数学卷·2018届福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二上学期第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二上学期第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、 连城一中高二（上） 第二次联考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.‎ ‎1．命题“∀x∈R，ex＞x2”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，使ex＞x2 B．∃x∈R，使ex＜x2‎ C．∃x∈R，使ex≤x2 D．∀x∈R，使ex≤x2‎ ‎2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2﹣bc=a2，且=，则角C的值为（　　）‎ A．45° B．60° C．90° D．120°‎ ‎3．若不等式表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）‎ A．（3，5） B．（5，7） C．[5，8] D．[5，8）‎ ‎4．下列说法正确的是（　　）‎ A．若“x=，则tanx=1”的逆命题为真命题 B．在△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞B C．函数f（x）=sinx+，x∈（0，π）的最小值为4‎ D．∃x∈R，使得sinx•cosx=‎ ‎5．在△ABC中，若，则△ABC是（　　）‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 ‎6．“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”的（　　）‎ A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎7．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=（　　）‎ A． B．6 C．5 D．‎ ‎8．已知数列{an}满足a1=，an+1=3an+1，数列{an}的前n项和为Sn，则S2016=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，则K的值是（　　）‎ A．±24 B．±6 C．24 D．6‎ ‎10．若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，4]‎ ‎11．已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|m＜x＜n}，且m＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）‎ ‎12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.‎ ‎13．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，且b=2，B=，则S△ABC=　　．‎ ‎14．正项数列{an}满足：an2+（1﹣n）an﹣n=0，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2016=　　．‎ ‎15．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为　　．‎ ‎16．下列关于圆锥曲线的命题：‎ ‎①设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹为椭圆；‎ ‎②设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=8，则|PA|的最大值为9；‎ ‎③设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|﹣|PB|=6，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．‎ 其中真命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知命题P：关于x的不等式x2+2ax+4＞0的解集为R，命题Q：函数f（x）=（5﹣2a）x为增函数．若P∨Q为真，P∧Q为假，求a的取值范围．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足cosA=， •=3．‎ ‎（1）求△ABC的面积； ‎ ‎（2）若b﹣c=3，求a的值．‎ ‎19．已知P为椭圆E： +=1（a＞b＞0）上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点．如图所示：若|OM|+|PF1|=2，离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）已知直线l经过（﹣1，）且斜率为与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值．‎ ‎20．F1，F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2：的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二，四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形．‎ ‎（1）求双曲线C2的标准方程； ‎ ‎（2）求S．‎ ‎21．已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn．点（an，Sn ‎）在函数f（x）=2x﹣1图象上．数列{bn}满足：bn=log2an+1．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若cn=，数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn+≥2恒成立．‎ ‎22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的离心率；‎ ‎（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、 连城一中高二（上） 第二次联考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.‎ ‎1．命题“∀x∈R，ex＞x2”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，使ex＞x2 B．∃x∈R，使ex＜x2‎ C．∃x∈R，使ex≤x2 D．∀x∈R，使ex≤x2‎ ‎【考点】全称命题；命题的否定．‎ ‎【分析】全称命题的否定是存在性命题．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈R，ex＞x2”的否定是 ‎∃x∈R，使ex≤x2；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2﹣bc=a2，且=，则角C的值为（　　）‎ A．45° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】把b2+c2﹣bc=a2代入余弦定理求得cosA的值，进而求得A，又根据=利用正弦定理把边换成角的正弦，根据cosA求得sinA，进而求得sinB，则B可求，最后根据三角形内角和求得C．‎ ‎【解答】解：∵b2+c2﹣bc=a2‎ ‎∴b2+c2﹣a2=bc，‎ ‎∴cosA==，‎ ‎∴A=60°．‎ 又=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴sinB=sinA=×=，‎ ‎∴B=30°，‎ ‎∴C=180°﹣A﹣B=90°．‎ 故选C ‎　‎ ‎3．若不等式表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）‎ A．（3，5） B．（5，7） C．[5，8] D．[5，8）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】根据已知的不等式组，画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围 ‎【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示，‎ 由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，‎ 则a的取值范围是：5≤a＜8．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．下列说法正确的是（　　）‎ A．若“x=，则tanx=1”的逆命题为真命题 B．在△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞B C．