数学卷·2018届江苏省盐城市阜宁中学高二下学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届江苏省盐城市阜宁中学高二下学期期中数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年江苏省盐城市阜宁中学高二（下）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知点A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），则向量与的夹角的余弦值为　 　．‎ ‎2．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4，8）小时内的人数为　 　．‎ ‎3．阅读如图的流程图，则输出S=　 　．‎ ‎4．从5名男医生．4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，则不同的组队方案共有　 　种 （数字回答）．‎ ‎5．在集合M=的所有非空子集中任取一个集合A，恰满足条件“对任意的x∈A，∈A”的集合的概率是　 　．‎ ‎6．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为　 　（写最简分数）‎ ‎7．（理科）已知（﹣）n展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为　 　．‎ ‎8．已知随机变量ξ的概率分布规律为，其中a是常数，则的值为　 　．‎ ‎9．已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是2，则样本3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的标准差为　 　．‎ ‎10．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为　 　．‎ ‎11．已知﹣=，则C8m=　 　．‎ ‎12．若n为正偶数，则7n+C•7n﹣1+C•7n﹣2+…+C•7被9除所得的余数是　 　．‎ ‎13．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…an（x﹣1）n，其中n∈N*且an﹣2=112，a0+a1+a2+a3+…an=　 　．‎ ‎14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　 　种（用数字作答）．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎[230，235）‎ ‎8‎ ‎0.16‎ 第二组 ‎[235，240）‎ ‎①‎ ‎0.24‎ 第三组 ‎[240，245）‎ ‎15‎ ‎②‎ 第四组 ‎[245，250）‎ ‎10‎ ‎0.20‎ 第五组 ‎[250，255]‎ ‎5‎ ‎0.10‎ 合 计 ‎50‎ ‎1.00‎ ‎（1）写出表中①②位置的数据；‎ ‎（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；‎ ‎（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．‎ ‎16．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎17．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，B1C⊥AC1．‎ ‎（1）求AA1的长．‎ ‎（2）在线段BB1存在点P，使得二面角P﹣A1C﹣A大小的余弦值为，求的值．‎ ‎18．甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．‎ ‎19．4个男同学和3个女同学站成一排 ‎（1）甲乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？‎ ‎（2）甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？‎ ‎（3）女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）‎ ‎20．请阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边对x求导，得（﹣sin2x）•2=4cosx（﹣sinx），化简后得等式sin2x=2cosxsinx．‎ 利用上述方法，试由等式（x∈R，正整数n≥2），‎ ‎（1）证明：；（注：）‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）求．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省盐城市阜宁中学高二（下）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知点A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），则向量与的夹角的余弦值为　﹣　．‎ ‎【考点】M6：空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】先求出向量，，利用cos＜＞=，能求出向量与的夹角的余弦值．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），‎ ‎∴=（1，0，0），=（﹣2，﹣2，1），‎ ‎∴cos＜＞===﹣．‎ ‎∴向量与的夹角的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎2．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4，8）小时内的人数为　54　．‎ ‎【考点】B8：频率分布直方图．‎ ‎【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出这100名同学中阅读时间在[4，8）小时内的频率，从而求出频数．‎ ‎【解答】解：∵这100名同学中阅读时间在[4，8）小时内的频率为（0.12+0.15）×2=0.54，‎ ‎∴这100名同学中阅读时间在[4，8）小时内的同学为100×0.54=54．‎ 故答案为：54．‎ ‎　‎ ‎3．阅读如图的流程图，则输出S=　30　．‎ ‎【考点】E7：循环结构．‎ ‎【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出程序运行的结果是什么．‎ ‎【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，‎ 知该程序框图的运行是计算S=12+22+…+n2；‎ 当i=4+1=5＞4时，‎ S=12+22+32+42=30；‎ 输出S=30．‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ ‎4．从5名男医生．4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，则不同的组队方案共有　70　种 （数字回答）．‎ ‎【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．‎ ‎【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，‎ 两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种 间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，‎ 都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．‎ 故答案为：70．‎ ‎　‎ ‎5．在集合M=的所有非空子集中任取一个集合A，恰满足条件“对任意的x∈A，∈A”的集合的概率是　　．