省汕头市潮南实验中学高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）‎ ‎1．设M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2﹣4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是（　　）‎ A．M=P B．M⊊P C．P⊊M D．M与P没有公共元素 ‎2．已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎4．执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．2 B．﹣3 C． D．‎ ‎5．三个数a=30.7，b=0.73，c=log30.7的大小顺序为（　　）‎ A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a ‎6．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对 ‎7．若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B B．l⊥n，m⊥n⇒l∥m C．l⊥α，l∥β⇒α⊥β D．α⊥β，l⊂α⇒l⊥β ‎8．已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣6 C． D．‎ ‎9．有以下几种说法：（l1、l2不重合）‎ ‎①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2； ‎ ‎②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数； ‎ ‎③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行； ‎ ‎④只有斜率相等的两条直线才一定平行． ‎ 以上说法中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1‎ 的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（　　）‎ A．45° B．60° C．90° D．120°‎ ‎11．若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．若直线m被两平行直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y+3=0所截得的线段长为2，则m的倾斜角可以是　　．‎ ‎①15°　　　②30°　　③45°　④60°　　⑤75°．‎ ‎14．已知矩形ABCD中AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是　　．‎ ‎15．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是　　．‎ ‎16．若x∈R，有意义且满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；‎ ‎（1）当时，求AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．‎ ‎18．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求c的值．‎ ‎19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．‎ ‎（文）（1）求证：AC⊥BF；‎ ‎（2）求证：BF⊥平面ACFD ‎（理）（1）求证：BF⊥平面ACFD ‎（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．‎ ‎20．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明++…+＜1．‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（1）证明MN∥平面PAB ‎（2）（文）求四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎（理）求二面角N﹣AM﹣C的正切值．‎ ‎22．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．‎ ‎（1）求证：对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；‎ ‎（2）设l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求l的倾斜角；‎ ‎（3）求弦AB的中点M的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省汕头市潮南实验中学高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）‎ ‎1．设M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2﹣4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是（　　）‎ A．M=P B．M⊊P C．P⊊M D．M与P没有公共元素 ‎【考点】集合的相等；子集与真子集；集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．‎ ‎【解答】解：M={x|x=a2+1，a∈N*}={2，5，10…}，P={y|y=b2﹣4b+5=（b﹣2）2+1，b∈N*}=N*，‎ 所以M⊊P．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】解出点P的具体坐标，即可求解θ的值．‎ ‎【解答】解：点P（sinπ，cosπ） 即P；‎ 它落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），‎ ‎∴‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，‎ 其底面面积S==，‎ 高h=1，‎ 故半圆锥的体积V==，‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．2 B．﹣3 C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算S的值，并在循环变量k值大于等于2016时，输出累加结果．