天津市七校2019届高三上学期期中联考数学（理）试卷 Word版含解析

天津市七校2019届高三上学期期中联考数学（理）试卷 Word版含解析

天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）‎ ‎2019届高三上学期期中联考数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题，共40分）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据交集的定义即可求出结果.‎ ‎【详解】集合，，则，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．‎ ‎2.已知命题：“”，则命题的否定为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．‎ ‎【详解】由全称命题的否定为特称命题可得 命题：“”的否定为，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎3.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎，‎ 则，‎ 可得“”是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．‎ ‎4.把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一条对称轴可以是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．‎ ‎【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，‎ 得到函数的图象，‎ 令，解得，‎ 故的图象的对称轴方程是，结合所给的选项，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，在平移过程中（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由 的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是．‎ ‎5.函数的单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得或，要求函数的单调递增区间，只要求解在定义域上的单调递增区间即可．‎ ‎【详解】由可得或 ‎∵在单调递增，而是增函数，‎ 由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，与对数函数相结合时需注意函数的定义域，求复合函数的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.‎ ‎6.已知函数，记，则的大小关系为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得为偶函数且在上为增函数，由对数函数及指数函数的性质比较可得，结合函数的单调性分析可得答案．‎ ‎【详解】函数，其定义域为，且，则为偶函数，‎ 当时，，则函数在上单调递增，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，则 即，则，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，指数、对数幂的大小比较，关键是分析函数的奇偶性与单调性，属于中档题.‎ ‎7.对实数，定义运算“”：设函数. 实数互不相等，且，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由新定义写出分段函数，由题意作函数的图象，由二次函数的对称轴得，由此利用函数的图象可求的范围.‎ ‎【详解】由，得，‎ 作函数的图象如下图：‎ ‎∵互不相等，且，可设，‎ ‎∵，，‎ 由图象得，且，∴，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎8.已知在平面四边形中， ，，,，，点为边上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．‎ ‎【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，‎ 过点作轴，过点作轴，‎ ‎∵，，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴，∴，，，‎ 设，∴，，，‎ ‎∴，‎ 当时，取得最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共110分）‎ 二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.已知，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式分母看做“”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴原式，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎10.已知函数若在上是增函数，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在上单调递增，得出函数在各分段单调递增，列出不等式组，即可得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】函数若在上是增函数，‎ 可得，解得，即实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，不等式组的求法，注意在临界位置函数值的大小，属于基础题．‎ ‎11.在中，为边延长线上一点且不与重合，若，则实数的取值范围是___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由是延长线上一点，根据向量的线性运算可得，结合向量共线定理得到.‎ ‎【详解】∵．‎ 又∵，∴，由题意得，‎ ‎∴，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量共线定理的应用，属于基础题.‎ ‎12.在平面四边形中，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图形在中，利用正弦定理先求出，在中利用余弦定理求出结果．‎ ‎【详解】如图所示：‎ 四边形中，，，，，，‎ 在中，利用正弦定理：，‎ 解得：，则：，‎ 在中，利用余弦定理：，‎ 解得，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎13.已知定义在上的函数在上是减函数，且是偶函数，则关于的不等式的解集为______________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得函数关于直线对称，进而可得在上为增函数，据此可得 ‎，变形可得，解可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，是偶函数，则函数关于直线对称，‎ 又由函数在上是减函数，则其在上为增函数，‎ ‎，‎ 变形可得：，即，‎ 解可得：，即不等式的解集为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查关于抽象函数的不等式问题，一元二次不等式的解法，涉及抽象函数的奇偶性与单调性的性质，充分利用数形结合思想将题意等价转化为是解题的关键，属于基础题．‎ ‎14.已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简变形，根据三角函数的性质求出的零点，根据条件得出区间内不存在整数，再根据可得为或的子集，从而得出的范围．‎ ‎【详解】 ．‎ 令，可得，．‎ 令，解得，‎ ‎∵函数在区间内没有零点，∴区间内不存在整数．‎ 又，∴，‎ 又，∴或．‎ ‎∴或，解得或．‎ ‎∴的取值范围是，故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了通过降幂公式化简三角函数，正弦函数的性质，函数零点的计算，解题的关键是将题意转化为集合间的关系，得到不等关系，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知函数 .‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将降幂公式后与辅助角公式化简可得，由周期公式求周期；（2）求出函数在区间上的单调性，再结合端点处的函数值得答案．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎,‎ ‎∴的最小正周期为.‎ ‎（2）∵在区间上是增函数，在区间上是减函数. ‎ 又,‎ ‎ ∴的最小值为，最大值为 .‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，考查型函数的图象和性质之周期与最值，属于中档题．‎ ‎16.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数只有一个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的导数，可得切线的斜率和切点，可得所求切线方程；（2）根据导数与0的关系得到函数的单调性和极值，有极大值，极小值，由数形结合可得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，， ，，‎ ‎∴ 切线方程为，即.‎ ‎（2），令，解得 随的变化，，的变化如下表 ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 当时，有极大值 当时，有极小值,‎ ‎∵函数只有一个零点,∴ 或， ‎ 即 或.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题；求切线方程的步骤：第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程，属于基础题.‎ ‎17.在平面直角坐标系中，已知向量.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据可得，结合的取值范围可得的值；（2）根据和 的夹角可求出，结合两角和的余弦公式即可得最后结果.‎ ‎【详解】（1）∵，∴ ,‎ ‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，∴ .‎ ‎（2）,‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵ ∴ ∴‎ ‎=.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及向量数量积的计算公式，两角和的余弦公式，属于中档题.‎ ‎18.已知分别为内角所对的边，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化简已知等式将边化为角，结合，可求，由可得的值；（2）由题意根据三角形面积公式可求，根据余弦定理即可求得的值．‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得， ‎ 又∵ ∴ ∴‎ ‎∴，又∵，∴ .‎ ‎（2）由题意，解得,‎ 由余弦定理得， ，，‎ 所以 ∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎19.已知函数，为自然对数的底数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在使得成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，对讨论，分为和两种情形，通过导数与0的关系可判断单调区间；（2）将题意转化为 ,，设，，求得即为所求的的范围．‎ ‎【详解】（1）的定义域为，且，‎ ‎①当时，，在上是减函数，‎ ‎②当时，时，时，‎ 在上是减函数，在上是增函数. ‎ ‎（2）由题意，即 ,，‎ 设，，， ‎ 当时，，当时，‎ ‎∴在上为增函数，在上为减函数，‎ ‎∴，∴ ，∴ ‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或能成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，属于中档题．‎ ‎20.已知函数 的极小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立，求证：.‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论；（2）求出后把用，表示，再把与作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最小值大于0，从而得到，运用同样的办法得到，最后得到要证的结论.‎ ‎【详解】（1）显然， ， 令，解得.‎ 当时，若，为减函数；‎ 若，为增函数,∴在处取得极小值， ∴ 解得 ‎ 当时与题意不符，综上，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴,∴ ，即.‎ ‎=.‎ 设，则 再设，则，在上是减函数 ‎∴，即，又 ‎∴ ，即，∴， ∴,‎ 同理可证得, ∴.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；解题的关键亦为其难点即通过构造函数和 ‎，利用函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型．‎ ‎ ‎