函数f（x）=sinx+，x∈（0，π）的最小值为4‎ D．∃x∈R，使得sinx•cosx=‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，若tanx=1，则x=kπ+；‎ B，在△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，；‎ C，函数f（x）=sinx+，x∈（0，π），当sinx=1时，f（x）有最小值为5；‎ D，sinx•cosx=＜．‎ ‎【解答】解：对于A，若tanx=1，则x=kπ+，故错；‎ 对于B，在△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，故正确；‎ 对于C，函数f（x）=sinx+，x∈（0，π），当sinx=1时，f（x）有最小值为5，故错；‎ 对于D，sinx•cosx=＜，故错．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，若，则△ABC是（　　）‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】根据二倍角的余弦函数公式化简等式的左边，然后再根据三角形的内角和为π，利用诱导公式得到cosC=﹣cos（A+B），代入化简后的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式变形后，可得cos（A﹣B）=1，由A和B都为三角形的内角，可得A﹣B=0，进而得到A与B度数相等，根据等角对等边可得三角形ABC为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：∵cosAcosB=sin2=，‎ 又cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，‎ ‎∴2cosAcosB=1﹣cosC=1﹣（﹣cosAcosB+sinAsinB）=1+cosAcosB﹣sinAsinB，‎ 移项合并得：cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，‎ 又A和B都为三角形的内角，∴A﹣B=0，即A=B，‎ ‎∴a=b，‎ 则△ABC是等腰三角形．‎ 故选B ‎　‎ ‎6．“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”的（　　）‎ A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：若函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点，‎ 若a=0，f（x）=﹣2x+1，只有1个零点，符合题意，‎ 若a≠0，则△=4﹣4a=0，解得：a=1，‎ 故“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”充分不必要条件，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=（　　）‎ A． B．6 C．5 D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的前n项和的性质，可得=， =，可得答案．‎ ‎【解答】解：根据等差数列的前n项和的性质，可得=， =，‎ 那么===5．‎ 故选C ‎　‎ ‎8．已知数列{an}满足a1=，an+1=3an+1，数列{an}的前n项和为Sn，则S2016=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用数列的递推关系式求出{}是等比数列，然后求解数列的和，推出S2016即可．‎ ‎【解答】解：数列{an}满足a1=，an+1=3an+1，‎ 可得：an+1+=3（an+），所以{}是等比数列，首项是1，公比为3，‎ S2016+1008==．‎ S2016=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．若双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，则K的值是（　　）‎ A．±24 B．±6 C．24 D．6‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的焦距，求解K即可．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，‎ 可得=3，解得k=±6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，4]‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】判断直线系经过的定点，利用直线与椭圆的位置关系判断求解即可．‎ ‎【解答】解：直线y=kx+2（k∈R）恒过（0，2）点，若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，‎ 可知得到在椭圆内部，可得m≥4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|m＜x＜n}，且m＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式．‎ ‎【分析】依题意，a＜0，m+n=﹣，mn=＞0，从而可求得b，c，代入cx2+bx+a＜0即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（m，n）（0＜m＜n），‎ ‎∴a＜0，m+n=﹣，mn=，‎ ‎∴b=﹣a（m+n），c=amn，‎ ‎∴cx2+bx+a＜0⇔amnx2﹣a（m+n）x+a＜0，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴mnx2﹣（m+n）x+1＞0，‎ 即（mx﹣1）（nx﹣1）＞0，又0＜m＜n，‎ ‎∴＞，‎ ‎∴x＞或x＜，‎ 故不等式cx2+bx+a＜0的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以=，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，‎ 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.‎ ‎13．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，且b=2，B=，则S△ABC=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用等比数列的性质可求b2=ac，结合已知利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵a，b，c成等比数列，‎ ‎∴b2=ac，‎ ‎∵b=2，B=，‎ ‎∴S△ABC=acsinB=22×=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．正项数列{an}满足：an2+（1﹣n）an﹣n=0，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2016=　　．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】通过分解因式，利用正项数列{an}，直接求数列{an}的通项公式an；利用数列的通项公式化简bn，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由正项数列{an}满足an2+（1﹣n）an﹣n=0，‎ 可得（an﹣n）（an+1）=0，‎ 所以an=n．‎ 所以bn===﹣，‎ Tn=1﹣+…+﹣=1﹣，‎ 所以T2016=1﹣=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；基本不等式．‎ ‎【分析】直接利用椭圆的离心率，求出a，b的关系代入表达式，通过基本不等式求出表达式的最小值．‎ ‎【解答】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，‎ 所以a=2c，所以4b2=3a2，‎ ‎=，当且仅当a=时取等号．‎ 所以的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．下列关于圆锥曲线的命题：‎ ‎①设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹为椭圆；‎ ‎②设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=8，则|PA|的最大值为9；‎ ‎③设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|﹣|PB|=6，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．