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 S=2，k=1，S=﹣3，‎ 不满足条件k≥2016，k=2，S=﹣，‎ 不满足条件k≥2016，k=3，S=，‎ 不满足条件k≥2016，k=4，S=2，‎ 不满足条件k≥2016，k=5，S=﹣3，‎ ‎…‎ 观察规律可知，S的取值周期为4，由于2016=504×4，可得 不满足条件k≥2016，k=2016，S=2，‎ 满足条件k≥2016，满足退出循环的条件，‎ 故输出的S值为2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．三个数a=30.7，b=0.73，c=log30.7的大小顺序为（　　）‎ A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】由指数函数和对数函数的单调性，可得a，b，c的范围，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵a=30.7＞30=1，‎ ‎0＜b=0.73＜0.70=1，‎ c=log30.7＜log31=0，‎ ‎∴c＜b＜a．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对 ‎【考点】函数的零点；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据所给的等比数列的两项和方程根与系数的关系，求出a4的平方，根据条件中所给的三项都是偶数项，得出第四项是一个正数，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵a2，a6时方程x2﹣34x+64=0的两根，a2•a6=64，‎ ‎∴a42=a2•a6=64‎ ‎∴a4=±8‎ ‎∵a4与a2，a6的符号相同，‎ a2+a4=34＞0，‎ ‎∴a4=8‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B B．l⊥n，m⊥n⇒l∥m C．l⊥α，l∥β⇒α⊥β D．α⊥β，l⊂α⇒l⊥β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】运用面面平行、线面垂直的判定定理和性质定理对选项逐个分析判断．‎ ‎【解答】解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n或者异面；故A错误；‎ 对于B，l⊥n，m⊥n⇒l与m相交、平行或者异面；故B 错误；‎ 对于C，由l∥β得到过直线l的平面与平面β交于直线a，则l∥a，由l⊥α，所以a⊥α，⇒α⊥β；故C正确；‎ 对于D，α⊥β，l⊂α⇒l⊥β或者l∥β或者斜交；故D错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣6 C． D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=3，解方程求a的值．‎ ‎【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，‎ ‎∴它们的斜率相等，‎ ‎∴﹣=3‎ ‎∴a=﹣6‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．有以下几种说法：（l1、l2不重合）‎ ‎①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2； ‎ ‎②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数； ‎ ‎③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行； ‎ ‎④只有斜率相等的两条直线才一定平行． ‎ 以上说法中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用直线的平行于斜率截距的关系判断命题的真假即可．‎ ‎【解答】解：①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，l1∥l2；所以①正确； ‎ ‎②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；显然必须两条直线的斜率存在的前提下是正确的；所以②不正确； ‎ ‎③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；正确； ‎ ‎④只有斜率相等的两条直线才一定平行．不正确；当两条直线的倾斜角是90°时，直线没有斜率，但是平行．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（　　）‎ A．45° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1中求出此角即可．‎ ‎【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，‎ 且EF∥A1B、GH∥BC1，‎ 所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】判断直线与坐标轴的关系，然后判断直线与圆的位置关系即可．‎ ‎【解答】解：直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，‎ 可知k=0，‎ 当k=0时，直线y=1与圆x2+y2﹣y﹣9=0，的两个交点（﹣3，0）和（3，0）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．﹣1‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线x﹣y+3=0的距离，再由勾股定理求得切线长的最小值．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，‎ 圆心为C（2，2），半径为1，如图，‎ 直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，要使切线长的最小，‎ 则直线上的点与圆心的距离最小，‎ 由点到直线的距离公式可得，|PC|=．‎ ‎∴切线长的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．若直线m被两平行直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y+3=0所截得的线段长为2，则m的倾斜角可以是　①⑤　．‎ ‎①15°　　　②30°　　③45°　④60°　　⑤75°．