2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第4讲不等式线性规划练习

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第4讲不等式线性规划练习

第4讲　不等式、线性规划 ‎[考情分析]　不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题．(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高．‎ 热点题型分析 热点1　不等式的性质及解法 ‎1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用．‎ ‎2.一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．‎ ‎3.简单分式不等式的解法 ‎(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；‎ ‎(2)≥0(≤0)⇔ ‎1.已知a>b>0，给出下列四个不等式：‎ ‎①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为(　　)‎ A.①②③ B．①②④‎ C.①③④ D．②③④‎ 答案　A 解析　解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以①成立；‎ 由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，‎ ‎∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，所以②成立；‎ ‎∵a>b>0，∴>，‎ ‎∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0，‎ ‎∴>－，所以③成立；‎ 若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，‎ 有a3＋b3<2a2b，所以④不成立．故选A.‎ - 17 -‎ 解法二：令a＝3，b＝2，‎ 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.‎ ‎2.函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A.[0,3]‎ B.(0,3)‎ C.(－∞，0]∪[3，＋∞)‎ D.(－∞，0)∪(3，＋∞)‎ 答案　A 解析　要使函数f(x)＝有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0⇔x(x－3)≤0，解得0≤x≤3，故选A.‎ ‎3.不等式≤1的解集为(　　)‎ A.{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}‎ C.{x|10，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)‎ - 17 -‎ ‎(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2.(简记：和定积最大)‎ ‎2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：‎ ‎(1)通过变形直接利用基本不等式解决．‎ ‎(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式．常见的转化方法有：‎ ‎①若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)·1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数)；‎ ‎②x＋＝x－a＋＋a≥a＋2(x>a，b>0)．‎ ‎1.下列结论正确的是(　　)‎ A.当x>0且x≠1，lg x＋≥2‎ B.<1(x∈R)‎ C.当x>0时，＋≥2‎ D.当00时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；对于D，当0－1，则函数y＝的最小值为________．‎ - 17 -‎ 答案　9‎ 解析　∵x>－1，∴x＋1>0，∴y＝＝＝＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”(由于x>－1，故x＝－3舍去)，∴y＝的最小值为9.‎ ‎4.(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．‎ 答案　9‎ 解析　由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得acsin120°＝a×1×sin60°＋c×1×sin60°，化简得ac＝a＋c，＋＝1，因此4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，则4a＋c的最小值为9.‎ ‎1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三等——能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可．‎ ‎2.第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值．第4题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价.‎ 热点3　简单的线性规划问题 ‎1.解决线性规划问题的一般步骤 ‎(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值和最小值．‎ ‎2.常见代数式的几何意义 ‎(1)z＝Ax＋By表示与直线y＝－x＋在y轴上的截距成比例的数；‎ ‎(2)z＝(x－a)2＋(y－b)2区域内动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；‎ ‎(3)z＝表示区域内动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．‎ - 17 -‎ ‎3.求解线性规划中含参问题的基本方法 ‎(1)首先把不含参数的平面区域确定好；‎ ‎(2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．‎ ‎4.解线性规划应用问题的一般步骤 ‎(1)分析题意，设出未知量；‎ ‎(2)列出线性约束条件和目标函数；‎ ‎(3)作出可行域并利用数形结合求解；‎ ‎(4)作答．‎ 题型1　已知约束条件，求目标函数的最值 ‎1.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．