中考数学总复习图形相似含解析

中考数学总复习图形相似含解析

‎《图形相似》提升训练.　‎ 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（　　）‎ ‎①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．‎ A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②‎ ‎2．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（　　）‎ A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（　　）‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎5．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：‎ ‎①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎6．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④‎ ‎7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）‎ A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10‎ ‎9．如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④=，其中正确的结论是（　　）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（　　）‎ A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6‎ ‎12．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（ 2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 ‎13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论中结论正确的有（　　）‎ ‎①EG=DF；‎ ‎②∠AEH+∠ADH=180°；‎ ‎③△EHF≌△DHC；‎ ‎④若=，则S△EDH=13S△CFH．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若=，则=．其中结论正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题）‎ ‎15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为　 　cm．‎ ‎16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PH•CD；④=，其中正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）．‎ ‎17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积=　 　．‎ ‎18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是　 　．（填序号即可）‎ ‎①△BEF∽△CHE ‎②AG=1‎ ‎③EH=‎ ‎④S△BEF=3S△AGH ‎19．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点A2019的坐标为　 　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．‎ ‎（1）求证：△BFD∽△CAD；‎ ‎（2）求证：BF•DE=AB•AD．‎ ‎21．已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF．‎ ‎（1）求证：CD=CF；‎ ‎（2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；‎ ‎（3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值．‎ ‎22．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．‎ ‎（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（　　）‎ ‎（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=、AD=1、AD=时，OD的值．‎ ‎（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是　 　（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．‎ ‎23．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．‎ ‎（1）求证： =；‎ ‎（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．‎ ‎24．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．‎ ‎（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．‎ ‎①求证：△ABP∽△BCP；‎ ‎②若PA=3，PC=4，则PB=　 　．‎ ‎（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）[来源:学,科,网]‎ ‎①求∠CPD的度数；‎ ‎②求证：P点为△ABC的费马点．‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．‎ ‎（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；‎ ‎（2）以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．‎ ‎26．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．‎ ‎（1）若四边形ABCD为正方形．‎ ‎①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　 　；‎ ‎②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由．‎ ‎（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．