北京市顺义区2020届高三下学期二模考试数学试题+PDF版含答案

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数学参考答案及评分参考 第 1 页（共 8 页） 顺义区 2020 届高三第二次统练 数学参考答案及评分参考 一、选择题（共 10题，每题 4分，共 40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B （ 7 ）D （ 8 ）B （ 9 ）A （10）D 二、填空题（共 5题，每题 5分，共 25分） （11） 2 （12） 1, Nna n n    （13） sin(2 ) 3 y x    （14） 1a   （15）②③ 注：第 14 题全部答对得 5分，只写一个答案得 3分,有错误答案得 0分；第 15 题全部选 对得 5分，不选或有错选得 0分，其他得 3分。 三、解答题（共 6题，共 85分） （16）（共 14分） 解：选①：在 ABC 中， 1cos 3 C  , 根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   -------------2 分 且 5a b  ， 3c  ，得到 29 25 2 3 abab   ------------- 6分 所以 6ab  ------------- 8 分 所以 5 6 a b ab     ，解得 2 3 a b    或 3 2 a b    -------------10 分 ∵ 1cos 3 C  数学参考答案及评分参考 第 2 页（共 8 页） ∴ 2 2sin 3 C  -------------12分 所以三角形ABC 的面积是 1 sin 2 2 2ABCS ab C   -------------14 分 选②：在 ABC 中， 1cos 3 C   , 当 1cos 3 C   时，根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   . -------------2 分 又 5a b  ， 3c  ，得到 12ab  ------------- 8 分 此时方程组 5 12 a b ab     无解. ------------- 12 分 所以这样的三角形不存在. -------------14 分 选③：在 ABC 中，因为 2 2sin , 3 C  所以 1cos 3 C   . -------------2 分 当 1cos 3 C  时，根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   -------------4 分 且 5a b  ， 3c  ，得到 29 25 2 3 abab   ------------- 6 分 所以 6ab  -------------8 分 所以 5 6 a b ab     ，解得 2 3 a b    或 3 2 a b    -------------10 分 所以三角形ABC 的面积是 1 sin 2 2 2ABCS ab C   -------------12 分 当 1cos 3 C   时，根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   , 数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 8 页） 又 5a b  ， 3c  ，得到 12ab  , 此时方程组 5 12 a b ab     无解. 所以这样的三角形不存在. ------------- 14 分 ③法二：在 ABC 中，因为 2 2 2 2( ) 25 2 2 a ba b c     , 根据余弦定理 2 2 2 cos 2 a b cC ab    ,得到 cos 0C  ------------- 2 分 因为 2 2sin , 3 C  所以 1cos 3 C  -------------4 分 根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   -------------6 分 和 5a b  ， 3c  ，得到 6ab  -------------10 分 所以 5 6 a b ab     ，解得 2 3 a b    或 3 2 a b    -------------12 分 所以三角形ABC 的面积是 1 sin 2 2 2ABCS ab C   -------------14 分 17. （共 14 分） 解：（I）取 BD中点O，联结 AO , 1CO  BD AO ， 1BD CO . -------------2 分 又 AO , 1CO 1ACO平面  1BD ACO平面 . ------------- 4 分 又 1 1AC ACO平面  1BD AC ------------- 5 分 数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 8 页） （II） 二面角 1A BD C  是直二面角  1 90C OA    1CO AO  1, ,OA OB OC 两两垂直 -------------6 分 以O为原点，如图建系：  (0,0,0)O ， (1,0,0)A ， (0,1,0)B ， (0, 1,0)D  ， 1(0,0,1)C 又 ,E F 为中点  1 1(0, , ) 2 2 E ， 1 1( ,0, ) 2 2 F  1 1( ,1, ) 2 2 DF   ， 3 1(0, , ) 2 2 DE   -------------8 分 设 ( , , )n x y z  是平面DEF 的一个法向量  1 1 0 2 2 3 1 0 2 2 DF n x y z DE n y z                  令 1y  得 3, 1z x    (1,1, 3)n    -------------11 分 又 1OC ABD平面 平面 ABD的一个法向量 1 (0,0,1)OC   -------------13 分  1 1 1 cos , n OCn OC n OC         = 3 11 11  平面DEF 与平面 ABD所成的锐二面角余弦值为 3 11 11 -------------14 分 18.（本题 15 分） 解：（I）根据甲班的统计数据可知： 甲班每天学习时间在 5 小时以上的学生频率为 0.5 0.25 0.05 0.8   -------------2 分 所以，估计高三年级每天学习时间达到 5 小时以上的学生人数 数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 8 页） 为 600 0.8 480  人 -------------4 分 （II）甲班级自主学习时长不足 4 小时的人数为： 40 0.05 2  人 乙班级自主学习时长不足 4 小时的人数为： 40 0.1 4  人 -------------6 分 X 的可能值为： 0,1,2 3 4 3 6 1( 0) 5 CP x C    , 1 2 2 4 3 6 3( 1) 5 C CP x C    , 2 1 2 4 3 6 1( 2) 5 C CP x C    -------------9 分 ∴的分布列为： X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 ∴ X 的数学期望为 1 3 1( ) 0 1 2 1 5 5 5 E x        -------------12 分 (III) D D甲 乙 -------------15 分 19.