‎ 答案　9‎ 解析　作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．‎ 由解得 即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.‎ ‎2.(2019·晋城一模)若x，y满足约束条件 则z＝x2＋y2－4x－6y＋13的最小值为________．‎ 答案　 解析　画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，‎ - 17 -‎ 由于z＝x2＋y2－4x－6y＋13＝(x－2)2＋(y－3)2，故z表示可行域内的点A(x，y)与定点P(2,3)间距离的平方，即z＝|PA|2.‎ 由图形可得|PA|的最小值即为点P(2，3)到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝，‎ 所以zmin＝d2＝.‎ 第1、2题易错在不能准确把握目标函数z的几何意义而不知如何变形.‎ 题型2　已知目标函数的最值求参数 ‎1.(2019·华南师大附中一模)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)‎ A. B. ‎ C．1 D．2‎ 答案　A 解析　由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)．由得B(1，－2a)．当直线2x＋y－z＝0过点B时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝，故选A.‎ ‎2.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)‎ A.3 B．2 ‎ - 17 -‎ C．－2 D．－3‎ 答案　B 解析　不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，‎ 若z＝ax＋y的最大值为4，‎ 则y＝－ax＋z截距的最大值为4.‎ ‎①若a<0，则不满足条件；‎ ‎②若a>0，当－a<－1，即a>1时，x＝2，y＝0是最优解，此时a＝2；当－a>－1，即01(舍)．故选B.‎ 第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线y＝a(x－3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z与直线y＝－ax＋z截距最值相同，易忽视关于a的正负讨论而漏解或错解.‎ 题型3　线性规划的实际应用 ‎(2019·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.‎ 答案　600‎ 解析　设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，‎ 则得即 目标函数z＝200x＋100y.‎ - 17 -‎ 作出可行域(如图阴影部分所示)．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．‎ 解方程组得点B的坐标(2,2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600.‎ ‎1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．‎ ‎2.在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等.‎ 真题自检感悟 ‎1.(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)‎ A.a1,0c>a.故选B.‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)‎ A.－15 B．－9 ‎ C．1 D．9‎ 答案　A 解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ - 17 -‎ 将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故选A.‎ ‎3.(2017·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C.[－2，2] D. 答案　A 解析　关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，‎ 即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，‎ 令g(x)＝－f(x)－.‎ 当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3‎ ‎＝－2－，‎ 当x＝时，g(x)max＝－；‎ 当x＞1时，g(x)＝－－＝－≤－2，‎ 当且仅当＝，且x＞1，即x＝时，“＝”成立，‎ 故g(x)max＝－2.‎ 综上，g(x)max＝－.‎ 令h(x)＝f(x)－，‎ - 17 -‎ 当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3‎ ‎＝2＋，‎ 当x＝时，h(x)min＝；‎ 当x＞1时，h(x)＝x＋－＝＋≥2，‎ 当且仅当＝，且x＞1，即x＝2时，“＝”成立，‎ 故h(x)min＝2.‎ 综上，h(x)min＝2.‎ 故a的取值范围为.故选A.‎ ‎4.(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．‎ 答案　 解析　由a－3b＋6＝0可知a－3b＝－6，且2a＋＝2a＋2－3b，‎ 因为对于任意x,2x>0恒成立，‎ 结合均值不等式的结论可得，‎ ‎2a＋2－3b≥2＝2＝.‎ 当且仅当即时等号成立．‎ 综上可得2a＋的最小值为.‎ 专题作业 一、选择题 ‎1.(2019·北京高考)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)‎ A.－7 B．1 ‎ C．5 D．7‎ 答案　C - 17 -‎ 解析　由|x|≤1－y，且y≥－1，得作出可行域如图阴影部分所示．设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.作直线l0：y＝－3x，并进行平移．显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.‎ ‎2.不等式≤0的解集为(　　)‎ A. B. C.∪[1，＋∞)‎ D.∪[1，＋∞)‎ 答案　A 解析　≤0⇔ 解得即－b>0且ab＝1，∴a2>ab>b2，则a>1,02，∴0<<，则<.‎ ‎∵a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，‎ ‎∴0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　)‎ A.16 B．