‎ ‎①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；‎ ‎②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（　　）‎ ‎①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．‎ A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②‎ ‎【解答】解：①由折叠可得，AD=AF，DG=FG，‎ 在△ADG和△AFG中，‎ ‎∴△ADG≌△AFG（SSS），‎ ‎∴∠ADG=∠AFG，故①正确；‎ ‎②∵GF∥DC，‎ ‎∴∠EGF=∠DEG，‎ 由翻折的性质可知：GD=GF，DE=EF，∠DGE=∠EGF，‎ ‎∴∠DGE=∠DEG，‎ ‎∴GD=DE，‎ ‎∴DG=GF=DE=EF，‎ ‎∴四边形DEFG为菱形，故②正确；‎ ‎③如图所示，连接DF交AE于O，‎ ‎∵四边形DEFG为菱形，‎ ‎∴GE⊥DF，OG=OE=GE，‎ ‎∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，‎ ‎∴△DOE∽△ADE，‎ ‎∴=，即DE2=EO•AE，‎ ‎∵EO=GE，DE=DG，‎ ‎∴DG2=AE•EG，故③正确；‎ ‎④由折叠可得，AF=AD=5，‎ ‎∴Rt△ABF中，BF==3，‎ ‎∴CF=5﹣3=2，‎ 设CE=x，则DE=EF=4﹣x，‎ ‎∵Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，‎ ‎∴x2+22=（4﹣x）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴CE=，故④错误；‎ 故选：B．‎ ‎2．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（　　）‎ A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△BEG中，∠BED=45°，则GE=GB．‎ 在Rt△AFC中，∠A=45°，AC=，则AF=CF==1，‎ 在Rt△BFC中，∠ABC=30°，CF=1，则BC=2CF=2，BF=CF=，‎ 设DF=x，CE=DE=y，则BD=﹣x，‎ ‎∴△CDF∽△BDG，‎ ‎∴DG=，BG=，‎ ‎∵GE=GB，‎ ‎∴y+=，‎ ‎∴2y2+x（﹣x）=﹣x，‎ 在Rt△CDF中，∵CF2+DF2=CD2，‎ ‎∴1+x2=4y2，‎ ‎∴+x（﹣x）=﹣x，‎ 整理得：x2﹣（2+2）x+2﹣1=0，‎ 解得x=1+﹣或1+﹣（舍弃），‎ ‎∴BD=﹣x=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，‎ ‎∵EF∥BC、∠ABC=90°，‎ ‎∴FD⊥AB，‎ ‎∵EG⊥BC，‎ ‎∴四边形BDEG是矩形，‎ ‎∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，‎ ‎∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，‎ ‎∴四边形BDEG是正方形，‎ 在△DAE和△HAE中，‎ ‎∴△DAE≌△HAE（SAS），‎ ‎∴AD=AH，‎ 同理△CGE≌△CHE，‎ ‎∴CG=CH，‎ ‎∵BC===8，‎ 设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，‎ ‎∴6﹣x+8﹣x=10，‎ 解得：x=2，‎ ‎∴BD=DE=2，AD=4，‎ ‎∵DF∥BC，‎ ‎∴△ADF∽△ABC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：DF=，‎ 则EF=DF﹣DE=﹣2=．‎ 故选：C．‎ ‎4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（　　）‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC ‎∴DE∥BC ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∵DE∥BC[来源:学|科|网]‎ ‎∴∠EDC=∠DCB，‎ ‎∵∠ACD=∠ABC，‎ ‎∴△EDC∽△DCB，‎ 同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，‎ ‎∴△ABC∽△ACD，‎ ‎∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，‎ ‎∴△ADE∽△ACD ‎∴共4对 故选：D．‎ ‎5．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：‎ ‎①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，‎ ‎∴BC∥OA，BC=OA，‎ ‎∴△CDB∽△FDO，‎ ‎∵D、E为OB的三等分点，‎ ‎∴==2，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴BC=2OF，‎ ‎∴OA=2OF，‎ ‎∴F是OA的中点；‎ 所以①结论正确；‎ ‎②如图2，延长BC交y轴于H，‎ 由C（3，4）知：OH=4，CH=3，‎ ‎∴OC=5，‎ ‎∴AB=OC=5，‎ ‎∵A（8，0），‎ ‎∴OA=8，‎ ‎∴OA≠AB，‎ ‎∴∠AOB≠∠EBG，‎ ‎∴△OFD∽△BEG不成立，‎ 所以②结论不正确；‎ ‎③由①知：F为OA的中点，‎ 同理得；G是AB的中点，‎ ‎∴FG是△OAB的中位线，‎ ‎∴FG=OB，FG∥OB，‎ ‎∵OB=3DE，‎ ‎∴FG=DE，‎ 过C作CQ⊥AB于Q，如图3．‎ S▱OABC=OA•OH=AB•CQ，‎ ‎∴4×8=5CQ，‎ ‎∴CQ=，‎ S△OCF=OF•OH=×4×4=8，‎ S△CGB=BG•CQ=××=8，‎ S△AFG=×4×2=4，‎ ‎∴S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，‎ ‎∵DE∥FG，‎ ‎∴△CDE∽△CFG，‎ ‎∴=（）2=，‎ ‎∴S四边形DEGF=S△CFG=；‎ 所以③结论正确；‎ ‎④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，‎ ‎∴OB==，‎ ‎∴OD=，‎ 所以④结论不正确；‎ 本题结论正确的有：①③．‎ 故选：C．‎ ‎6．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④‎ ‎【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；‎ ‎②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，‎ ‎∵四边形PECF是矩形，‎ ‎∴OF=OC，‎ ‎∴∠OCF=∠OFC，‎ ‎∴∠OFC=∠DAP，‎ ‎∵∠DAP+∠AMD=90°，‎ ‎∴∠GFM+∠AMD=90°，‎ ‎∴∠FGM=90°，‎ ‎∴AH⊥EF．