2019高三数学文北师大版一轮单元评估检测6+不等式、推理与证明

2019高三数学文北师大版一轮单元评估检测6+不等式、推理与证明

单元评估检测(六)　不等式、推理与证明 ‎(120分钟　150分)‎ ‎(对应学生用书第247页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A．≥　　　　　　　 B．＋≤1‎ C．≥2 D．≤ D ‎2．(2017·新乡模拟)若集合A＝{x|x2－7x＋10＜0}，集合B＝，则A∩B＝(　　)‎ ‎ 【导学号：00090397】‎ A．(－1,3) B．(－1,5)‎ C．(2,5) D．(2,3)‎ D ‎3．已知a，b，x，y都是正实数，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系为(　　)‎ A．ab＞xy B．ab≥xy C．ab＜xy D．ab≤xy B ‎4．(2017·唐山模拟)不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是(　　)‎ A．10　　　 B．－10 ‎ C．14　　　 D．－14‎ D ‎5．(2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)‎ A．2　　　 B． ‎ C．　　　 D．2‎ B ‎6．若－1＜a＜0，则关于x的不等式(x－a)·＞0的解集是(　　)‎ A．{x|x＞a} B． C． D． C ‎7．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝(　　)‎ A．(n－m)(nd－mc) B．(nd－mc)n－m C． D． C ‎8．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的最大值为(　　)‎ A．　　　 B． ‎ C．1　　　 D． C ‎9．(2017·临汾模拟)若实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． D ‎10．当x＞0时，≥，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是(　　)‎ A．x＞0 B．x2≥0‎ C．(x－1)2≥0 D．(x＋1)2≥0‎ ‎ C ‎11．已知实数x，y满足x＞y＞0且x＋y＝，则＋的最小值为(　　)‎ A．1　　　 B．2 ‎ C．6＋4　　　 D．8＋4 ‎ C ‎12．(2017·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则(　　)‎ A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定 A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知a＞b＞0，则a，b，，四个数中最大的一个是________．‎ a ‎14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．‎ ‎4‎ ‎15．(2017·福州模拟)设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．‎ (n＋1)(n－2)‎ ‎16．已知A(－1,0)，B(0，－1)，C(a，b)三点共线，若a＞－1，b＞－1，则＋的最小值为________．‎ ‎4‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n.‎ ‎(1)证明{an}是等差数列．‎ ‎(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，试证明Tn＜. 【导学号：00090398】‎ ‎【证明】　(1)因为Sn＝2n2－n.‎ 所以a1＝S1＝1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3.‎ 对n＝1也成立．所以an＝4n－3.‎ an＋1－an＝4(n＋1)－3－4n＋3＝4，是常数．‎ 所以数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得bn＝ ‎＝ 所以Tn＝ ‎＝＜.‎ ‎18．(12分)如图1，在四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AB的中点．‎ 图1‎ 求证：(1)直线EF∥平面PBC．‎ ‎(2)平面DEF⊥平面PAB．‎ 略 ‎19．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋B．‎ ‎(1)求f(1)＋f(3)－2f(2)．‎ ‎(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.‎ ‎[解]　(1)因为f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，所以f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.‎ ‎(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则－＜f(1)＜，－＜f(2)＜，－＜f(3)＜.‎ 所以－1＜－2f(2)＜1，－1＜f(1)＋f(3)＜1，‎ 所以－2＜f(1)＋f(3)－2f(2)＜2，‎ 这与f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，‎ 所以假设错误，即所证结论成立．‎ ‎20．(12分)已知变量x，y满足条件 设z的最大值、最小值分别为M，m.‎ ‎(1)若a＞0，b＞0，且＋＝m，试求12a＋36b＋5的最小值．‎ ‎(2)若m≤a＋b≤M，试求a2＋b2的最小值．‎ ‎(1)21＋8　(2) ‎21．(12分)(2017·保定模拟)给定数列a1，a2，…，an.对i＝1,2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项(ai＋1，ai＋2，…，an)的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.‎ ‎(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值．‎ ‎(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0，证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列．‎ ‎[解]　(1)d1＝A1－B1＝3－1＝2，d2＝A2－B2＝4－1＝3，d3＝A3－B3＝7－1＝6.‎ ‎(2)由a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0，可得{an}的通项为an＝a1·qn－1且为单调递增数列．‎ 于是当k＝2,3，…，n－1时，＝＝＝q为定值．‎ 因此d1，d2，…，dn－1构成首项d1＝a1－a2，公比为q的等比数列．‎ ‎22．(12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．‎ ‎(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数解析式．‎ ‎(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润．‎ ‎(3)若x∈[10，c](10＜c≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？‎ ‎[解]　(1)由题意，设y＝a(x－15)2＋17.5(a＞0)，‎ 把x＝10，y＝20代入，得25a＝20－17.5，a＝，所以y＝(x－15)2＋17.5＝x2－3x＋40，x∈[10,25]．‎ ‎(2)设月利润为g(x)，则 g(x)＝1.6x－ ‎＝－(x2－46x＋400)‎ ‎＝－(x－23)2＋12.9，‎ 因为x∈[10,25]，所以当x＝23时，g(x)max＝12.9.‎ 即当月产量为23吨时，可获最大利润．‎ ‎(3)每吨平均成本为 ＝x＋－3≥2－3＝1.‎ 当且仅当＝，即x＝20时“＝”成立．‎ 因为x∈[10，c]，10＜c≤25，‎ 所以①当20≤c≤25时，x＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元．‎ ‎②当10＜c＜20时，＝x＋－3在[10，c]上单调递减，‎ 所以当x＝c时，min＝＋－3.‎ 故当20≤c≤25时，月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低为1万元；‎ 当10＜c＜20时，月产量为c吨时，每吨平均成本最低，最低为万元．‎