9 ‎ C．5 D．4‎ 答案　A 解析　∵，，成等差数列，∴＋＝1.‎ ‎∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立．∴a＋9b的最小值为16，故选A.‎ ‎5.已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0)∪(4，＋∞)，则a的值是(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 答案　C 解析　由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号，所以解得a＝1，故选C.‎ ‎6.(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.a>b>c B．b>a>c C.c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　由题意结合对数函数的性质可知，‎ - 17 -‎ a＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e，据此可得，c>a>b.故选D.‎ ‎7.已知x，y>0且x＋4y＝1，则＋的最小值为(　　)‎ A.8 B．9 C．10 D．11‎ 答案　B 解析　∵x，y>0且x＋4y＝1，∴＋＝(x＋4y)＝5＋4·＋≥5＋2＝5＋4＝9，‎ 当且仅当4·＝即或(舍去)时等号成立．故选B.‎ ‎8.(2019·华大新高考联盟模拟)若实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是(　　)‎ A. B．[0,2] ‎ C. D．[0，]‎ 答案　B 解析　画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，‎ x2＋y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O点为最小值点，而A(1,1)为最大值点，故x2＋y2的取值范围是[0,2]．故选B.‎ ‎9.若x，y满足约束条件则的最大值为(　　)‎ A.1 B．－1 ‎ C．3 D．0‎ 答案　C 解析　作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.故选C.‎ - 17 -‎ ‎10.若直线l：kx－y＋1＝0上不存在满足不等式组的点(x，y)，则实数k的取值范围为(　　)‎ A.(－∞，0]∪ B. C.(－∞，0)∪ D. 答案　D 解析　实数x，y满足对应的可行域如图中阴影部分：‎ 直线l：kx－y＋1＝0可化为y＝kx＋1，故直线l过定点C(0,1)，由图可知，当直线l过的交点A(1,1)时，k＝0；当直线l过的交点B时，k＝.‎ 由此可知当01且b>1.＋＝1可变形为＝1，∴ab＝a＋b，∴ab－a－b＝0，∴(a－1)(b－1)＝1，∴a－1＝，∵a－1>0，‎ ‎∴＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时取“＝”，∴＋的最小值为6.故选C.‎ ‎12.(2019·太原模拟)已知正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[3，＋∞) B．(－∞，3]‎ C.(－∞，6] D．[6，＋∞)‎ 答案　D 解析　∵a>0，b>0，且＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b)＝10＋＋ ‎≥10＋2＝16，‎ 当且仅当＝，即a＝4，b＝12时等号成立，所以(a＋b)min＝16.‎ 若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则－x2＋4x＋18－m≤16，即m≥－x2＋4x＋2对任意实数x恒成立，‎ ‎∵－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6≤6，∴m≥6.‎ ‎∴实数m的取值范围是[6，＋∞)．故选D.‎ 二、填空题 ‎13.已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于________．‎ 答案　5‎ 解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，‎ - 17 -‎ 联立直线方程可得交点坐标为A，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，所以－＝－1，解得m＝5.‎ ‎14.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．‎ 答案　30‎ 解析　一年的总运费为6×＝(万元)．‎ 一年的总存储费用为4x万元．‎ 总运费与总存储费用的和为万元．‎ 因为＋4x≥2 ＝240，‎ 当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，‎ 所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.‎ ‎15.(2019·衡水中学检测)设满足的实数x，y所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是______________．‎ 答案　(x－1)2＋(y－3)2＝10‎ 解析　作出不等式组表示的平面区域Ω，如图阴影部分所示．则区域Ω是四边形ABCO(含内部及边界)．易知BC⊥AB，则外接圆的圆心为AC的中点，又A(0,6)，C(2,0)，则该四边形外接圆的圆心为(1,3)，半径r＝|AC|＝.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.‎ - 17 -‎ ‎16．若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．‎ 答案　3‎ 解析　x2＋y2≤1表示圆x2＋y2＝1及其内部，易得直线6－x－3y＝0与圆相离，故|6－x－3y|＝6－x－3y，当2x＋y－2≥0时，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝x－2y＋4，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z＝x－2y＋4，则可知当x＝，y＝时，zmin＝3，当2x＋y－2≤0时，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝8－3x－4y，可行域为大的弓形内部，目标函数z＝8－3x－4y，同理可知当x＝，y＝时，zmin＝3，综上所述，(|2x＋y－2|＋|6－x－3y|)min＝3.‎ - 17 -‎