‎ ‎③正确．∵AD∥BH，‎ ‎∴∠DAP=∠H，‎ ‎∵∠DAP=∠PCM，‎ ‎∴∠PCM=∠H，‎ ‎∵∠CPM=∠HPC，‎ ‎∴△CPM∽△HPC，‎ ‎∴PC2=PM•PH，‎ 根据对称性可知：PA=PC，‎ ‎∴PA2=PM•PH．‎ ‎④正错误．∵四边形PECF是矩形，‎ ‎∴EF=PC，‎ ‎∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，‎ ‎∵AC=2，‎ ‎∴PC的最小值为1，‎ ‎∴EF的最小值为1；‎ 故选：B．‎ ‎7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，‎ ‎∴∠BCN+∠DCN=90°，‎ 又∵CN⊥DM，‎ ‎∴∠CDM+∠DCN=90°，‎ ‎∴∠BCN=∠CDM，‎ 又∵∠CBN=∠DCM=90°，‎ ‎∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；‎ 根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，‎ 又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，‎ ‎∴△OCM≌△OBN（SAS），‎ ‎∴OM=ON，∠COM=∠BON，‎ ‎∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，‎ 又∵DO=CO，‎ ‎∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；‎ ‎∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，‎ ‎∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，‎ 又∵△AOD是等腰直角三角形，‎ ‎∴△OMN∽△OAD，故③正确；‎ ‎∵AB=BC，CM=BN，‎ ‎∴BM=AN，‎ 又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，‎ ‎∴AN2+CM2=MN2，故④正确；‎ ‎∵△OCM≌△OBN，‎ ‎∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，‎ ‎∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，‎ 设BN=x=CM，则BM=2﹣x，‎ ‎∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，‎ ‎∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，‎ 此时S△OMN的最小值是1﹣=，故⑤正确；‎ 综上所述，正确结论的个数是5个，‎ 故选：D．‎ ‎8．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）‎ A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10‎ ‎【解答】解：连接EM，‎ CE：CD=CM：CA=1：3‎ ‎∴EM平行于AD ‎∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA ‎∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3‎ ‎∴AH=（3﹣）ME，‎ ‎∴AH：ME=12：5‎ ‎∴HG：GM=AH：EM=12：5‎ 设GM=5k，GH=12k，‎ ‎∵BH：HM=3：2=BH：17k ‎∴BH=K，‎ ‎∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10‎ 故选：D．‎ ‎9．如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④=，其中正确的结论是（　　）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，‎ ‎∴GF⊥AD，‎ 由折叠可得，AH=AD=2AG，∠AHE=∠D=90°，‎ ‎∴∠AHG=30°，∠EHM=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH，‎ ‎∴△EHM中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH，‎ ‎∴△MEH为等边三角形，故①正确；‎ ‎∵∠EHM=60°，HE=HF，‎ ‎∴∠HEF=30°，‎ ‎∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE⊥EF，故②正确；‎ ‎∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA，∠EPH=∠EHA=90°，‎ ‎∴△PHE∽△HAE，故③正确；‎ 设AD=2=AH，则AG=1，‎ ‎∴Rt△AGH中，GH=AG=，‎ Rt△AEH中，EH===HF，‎ ‎∴GF==AB，‎ ‎∴==，故④正确，‎ 综上所述，正确的结论是①②③④，‎ 故选：D．‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理得 AB=5，‎ ‎∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，‎ ‎∴△PBQ∽△ABC，‎ ‎∴==，即 ==‎ ‎∴PQ=x，QB=x S△APQ=PQ×AQ=+x=‎ ‎∴当x=时，△APQ的面积最大，最大值是．‎ 故选：C．‎ ‎11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（　　）‎ A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6‎ ‎【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，‎ ‎∴AD：BC=1：2；‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△AOD～△BOC，‎ ‎∵AD：BC=1：2，‎ ‎∴S△AOD：S△BOC=1：4．‎ 故选：B．‎ ‎12．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 ‎【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；‎ ‎（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；‎ ‎（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．