2020八年级数学上册第2章特殊三角形自我评价练习(新版)浙教版

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2020八年级数学上册第2章特殊三角形自我评价练习(新版)浙教版

第2章自我评价 一、选择题(每小题3分,共30分)‎ ‎1.在下列标志中,属于轴对称图形的是(B)‎ ‎2.下列四组线段能构成直角三角形的是(D)‎ A. a=1,b=2,c=3 B. a=2,b=3,c=4‎ C. a=2,b=4,c=5 D. a=3,b=4,c=5‎ ‎3.有下列命题:①同位角相等,两直线平行;②全等三角形的周长相等;③直角都相等;④等边对等角.其中逆命题是真命题的有(B)‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎4.如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=70°,则∠2的度数是(C)‎ A.20° B.35°‎ C.40° D.70°‎ ‎ (第4题)‎ ‎   (第5题)‎ ‎5.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果M是OP的中点,那么DM的长是(C)‎ A. 2     B. C.       D. 2 13‎ ‎(第6题)‎ ‎6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长,交BC于点D,则下列说法中,正确的个数是(D)‎ ‎①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.‎ A. 1  B. ‎2 ‎  C. 3  D. 4‎ ‎7.如图,将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为‎3 cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角尺的最大边长为(D)‎ A. ‎3 cm B. ‎‎6 cm C. cm D. cm ‎(第7题)‎ ‎  (第7题解)‎ ‎【解】 如解图,过点C作CD⊥AD于点D,‎ 则CD=‎3 cm.‎ 在Rt△ADC中,‎ ‎∵∠CAD=30°,∴AC=2CD=2×3=6(cm).‎ ‎∵该三角尺是含45°角的三角尺,‎ ‎∴∠BAC=90°,AB=AC=‎6 cm,‎ ‎∴BC===(cm).‎ ‎(第8题)‎ 13‎ ‎8.如图,在△ABC中,AB=AC=BD,DA=DC,则∠B的度数为(C)‎ A.22.5° B.30°‎ C.36° D.45°‎ ‎【解】 设∠B=x.‎ ‎∵AB=AC,∴∠C=∠B=x.‎ ‎∵DA=DC,∴∠DAC=∠C=x.‎ ‎∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x.‎ ‎∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x.‎ 在△ABD中,∵∠B=x,∠ADB=∠BAD=2x,‎ ‎∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,即∠B=36°.‎ ‎9.如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是线段AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,当EF+CF取得最小值时,∠ECF的度数为(C)‎ A.20°  B.25°  C.30°  D.45°‎ ‎ (第9题)‎ ‎  (第9题解)‎ ‎【解】 如解图,过点E作EM∥BC,交AB于点M,‎ 则∠AME=∠B,∠AEM=∠ACB.‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC=BC=4.‎ ‎∴∠AME=∠AEM=60°.∴AM=AE=2.‎ ‎∴BM=AB-AM=2.‎ ‎∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.‎ 13‎ ‎∵EM∥BC,∴AD⊥EM.‎ ‎∴点E和点M关于AD对称.‎ 连结CM交AD于点F,连结EF,‎ 则此时EF+CF的值最小.‎ ‎∵AC=BC,AM=BM,‎ ‎∴∠ECF=∠ACB=30°.‎ ‎10.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠ADC+∠ABC=180°,有下列结论:①CD=CB;②AD+AB=2AE;③∠ACD=∠BCE;④AB-AD=2BE.其中正确的是(C)‎ A. ②  B. ①②③‎ C. ①②④ D. ①②③④‎ 导学号:91354016‎ ‎(第10题)‎ ‎  (第10题解)‎ ‎【解】 如解图,在EA上取点F,使EF=BE,连结CF.‎ ‎∵CE⊥AB,EF=BE,‎ ‎∴CF=CB,∴∠CFB=∠B.‎ ‎∵∠AFC+∠CFB=180°,∠ADC+∠ABC=180°,∴∠D=∠AFC.‎ ‎∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠FAC.‎ 在△ACD和△ACF中,∵ ‎∴△ACD≌△ACF(AAS).‎ ‎∴AD=AF,CD=CF.∴CD=CB,故①正确.‎ 13‎ AD+AB=AF+(BE+AE)=AF+EF+AE=AE+AE=2AE,故②正确.‎ 根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE,‎ 故③错误.‎ AB-AD=AB-AF=BF=2BE,故④正确.‎ 综上所述,正确的是①②④.‎ 二、填空题(每小题3分,共30分)‎ ‎11.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线.若∠B=60°,则∠BAD=__30°__.‎ ‎,(第11题))  ,(第12题))‎ ‎12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=‎10 cm,BC=‎12 cm,则BC边上的高AD的长是__8__ cm.‎ ‎13.如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为E.