‎ ‎【考点】两直线的夹角与到角问题．‎ ‎【分析】利用两平行线间的距离公式求得两两平行线间的距离，设直线m与两平行直线的夹角为θ，根据 sinθ= 求得 θ=30°，由此可得直线m的倾斜角 ‎【解答】解：两平行直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y+3=0之间的距离等于 ‎ ‎=，设直线m与两平行直线的夹角为θ，‎ 则有 sinθ==，∴θ=30°．‎ 由于两平行直线的斜率为1，故它们的倾斜角等于45°，故m的倾斜角可以是 45°±30°，故m的倾斜角可以是75°或15°，‎ 故答案为 ①⑤．‎ ‎　‎ ‎14．已知矩形ABCD中AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是　a＞6　．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质；向量语言表述线线的垂直、平行关系．‎ ‎【分析】以A点为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，根据向量垂直数量积为零建立等量关系，使方程有两个不同的根即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：以A点为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴，如图所示．‎ 设P（0，0，b），D（0，a，0），E（3，x，0）‎ PE=（3，x，﹣b），DE=（3，x﹣a，0）‎ ‎∵PE⊥DE，∴PE•DE=0，‎ ‎∴9+x（x﹣a）=0，即x2﹣ax+9=0．‎ 由题意可知方程有两个不同根，‎ ‎∵△＞0，即a2﹣4×9＞0，∴a＞6．‎ 故答案为a＞6‎ ‎　‎ ‎15．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是　﹣　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由向量的加法，可得，将其代入中，变形可得=﹣2（||﹣）2﹣，由二次函数的性质，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则，‎ 则≥﹣，‎ 即的最小值是﹣；‎ 故答案为﹣．‎ ‎　‎ ‎16．若x∈R，有意义且满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为　　．‎ ‎【考点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】令则=k，则y=kx，代入x2+y2﹣4x+1=0，可得（1+k2）x2﹣4x+1=0，利用△=16﹣4（1+k2）≥0，可得结论．‎ ‎【解答】解：令=k，则y=kx，代入x2+y2﹣4x+1=0，‎ 可得（1+k2）x2﹣4x+1=0，△=16﹣4（1+k2）≥0，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最大值为；‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；‎ ‎（1）当时，求AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）根据直线的倾斜角求出斜率．因为直线AB过P0（﹣1，2），可表示出直线AB的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，根据勾股定理求出弦的一半，乘以2得到弦AB的长；‎ ‎（2）因为弦AB被点P0平分，先求出OP0的斜率，然后根据垂径定理得到OP0⊥AB，由垂直得到两条直线斜率乘积为﹣1，求出直线AB的斜率，然后写出直线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）直线AB的斜率k=tan=﹣1，‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0‎ ‎∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d==‎ ‎∴弦长|AB|=2=2=．‎ ‎（2）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，‎ ‎∴OP0⊥AB 又==﹣2，∴kAB=‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求c的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（ I）由正弦定理得，结合二倍角公式及sinA≠0即可得解．‎ ‎（ II）由（ I）可求sinA，又根据∠B=2∠A，可求cosB，可求sinB，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC，利用正弦定理即可得解．‎ ‎【解答】解：（ I）因为a=3，b=2，∠B=2∠A．‎ 所以在△ABC中，由正弦定理得．‎ 所以．‎ 故．‎ ‎（ II）由（ I）知，‎ 所以．‎ 又因为∠B=2∠A，‎ 所以．‎ 所以．‎ 在△ABC中，．‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．‎ ‎（文）（1）求证：AC⊥BF；‎ ‎（2）求证：BF⊥平面ACFD ‎（理）（1）求证：BF⊥平面ACFD ‎（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】文（1）过F作FG⊥BC，垂足为G，则FG⊥平面ABC，故FG⊥AC，结合AC⊥BC得出AC⊥平面BCFE，于是AC⊥BF；‎ ‎（2）利用勾股定理计算BF，得出BF⊥FC，结合AC⊥BF得出BF⊥平面ACFD；‎ 理（1）参考文（1），（2）即可；‎ ‎（2）∠BDF为直线BD与平面ACFD所成角，在Rt△BDF中计算cos∠BDF．‎ ‎【解答】解：（文）（1）过F作FG⊥BC，垂足为G，‎ ‎∵平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC=BC，FG⊥BC，FG⊂平面BCFE，‎ ‎∴FG⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，‎ ‎∴AC⊥FG，又AC⊥BC，BC⊂平面BCFE，FG⊂平面BCFE，BC∩FG=G，‎ ‎∴AC⊥平面BCFE，又BF⊂平面BCFE，‎ ‎∴AC⊥BF．