‎ 故选：C．‎ ‎13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论中结论正确的有（　　）‎ ‎①EG=DF；‎ ‎②∠AEH+∠ADH=180°；‎ ‎③△EHF≌△DHC；‎ ‎④若=，则S△EDH=13S△CFH．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，‎ ‎∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，‎ ‎∴△CFG为等腰直角三角形，‎ ‎∴GF=FC，‎ ‎∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，‎ ‎∴EG=DF，‎ 故①正确；‎ ‎②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，‎ ‎∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，‎ 在△EHF和△DHC中，‎ ‎∴△EHF≌△DHC（SAS），‎ ‎∴∠HEF=∠HDC，‎ ‎∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，‎ 故②正确；‎ ‎③由②知：△EHF≌△DHC，‎ 故③正确；‎ ‎∴AE=2BE，‎ ‎∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，‎ ‎∴FH=GH，∠FHG=90°，‎ ‎∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，‎ 在△EGH和△DFH中，‎ ‎∴△EGH≌△DFH（SAS），‎ ‎∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，‎ ‎∴△EHD为等腰直角三角形，‎ 过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：‎ 设HM=x，则CF=2x，‎ ‎∴DF=2FC=4x，‎ ‎∴DM=5x，DH=x，CD=6x，‎ 则S△CFH=×HM×CF=•x•2x=x2，S△EDH=×DH2=×=13x2，‎ ‎∴则S△EDH=13S△CFH，故④正确；‎ 其中结论正确的有：①②③④，4个；‎ 故选：D．‎ ‎14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若=，则 ‎=．其中结论正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，‎ ‎∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，‎ ‎∴△CFG为等腰直角三角形，‎ ‎∴GF=FC，‎ ‎∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，‎ ‎∴EG=DF，故①正确；‎ ‎②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，‎ ‎∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，‎ 在△EHF和△DHC中，‎ ‎∴△EHF≌△DHC（SAS），故②正确；‎ ‎③∵△EHF≌△DHC（已证），‎ ‎∴∠HEF=∠HDC，‎ ‎∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；‎ ‎∴AE=2BE，‎ ‎∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，‎ ‎∴FH=GH，∠FHG=90°，‎ ‎∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，‎ 在△EGH和△DFH中，‎ ‎∴△EGH≌△DFH（SAS），‎ ‎∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，‎ ‎∴△EHD为等腰直角三角形，‎ 如图，过H点作HM⊥CD于M，[来源:学&科&网]‎ 设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，‎ 则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，‎ ‎∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；‎ 故选：D．‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为　（15﹣5）　cm．‎ ‎【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），‎ ‎∴AP=AB=×10=5﹣5，‎ ‎∴PB=AB﹣PA=10﹣（5﹣5）=（15﹣5）cm．‎ 故答案为（15﹣5）．‎ ‎16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PH•CD；④=，其中正确的是　①②③　（写出所有正确结论的序号）．‎ ‎【解答】解：∵PC=CD，∠PCD=30°，‎ ‎∴∠PDC=75°，‎ ‎∴∠FDP=15°，‎ ‎∵∠DBA=45°，‎ ‎∴∠PBD=15°，‎ ‎∴∠FDP=∠PBD，‎ ‎∵∠DFP=∠BPC=60°，‎ ‎∴△DFP∽△BPH，故①正确；‎ ‎∵∠DCF=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴tan∠DCF==，‎ ‎∵△DFP∽△BPH，‎ ‎∵BP=CP=CD，‎ ‎∴==，故②正确；‎ ‎∵PC=DC，∠DCP=30°，‎ ‎∴∠CDP=75°，‎ 又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，‎ ‎∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，‎ ‎∴△DPH∽△CPD，‎ ‎∴，即PD2=PH•CP，‎ 又∵CP=CD，‎ ‎∴PD2=PH•CD，故③正确；‎ 如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，‎ 设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，‎ ‎∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，‎ ‎∴∠PCD=30°‎ ‎∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，‎ ‎∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD ‎=×4×2+×2×4﹣×4×4‎ ‎=4+4﹣8‎ ‎=4﹣4，‎ ‎∴=，故④错误；‎ 故答案为：①②③．