若∠1=50°,则∠2的度数为__40°__.‎ ‎,(第13题))  ,(第14题))‎ ‎14.如图,在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,且它们相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,BC=10,则△OEF的周长为__10__.‎ ‎【解】 ∵OB,OC分别是∠ABC,∠ACB的平分线,‎ ‎∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO.‎ ‎∵OE∥AB,OF∥AC,‎ ‎∴∠ABO=∠BOE,∠ACO=∠COF,‎ ‎∴∠CBO=∠BOE,∠BCO=∠COF,‎ ‎∴BE=OE,OF=FC,‎ ‎∴△OEF的周长=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=10.‎ ‎(第15题)‎ ‎15.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC=__52°__.‎ 13‎ ‎【解】 ∵AC=AD=DB,‎ ‎∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C.‎ 设∠ADC=α,则∠B=∠BAD=.‎ ‎∵∠BAC=102°,∴∠DAC=102°-.‎ ‎∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°,‎ ‎∴2α+102°-=180°,‎ 解得α=52°,即∠ADC=52°.‎ ‎16.如图,已知△ABC的周长是21,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,垂足为D,且OD=3,则△ABC的面积是____.‎ ‎, (第16题))  , (第16题解))‎ ‎【解】 如解图,过点O作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E,F,连结OA.‎ 由角平分线的性质知OD=OE=OF,‎ ‎∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB·OE+BC·OD+AC·OF=(AB+BC+AC)·OD=×21×3=.‎ ‎17.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是____.‎ ‎,(第17题))  ,(第17题解))‎ ‎【解】 过点A作AD⊥BC于点D,如解图.‎ ‎∵AB=AC=5,BC=6,‎ ‎∴BD=BC=3,∴AD==4.‎ 易得当BP⊥AC时,BP有最小值.‎ 13‎ 此时AD·BC=BP·AC,‎ 得4×6=5BP,∴BP=.‎ ‎18.如图是两把完全一样的含30°角的三角尺,分别记做△ABC与△A′B′C′,现将两把三角尺重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动上面的三角尺ABC,使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上.当∠A=30°,AC=10时,两直角顶点C,C′间的距离是__5__.‎ ‎(第18题)‎ ‎  (第18题解)‎ ‎【解】 如解图,连结C′C.‎ ‎∵M是AC,A′C′的中点,AC=A′C′=10,‎ ‎∴CM=A′M=C′M=AC=5,‎ ‎∴∠A′CM=∠A′=30°,∴∠CMC′=60°.‎ ‎∴△MCC′为等边三角形.∴C′C=CM=5.‎ ‎(第19题)‎ ‎19.按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形.若第一个正方形的边长AB=1,第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1,第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=____.‎ ‎【解】 易得第一个正方形的面积为1,‎ 第一个等腰直角三角形的面积为,‎ 13‎ 第二个正方形的面积为,‎ 第二个等腰直角三角形的面积为×,‎ ‎……‎ ‎∴第n个正方形的面积为×1=,‎ 第n个等腰直角三角形的面积为×=,‎ ‎∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=+=.‎ ‎(第20题)‎ ‎20.如图,正方形ABDE,正方形CDFI,正方形EFGH的面积分别为25,9,16,△AEH,△BDC,△GFI的面积分别为S1,S2,S3,则S1+S2+S3=__18__.导学号:91354017‎ ‎【解】 过点A作AK⊥HE,交HE的延长线于点K.‎ 易得DE2=25,DE2=9,EF2=16,‎ ‎∴DE2=DF2+EF2,‎ ‎∴△DEF是直角三角形,且∠DFE=90°.‎ 易得∠AEK+∠DEK=∠DEK+∠DEF=90°,‎ ‎∴∠AEK=∠DEF.‎ 又∵AE=DE,∠K=∠DFE=90°,‎ ‎∴△AEK≌△DEF(AAS),‎ ‎∴AK=DF.‎ 又∵EH=EF,‎ ‎∴S△AHE=EH·AK=EF·DF=S△DEF.‎ 同理,S△BDC=S△GFI=S△DEF,‎ ‎∴S1+S2+S3=3S△DEF.‎ 13‎ 易得DF=3,EF=4,‎ ‎∴S△DEF=×3×4=6,‎ ‎∴S1+S2+S3=3×6=18.‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎21.(6分)如图,AD=BC,AC=BD.求证:△EAB是等腰三角形.‎ ‎(第21题)‎ ‎【解】 在△ADB和△BCA中,‎ ‎∵ ‎∴△ADB≌△BCA(SSS),‎ ‎∴∠DBA=∠CAB,‎ ‎∴△EAB是等腰三角形.‎ ‎(第22题)‎ ‎22.(6分)如图,△ABC为等边三角形,DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,垂足分别为E,F,D,则△DEF是等边三角形吗?请说明理由.‎ ‎【解】 △DEF是等边三角形.理由如下:‎ ‎∵DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠A=60°,∠ADF=∠CFE=90°,‎ ‎∴∠AFD=30°,‎ ‎∴∠DFE=180°-30°-90°=60°.