（本题 14 分） （I） 1a  时， 2( ) xf x e x  ． ( ) 2xf x e x   （或在这里求的 ( ) 2xf x e ax   也可以）． -------------2 分 ∴ 0(0) 0 1f e   ， 0(0) 0 1k f e    ． -------------4 分 所求切线方程为 1y x  ---------------5 分 （II）方法一： ( ) 2xf x e ax   . 若 2( ) xf x e x  在 (0, ) 上单调递增，则对任意 (0, )x  ，都有 ( ) 0f x  -------6 分 即 2 xea x  恒成立，等价于 min( ) 2 xea x  ． ----------------7 分 设 ( ) 2 xeg x x  ，则 2 ( 1)( ) 2 xe xg x x   ， ---------------8 分 令 ( ) 0g x  得 1x  数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 8 页） 当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 (0,1)上单调递减； 当 (1, )x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 (1, ) 上单调递增， 所以函数 ( )g x 的最小值为 e(1) 2 g  ． ------------------11 分 所以 , 2 ea      ． ------------------12 分 方法二： ( ) 2xf x e ax   ． 若 2( ) xf x e x  在 (0, ) 上单调递增，则对任意 (0, )x  ，都有 ( ) 0f x  --------6 分 等价于 min( ( )) 0f x  ． 设 ( ) 2xh x e ax  ， ( ) 2xh x e a   ． 当 (0, )x  时， 1xe  ----------------7 分 分类讨论：①当 2 1a  ，即 1 2 a  时， ( ) 0h x  恒成立， 所以 ( ) 2xh x e ax  在 (0, )x  上单调递增， 那么 ( ) (0) 1h x h  ， 所以 1 2 a  时，满足 ( ) 0f x  ． -------------------8 分 ②当 2 1a  ，即 1 2 a  时，令 ( ) 2 0xh x e a    ，得 ln 2x a ． 当 (0, ln 2 )x a 时， ( ) 0h x  ， ( )h x 在 (0, ln 2 )x a 上单调递减； 当 (ln 2 , )x a  时， ( ) 0h x  ， ( )h x 在 (ln 2 , )x a  上单调递增； 所以函数 ( )h x 的最小值为 (ln 2 ) 2 (1 ln 2 )h a a a  ----------------10 分 由 2 (1 ln 2 ) 0a a  解得 2 ea  ，所以 1 2 2 ea  ． -------------------11 分 综上： , 2 ea      ． --------------------12 分 （III） 2 个 -------------------14 分 数学参考答案及评分参考 第 7 页（共 8 页） 20. （本题 14 分） （I）由题意得 2 2 2 2 2 2 c a a b c       解得 2, 3, 1a b c   ---------------------3 分 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 3 x y   ． -------------------5 分 （II） (1,0)F ， ( 2,0)A  ，直线 l 的方程为 ( 1)y k x  ． ------------------6 分 由 2 2 ( 1) 3 4 12 y k x x y      得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     . 直线 l 过椭圆C的焦点，显然直线 l 椭圆C相交. 设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，则 2 1 2 2 8 3 4 kx x k    , 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k     --------------8 分 直线 AP 的方程为 1 1 ( 2) 2 yy x x    ，令 4x  ，得 1 1 6 2M yy x   ； 即 1 1 6(4, ) 2 yM x  同理： 2 2 6(4, ) 2 yN x  --------------10 分 ∴ 1 1 6(3, ) 2 yFM x    ， 2 2 6(3, ) 2 yFN x    又 1 2 1 2 369 ( 2)( 2) y yFM FN x x        -------------------11 分 = 1 2 1 2 36 ( 1) ( 1)9 ( 2)( 2) k x k x x x       =  2 1 2 1 2 1 2 1 2 36 ( ) 1 9 2( ) 4 k x x x x x x x x        = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 836 ( 1) 3 4 3 49 4 12 16 4 3 4 3 4 k kk k k k k k k           = 2 2 2 2 936 3 49 36 3 4 k k k k     =9 9 0  ∴以MN 为直径的圆恒过点 F . ----------------14 分 数学参考答案及评分参考 第 8 页（共 8 页） 21. （本题 14 分） 解：（I） 1 4d  ， 2 5d  ， 3 2d  ． ----------------3 分 （II）因为 1 0a  ，公比 0 1q  ， 所以 1 2, , , na a a 是递减数列． 因此，对 1, 2, , 1i n  ， 1,i i i iA a B a   ． ----------------5 分 于是对 1, 2, , 1i n  ， 1i i i i id B A a a    1 1( 1) ia q q   ． ----------------7 分 因此 0id  且 1i i d q d   （ 1,2, , 2i n  ）， 即 1 2 1, , , nd d d  是等比数列． ----------------9 分 (III) 设 d 为 1 2 1, , , nd d d    的公差，则 0d  对1 2i n ≤ ≤ ，因为 1i iB B  ， 所以 1 1 1 1i i i i i i i i i iA B d B d B d d B d A             ，即 1i iA A  ------------11 分 又因为 1 1min{ , }i i iA A a  ，所以 1 1i i i ia A A a    ． 从而 1 2 1, , , na a a  是递减数列．因此 i iA a （ 1,2, , 1i n  ）．----------------12 分 又因为 1 1 1 1 1 1+ +B A d a d a   ，所以 1 1 2 1nB a a a     ． 因此 1na B ． 所以 1 2 1n nB B B a    ． i i i i n ia A B d a d     ． 因此对 1, 2, , 2i n  都有 1 +1i i i ia a d d d      ， 即 1 2 1, , , na a a  是等差数列． ----------------14 分