‎ ‎17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积=　7　．‎ ‎【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∵△ADE的面积为4，‎ ‎∴S△ABC=16，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，‎ 又EG=CG，‎ ‎∴△DEG≌△FCG（AAS），‎ ‎∴DE=CF，‎ ‎∴BF=3DE，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ODE∽△OFB，‎ ‎∵AD=BD，‎ ‎∴S△BDE=S△ADE=4，‎ ‎∵AE=CE=2EG，‎ ‎∴S△DEG=S△ADE=×4=2，‎ ‎∴S△ODE=S△BDE=×4=1，‎ ‎∴S△OEG=S△DEG﹣S△ODE=×4=1，‎ ‎∵S四边形DBCE=S△ABC﹣S△ADE=3×4=12，‎ ‎∴S四边形OBCG=S四边形DBCE﹣S△BDE﹣S△OEG=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是　①②③　．（填序号即可）‎ ‎①△BEF∽△CHE ‎②AG=1‎ ‎③EH=‎ ‎④S△BEF=3S△AGH ‎【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∠FEG=60°，‎ ‎∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH，‎ ‎∴△BEF∽△CHE，故①正确；‎ 又∵BC=6，E为BC中点，BF=2，‎ ‎∴，即CH=4.5，‎ 又∵AC=BC=6，‎ ‎∴AH=1.5，‎ ‎∵AG∥CE，‎ ‎∴△AGH∽△CEH，‎ ‎∴AG=CE=1，故②正确；‎ 如图，过F作FP⊥BC于P，则∠BFP=30°，[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎∴BP=BF=1，PE=3﹣1=2，PF=，‎ ‎∴Rt△EFP中，EF==，‎ 又∵，‎ ‎∴EH=EF=，故③正确；‎ ‎∵AG=CE，BF=CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，‎ ‎∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，‎ ‎∴9S△AGH=S△BEF，‎ ‎∴S△BEF=4S△AGH，故④错误；‎ 故答案为：①②③．‎ ‎19．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点A2019的坐标为　（0，32019）　‎ ‎【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，‎ ‎∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1，OB1=A1B1•cos30°=2×=，‎ ‎∴A1（0，1）．‎ ‎∵1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，‎ ‎∴OA2===3，‎ ‎∴A2（0，3）．‎ 同理可得A3（0，9）…‎ ‎∴A2019（0，32019）．‎ 故答案为：（0，32019）．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．‎ ‎（1）求证：△BFD∽△CAD；‎ ‎（2）求证：BF•DE=AB•AD．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AD2=DE•DF，‎ ‎∵∠ADF=∠EDA，‎ ‎∴△ADF∽△EDA，‎ ‎∴∠F=∠DAE，‎ 又∵∠ADB=∠CDE，‎ ‎∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，‎ 即∠BDF=∠CDA，‎ ‎∴△BFD∽△CAD；‎ ‎（2）∵△BFD∽△CAD，‎ ‎∵△BFD∽△CAD，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∴BF•DE=AB•AD．‎ ‎21．已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF．‎ ‎（1）求证：CD=CF；‎ ‎（2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；‎ ‎（3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，‎ ‎∴∠DAC=∠BAC，‎ 在△ADC和△ABC中 ‎∴△ADC≌△ABC，‎ ‎∴CD=CB，‎ ‎∵CE⊥AB，EF=EB，‎ ‎∴CF=CB，‎ ‎∴CD=CF；‎ ‎（2）解：∵△ADC≌△ABC，‎ ‎∴∠ADC=∠B，‎ ‎∵CF=CB，‎ ‎∴∠CFB=∠B，‎ ‎∴∠ADC=∠CFB，‎ ‎∴∠ADC+∠AFC=180°，‎ ‎∵四边形AFCD的内角和等于360°，‎ ‎∴∠DCF+∠DAF=180°，‎ ‎∵CD=CF，‎ ‎∴∠CDG=∠CFD，‎ ‎∵∠DCF+∠CDF+∠CFD=180°，‎ ‎∴∠DAF=∠CDF+∠CFD=2∠CDG，‎ ‎∵∠DAB=2∠DAC，‎ ‎∴∠CDG=∠DAC，‎ ‎∵∠DCG=∠ACD，‎ ‎∴△DGC∽△ADC；‎ ‎（3）解：∵△DGC∽△ADC，‎ ‎∴∠DGC=∠ADC， =，‎ ‎∵∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，‎ ‎∴∠HAG=∠DGC， =，‎ ‎∴∠HAG=∠AHG， =，‎ ‎∴HG=AG，‎ ‎∵∠GDC=∠DAC=∠FAG，∠DGC=∠AGF，‎ ‎∴△DGC∞△AGF，‎ ‎22．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．‎ ‎（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（　　）‎ ‎（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=、AD=1、AD=时，OD的值．‎ ‎（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是　113　（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．‎ ‎【解答】解：（1）∵点C是AB的中点，‎ ‎∴OC=AB，‎ ‎∴点C的运动轨迹是以O为圆心， AB长为半径的圆弧，经过的路程的圆周．‎ 故选甲．