‎ 同理,∠FDE=∠DEF=60°.‎ ‎∴△DEF是等边三角形.‎ 13‎ ‎(第23题)‎ ‎23.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,∠E=∠AFE,请判断EF与BC的位置关系,并说明理由.‎ ‎【解】 EF⊥BC.理由如下:‎ 过点A作AD⊥BC于点D,延长EF交BC于点G.‎ ‎∵AB=AC,AD⊥BC,‎ ‎∴∠BAC=2∠CAD.‎ 又∵∠BAC=∠E+∠AFE,∠E=∠AFE,‎ ‎∴∠BAC=2∠E,‎ ‎∴∠CAD=∠E,∴AD∥EF.‎ 又∵∠ADC=90°,∴∠EGC=90°,即EF⊥BC.‎ ‎24.(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,F为BE的中点,连结DF,CF.‎ ‎(1)如图①,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF,CF的数量关系和位置关系.‎ ‎(2)如图②,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断.‎ ‎(3)如图③,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°,若AD=1,AC=,求此时线段CF的长(直接写出结果).‎ ‎(第24题)‎ ‎【解】 (1)∵∠ACB=∠ADE=90°,F为BE的中点,‎ ‎∴DF=BF=BE,CF=BE,∴DF=CF.‎ 13‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.‎ ‎∵BF=DF,∴∠DBF=∠BDF.‎ ‎∵∠DFE=∠DBF+∠BDF,‎ ‎∴∠DFE=2∠DBF.‎ 同理,∠CFE=2∠CBF,‎ ‎∴∠DFE+∠CFE=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,∴DF⊥CF.‎ ‎(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下:‎ 如解图①,延长DF交BC于点G.‎ ‎∵∠ADE=∠ACB=90°,∴DE∥BC,‎ ‎∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.‎ ‎∵F为BE的中点,∴EF=BF,‎ ‎∴△DEF≌△GBF(AAS),‎ ‎∴DE=GB,DF=GF.‎ ‎∵AD=DE,∴AD=GB.‎ ‎∵AC=BC,∴AC-AD=BC-GB,即DC=GC.‎ ‎∵∠ACB=90°,∴△DCG是等腰直角三角形.‎ ‎∵DF=GF,∴DF=CF,DF⊥CF.‎ ‎(第24题解)‎ ‎(3)如解图②,延长DF交BA于点H.‎ ‎∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC=BC,AD=DE,∠AED=∠ABC=45°.‎ 由旋转可知∠CAE=∠BAD=∠ACB=90°,‎ ‎∴AE∥BC,‎ ‎∴∠AEB=∠CBE,∴∠DEF=∠HBF.‎ 13‎ ‎∵F是BE的中点,∴EF=BF.‎ 又∵∠DFE=∠HFB,‎ ‎∴△DEF≌△HBF(ASA),∴ED=BH.‎ ‎∵BC=AC=,∠ACB=90°,∴AB=4.‎ ‎∵BH=ED=AD=1,∴AH=3.‎ ‎∵∠BAD=90°,∴DH=,‎ ‎∴DF=,∴CF=.‎ ‎25.(10分)问题探究:‎ ‎(1)如图①,在锐角△ABC中,分别以AB,AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连结BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.‎ 深入探究:‎ ‎(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,BC=3,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,求BD的长.‎ ‎(3)如图③,在(2)的条件下,当△ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.‎ ‎(第25题)‎ 导学号:91354018‎ ‎【解】  (1)BD=CE.理由如下:‎ ‎∵∠BAE=∠CAD,‎ ‎∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,‎ 即∠EAC=∠BAD.‎ 在△EAC和△BAD中,∵ ‎∴△EAC≌△BAD(SAS),∴BD=CE.‎ ‎(2)如解图①,在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,连结EC.‎ ‎∵∠ACD=∠ADC=45°,‎ ‎∴AC=AD,∠CAD=90°,‎ 13‎ ‎∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,‎ 即∠EAC=∠BAD.‎ 在△EAC和△BAD中,∵ ‎∴△EAC≌△BAD(SAS),∴EC=BD.‎ ‎∵AE=AB=7,∴BE==.‎ 易知∠ABE=45°,又∵∠ABC=45°,‎ ‎∴∠CBE=45°+45°=90°,‎ ‎∴EC===,‎ ‎∴BD=EC=.‎ ‎(第25题解)‎ ‎(3)如解图②,在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB,交BC的延长线于点E.‎ ‎∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°.‎ 又∵∠ABC=45°,∴∠E=∠ABC=45°,‎ ‎∴AE=AB=7,∴BE==.‎ ‎∵∠ACD=∠ADC=45°,‎ ‎∴∠DAC=90°=∠BAE,‎ ‎∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC,‎ 即∠EAC=∠BAD.‎ 在△EAC和△BAD中,∵ ‎∴△EAC≌△BAD(SAS),∴EC=BD.‎ 又∵BC=3,∴BD=EC=BE-BC=-3.‎ 13‎
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