‎ ‎（2）∵四边形BCFE是等腰梯形，BE=EF=FC=1，BC=2，‎ ‎∴CG=（BC﹣EF）=，BG=，FG==，‎ ‎∴BF==，‎ ‎∴BF2+FC2=BC2，∴BF⊥FC，‎ 又BF⊥AC，FC⊂平面ACFD，AC⊂平面ACFD，AC∩FC=C，‎ ‎∴BF⊥平面ACFD．‎ ‎（理）（1）同文（2），‎ ‎（2）∵BF⊥平面ACFD，‎ ‎∴∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角，‎ ‎∵，∴DF=，BD==．‎ ‎∴cos∠BDF==，‎ 所以直线BD与平面ACFD所成的角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明++…+＜1．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．根据a1和a3的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log2（an﹣1）}的通项公式，进而求得an．‎ ‎（2）把（1）中求得的an代入++…+中，进而根据等比数列的求和公式求得++…+=1﹣原式得证．‎ ‎【解答】（I）解：设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．‎ 由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．‎ 所以log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即an=2n+1．‎ ‎（II）证明：因为==，‎ 所以++…+=+++…+==1﹣＜1，‎ 即得证．‎ ‎　‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（1）证明MN∥平面PAB ‎（2）（文）求四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎（理）求二面角N﹣AM﹣C的正切值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）证线面平行，可找线线平行，也可找面面平行．‎ ‎（2）文：在梯形ABCD中计算出△BCM的面积，四面体的高为N到平面BCM的距离，意题意，高为PA的一半，用三棱锥的体积公式求得四面体N﹣BCM的体积．‎ 理：找出二面角的平面角，解构造的直角三角形即可．‎ ‎【解答】解：（1）解法一：‎ 由已知得AM=AD=2，取BP的中点T，连接AT，TN，‎ 由N为PC 的中点，‎ 知TN∥BC，TN=BC=2 …3分 又AD∥BC，故TN平行且等于AM，‎ ‎∴四边形AMNT为平行四边形，‎ ‎∴MN∥AT 又∵AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB．…6分 解法二：‎ 取BC的中点E，连接EN，EM，则BE=2‎ 由已知得AM=AD=2，‎ ‎∴AM=BE ‎ ‎∵AD∥BC ‎∴AM平行且等于BE．‎ ‎∴四边形ABEM为平行四边形，‎ ‎∴EM∥AB …①…2分 又N，E分别为PC，BC的中点 ‎∴NE∥PB …②…3分 由①，②且EM∩NE=E，AB∩PB=B，‎ ‎∴平面MEN∥平面PBA，…5分 又 MN⊂平面MEN，‎ ‎∴MN∥平面PAB．…6分 ‎（2）（文）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，‎ ‎∴N到平面ABCD的距离为…‎ 取BC的中点E，连结AE．由AB=AC=3得AE⊥BC，AE==．‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM==． …10分 ‎∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM=×=…‎ ‎（理）过点N作AC的垂线交AC于H点，则H为AC中点，‎ ‎∴NH∥PA ‎∴NH⊥平面ABCD．‎ 过H作AD垂线，垂足为K，‎ 三垂线定理知AD⊥HK 则∠NKH为所求，‎ NH=2，KH==，所求正切值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．‎ ‎（1）求证：对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；‎ ‎（2）设l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求l的倾斜角；‎ ‎（3）求弦AB的中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）由直线系方程求得直线过定点，再由定点在圆内得结论；‎ ‎（2）由弦长及圆的半径求得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得m的值，则直线l的倾斜角可求；‎ ‎（3）设出弦AB的中点坐标，由直角三角形中的边长关系求得弦AB的中点M的轨迹．‎ ‎【解答】（1）证明：由直线l：mx﹣y+1﹣m=0，得m（x﹣1）﹣y+1=0，‎ 由，得．‎ ‎∴直线l：mx﹣y+1﹣m=0过定点P（1，1），代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，‎ 得12+（1﹣1）2=1＜5，∴点P（1，1）在圆C：x2+（y﹣1）2=5内部，‎ ‎∴对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；‎ ‎（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入圆x2+（y﹣1）2=5得：y1=﹣1，y2=3，‎ 此时|AB|=4，不满足题意；‎ ‎∴直线l的斜率存在，由|AB|=，圆的半径为，‎ 得圆心到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离为．‎ 则，解得：．‎ ‎∴直线l为或．‎ 直线l的倾斜角为60°或120°；‎ ‎（3）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，‎ ‎∴|CM|2+|MP|2=|CP|2，‎ 设M（x，y），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，‎ 化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），‎ 当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式；‎ 故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．‎