‎ ‎（2）过D作DH⊥OP于H，设DH=a，在Rt△OHD中，‎ ‎∵∠AOD=90°﹣600=300，‎ ‎∴OD=2a，OH=a，‎ ‎∵DH⊥OA，OQ⊥OA，‎ ‎∴DH∥QO，‎ 当AD=时，BD=，‎ ‎∴AH=a，‎ 在Rt△AHD中，‎ ‎∵AH2+DH2=AD2，‎ ‎∴a2+a2=，‎ 解得a=，OD=，‎ 当AD=1时，BD=1，‎ ‎∴AH=a，‎ 在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，‎ ‎∴3a2+a2=1，‎ 解得a=，OD=1，‎ 当AD=时，BD=，‎ ‎∴AH=2a，‎ 在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，‎ ‎∴12a2+a2=，‎ ‎ 解得a=，OD=．‎ ‎（3）由题意当等腰直角三角形的直角边为80cm时，斜边为≈113cm，‎ 所以这根木棒最长可以是113cm． ‎ 故答案为113cm．‎ ‎23．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．‎ ‎（1）求证： =；‎ ‎（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：∵，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，‎ ‎∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，‎ ‎∴△BCE∽△DCP，‎ ‎（2）AC∥BD，‎ 理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，‎ ‎∴∠PCE=∠BCD，‎ ‎∴△PCE∽△DCB，‎ ‎∴∠CBD=∠CEP=90°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠CBD，‎ ‎∴AC∥BD．‎ ‎24．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．‎ ‎（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．‎ ‎①求证：△ABP∽△BCP；‎ ‎②若PA=3，PC=4，则PB=　2　．‎ ‎（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）‎ ‎①求∠CPD的度数；‎ ‎②求证：P点为△ABC的费马点．‎ ‎【解答】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，‎ ‎∴∠PAB=∠PBC，‎ 又∵∠APB=∠BPC=120°，‎ ‎∴△ABP∽△BCP，‎ ‎②解：∵△ABP∽△BCP，‎ ‎∴PB2=PA•PC=12，‎ ‎∴PB=2； ‎ 故答案为：2；‎ ‎（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，‎ ‎∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，‎ ‎∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，‎ 在△ACE和△ABD中，‎ ‎∴△ACE≌△ABD（SAS），‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵∠3=∠4，‎ ‎∴∠CPD=∠6=∠5=60°；‎ ‎②证明：∵△ADF∽△CFP，‎ ‎∴AF•PF=DF•CF，‎ ‎∵∠AFP=∠CFD，‎ ‎∴△AFP∽△CDF．‎ ‎∴∠APF=∠ACD=60°，‎ ‎∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，‎ ‎∴∠BPC=120°，‎ ‎∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，‎ ‎∴P点为△ABC的费马点．‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．‎ ‎（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；‎ ‎（2）以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求；‎ ‎（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标分别为（﹣2，4），B（2，8），C（6，6）．‎ ‎26．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．‎ ‎（1）若四边形ABCD为正方形．‎ ‎①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　DF=AE　；‎ ‎②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由．‎ ‎（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．‎ ‎①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；‎ ‎②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．‎ ‎【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴△ABD为等腰直角三角形，‎ ‎∴BD=AB，‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴△BEF为等腰直角三角形，‎ BF=BE，‎ ‎∴BD﹣BF=AB﹣BE，‎ 即DF=AE，‎ 故答案为：DF=AE；‎ ‎②DF=AE．理由如下：‎ ‎∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，‎ ‎∴∠ABE=∠DBF，‎ ‎∴△ABE∽△DBF，‎ 即AE与DF的数量关系是：DF=AE；‎ ‎（2）①AE与DF的数量关系是：DF=AE；‎ 理由：在图3中，作FM⊥AD，垂足为M．‎ ‎∵∠A=∠AEF=∠AMF=90°，‎ ‎∴四边形AEFM是矩形，‎ ‎∴FM=AE，‎ ‎∵AD=BC=mAB，‎ ‎∴Rt△ABD中，BD==AB，‎ ‎∵MF∥AB，‎ ‎∴△DMF∽△ABD，‎ ‎∴DF=MF=AE；‎ ‎②AE′和DF′的数量关系：DF'=AE'．‎ 如图3，∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AD=BC=mAB，‎ ‎∴BD==AB，‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴EF∥AD，‎ ‎∴△BEF∽△BAD，‎ 如图4，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，‎ ‎∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，‎ ‎∴△ABE′∽△DBF′，‎ 即DF′=AE′．‎