‎ 其中真命题的序号是　②④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①，根据椭圆的定义，当8＞|AB|时是椭圆；‎ ‎②，利用椭圆的定义，求出a、c，|PA|的最大值为a+c；‎ ‎③，利用双曲线的定义判断；‎ ‎④，根据双曲线、椭圆标准方程判断．‎ ‎【解答】解：对于①，根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴故为假命题；‎ 对于②，由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=8，所以a=5，c=4，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=9，所以为真命题．‎ 对于③，设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|﹣|PB|=6，当6＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，故为假命题；‎ 对于④，双曲线﹣=1的焦点为（，0），椭圆+=1的焦点（，0），故为真命题．‎ 故答案为：②④．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知命题P：关于x的不等式x2+2ax+4＞0的解集为R，命题Q：函数f（x）=（5﹣2a）x为增函数．若P∨Q为真，P∧Q为假，求a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】求出两个命题为真命题时，a的范围，通过P∨Q为真，P∧Q为假，推出一真一假，然后求解a的范围．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 解：依题可得：由x2+2ax+4＞0的解集为R．得△=4a2﹣16＜0，‎ 即P为真时，实数a的取值范围是﹣2＜a＜2；…‎ 由函数f（x）=（5﹣2a）x为增函数，得a＜2，‎ 即Q为真时，实数a的取值范围是a＜2；…‎ 若P∨Q为真，P∧Q为假，则P、Q一真一假．…‎ 当P真Q假时，a无解．…‎ 当P假Q真时，a≤﹣2．…‎ 所以实数a的取值范围是a≤﹣2 …‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足cosA=， •=3．‎ ‎（1）求△ABC的面积； ‎ ‎（2）若b﹣c=3，求a的值．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】（1）利用cosA=， •=3，求出bc=5，sinA=，即可求△ABC的面积； ‎ ‎（2）若b﹣c=3，利用余弦定理求a的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵•=3，∴bccosA=3．…‎ ‎∵cosA=，∴bc=5，sinA=…‎ ‎∴△ABC的面积S==2…‎ ‎（2）∵b﹣c=3，…‎ ‎∴a===．…‎ ‎　‎ ‎19．已知P为椭圆E： +=1（a＞b＞0）上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点．如图所示：若|OM|+|PF1|=2，离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）已知直线l经过（﹣1，）且斜率为与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由|OM|+|PF1|=2，又|OM|=|PF2|， |PF1|+|PF2|=2，可得a．又e==，a2=b2+c2．解出即可得出．‎ ‎（Ⅱ）法一：设直线l：y﹣=（x+1），联立直线与椭圆得：x2+2x=0，解出交点坐标利用两点之间的距离公式即可得出．‎ 法二：联立方程得x2+2x=0，利用|AB|=即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由|OM|+|PF1|=2，又|OM|=|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=2，‎ ‎∴a=2．‎ 离心率e==，a2=b2+c2．‎ 解得b=1，c=．‎ 故所求的椭圆方程为=1．‎ ‎（Ⅱ）法一：设直线l：y﹣=（x+1），‎ 联立直线与椭圆得：x2+2x=0，‎ 所以，直线与椭圆相交两点坐标为（0，1），（﹣2，0）．‎ ‎∴|AB|==．‎ 法二：联立方程，得x2+2x=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣2，x1•x2=0，‎ ‎∴|AB|==．‎ ‎　‎ ‎20．F1，F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2：的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二，四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形．‎ ‎（1）求双曲线C2的标准方程； ‎ ‎（2）求S．‎ ‎【考点】圆锥曲线的综合；圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】（1）设|AF1|=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的标准方程； ‎ ‎（2）S=，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设|AF1|=x，|AF2|=y，‎ ‎∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，‎ ‎∴2a=4，b=1，c=；‎ ‎∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①‎ 又四边形AF1BF2为矩形，∴x2+y2=（2c）2=12，②‎ 由①②解得x=2﹣，y=2+‎ 设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，‎ 则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴b=1…‎ ‎∴双曲线C2的标准方程为=1； …‎ ‎（2）由（1）可得S==1．…‎ ‎　‎ ‎21．已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn．点（an，Sn）在函数f（x）=2x﹣1图象上．数列{bn}满足：bn=log2an+1．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若cn=，数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn+≥2恒成立．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用数列递推关系与对数的运算性质即可得出．‎ ‎（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式与数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：∵点（an，Sn）在函数f（x）=2x﹣1图象上，∴Sn=2an﹣1．‎ 当n=1时，a1=1．‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1）．化为an=2an﹣1．‎ ‎∴an=2n﹣1．‎ ‎∴bn=log2an+1=n．‎ ‎（2）证明：cn==，‎ ‎∴数列{cn}的前n项和Tn=1+++…+，‎ Tn=+…++，‎ 相减可得： Tn=1++…+﹣=﹣，‎ ‎∴Tn=4﹣，‎ ‎∴Tn+=4﹣≥4﹣2=2．‎ ‎∴Tn+≥2恒成立．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的离心率；‎ ‎（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，‎ 则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，‎ e===；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①‎ 由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，‎ 易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得 ‎（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=．x1x2=，‎ 由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，‎ 从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•‎ ‎==，解得b2=3，‎ 则有椭圆E的方程为+=1．‎ ‎　‎ ‎2017年4月18日