2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第三章　第2讲　导数的应用

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第三章　第2讲　导数的应用

第2讲　导数的应用 ‎[学生用书P42]‎ 一、知识梳理 ‎1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．‎ ‎2．函数的极值 ‎(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：‎ ‎①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；‎ ‎②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．‎ ‎(2)求可导函数极值的步骤 ‎①求f′(x)；‎ ‎②求方程f′(x)＝0的根；‎ ‎③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．‎ ‎3．函数的最值 ‎(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：‎ ‎①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．‎ 常用结论 ‎1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．‎ ‎2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．‎ ‎3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．‎ 二、习题改编 ‎1．(选修22P32A组T4改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)‎ A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数 B．在区间(1，3)上f(x)是减函数 C．在区间(4，5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 解析：选C.在(4，5)上f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数．‎ ‎2．(选修22P28例4改编)设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)‎ A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 解析：选D.f′(x)＝－＋＝(x>0)，‎ 当02时，f′(x)>0，所以x＝2为f(x)的极小值点．‎ ‎3．(选修22P30例5改编)函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．‎ 解析：因为y′＝1－2sin x，‎ 所以当x∈时，y′>0；‎ 当x∈时，y′<0.‎ 所以当x＝时，ymax＝＋.‎ 答案：＋ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)‎ ‎(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)‎ ‎(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)‎ ‎(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)‎ ‎(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)原函数与导函数的关系不清致误；‎ ‎(2)极值点存在的条件不清致误；‎ ‎(3)忽视函数的定义域．‎ ‎1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)‎ A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 解析：选C.导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．‎ ‎2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.‎ 因为函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，‎ 所以方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，‎ 因为当x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1.‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎3．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．‎ 解析：由f′(x)＝1－<0，得>1，即x<1，又x>0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)．‎ 答案：(0，1)‎