‎ ‎【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=25﹣1=31，再利用列举法找出满足条件“对任意的x∈A，∈A”的集合的种数，利用古典概型的概率公式求出概率即可．‎ ‎【解答】解：集合M=的所有非空子集中任取一个集合A，‎ 基本事件总数n=25﹣1=31，‎ 恰满足条件“对任意的x∈A，∈A”的集合有：{1}，{，2}，{}，‎ 共3个，‎ ‎∴满足条件“对任意的x∈A，∈A”的集合的概率p=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为　　（写最简分数）‎ ‎【考点】CF：几何概型．‎ ‎【分析】设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比 ‎【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12‎ 若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4‎ 即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，‎ 故该矩形面积小于32cm2的概率为P==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎7．（理科）已知（﹣）n展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为　﹣80　．‎ ‎【考点】DB：二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由条件求得 n=5，在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中的常数项．‎ ‎【解答】解：由题意可得 2n=32，∴n=5，‎ ‎∴（﹣）n=（﹣）5展开式的通项公式为 Tr+1=•（﹣2）r•．‎ 令=0，求得r=3，∴展开式中的常数项为•（﹣2）3=﹣80，‎ 故答案为：﹣80．‎ ‎　‎ ‎8．已知随机变量ξ的概率分布规律为，其中a是常数，则的值为　　．‎ ‎【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】利用所有概率的和为1，求出a的值，利用=P（ξ=1）+P（ξ=2），可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，由所有概率的和为1可得，∴a=‎ ‎=P（ξ=1）+P（ξ=2）===‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎9．已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是2，则样本3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的标准差为　3　．‎ ‎【考点】BC：极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据题意，设原样本的平均数为，分析可得新样本的平均数，然后利用方差的公式计算得出答案，求出标准差即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，设原样本的平均数为，‎ 即x1+x2+x3+…+xn=n，‎ 其方差为2，即×[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=2，‎ 则（3x1+2+3x2+2+3x3+2+…+3xn+2）=3+2，‎ 则样本3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的方差为 [（3x1+2﹣3﹣2）2+（3x2+2﹣3﹣2）2+…+（3xn+2﹣3﹣2）2]=9×[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=18，‎ 其标准差S==3；‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎10．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为　0.65　．‎ ‎【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出敌机被击中的概率．‎ ‎【解答】解：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，‎ 设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，‎ 由已知得P（A）=0.3，P（B）=0.5，‎ ‎∴敌机被击中的概率为：‎ p=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.3）（1﹣0.5）=0.65．‎ 故答案为：0.65．‎ ‎　‎ ‎11．已知﹣=，则C8m=　28　．‎ ‎【考点】D5：组合及组合数公式．‎ ‎【分析】根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据组合数公式，‎ 原方程可化为：﹣=×，‎ 即1﹣=×；‎ 化简可得m2﹣23m+42=0，‎ 解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）‎ 则m=2；‎ ‎∴C8m=C82=28；‎ 故答案为28．‎ ‎　‎ ‎12．若n为正偶数，则7n+C•7n﹣1+C•7n﹣2+…+C•7被9除所得的余数是　0　．‎ ‎【考点】W1：整除的定义．‎ ‎【分析】7n+Cn1•7n﹣1+Cn2•7n﹣2+…+Cnn﹣1•7=（7+1）n﹣1=（9﹣1）n﹣1，又由n为正偶数，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵7n+Cn1•7n﹣1+Cn2•7n﹣2+…+Cnn﹣1•7‎ ‎=（7+1）n﹣1‎ ‎=（9﹣1）n﹣1=9n+C•9n﹣1（﹣1）1+C•9n﹣2（﹣1）2+…+C•9•（﹣1）n﹣1+C•90•（﹣1）n﹣1，‎ 又由n为正偶数，‎ ‎∴倒数第二项C•90•（﹣1）n=1，最后一项是﹣1，而从第一项到倒数第三项，每项都能被9整除，‎ ‎∴7n+Cn1•7n﹣1+Cn2•7n﹣2+…+Cnn﹣1•7被9除所得的余数是0．‎ 故答案为：0‎ ‎　‎ ‎13．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…an（x﹣1）n，其中n∈N*且an﹣2=112，a0+a1+a2+a3+…an=　38　．‎ ‎【考点】DC：二项式定理的应用．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式，以及且an﹣2=112，求得n的值，再在所给的等式中，令x=2，可得a0+a1+a2+a3+…an的值．‎ ‎【解答】解：（x+1）n=[2+（x﹣1）]n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…an（x﹣1）n，‎ ‎∵其中n∈N*且an﹣2=•22=•4=4•=112，∴n=8，‎ 即（x+1）8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…a8（x﹣1）8，‎ 令x=2，可得a0+a1+a2+a3+…a8=38，‎ 故答案为：38．‎ ‎　‎ ‎14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　390　种（用数字作答）．‎ ‎【考点】D5：组合及组合数公式．‎ ‎【分析】由题意选出 的颜色只能是2种或3种，然后分别求出涂色方法数即可．‎ ‎【解答】解：用2色涂格子有C62×2=30种方法，‎ 用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种，第三空分两张情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有3×2（1×1+1×2）=18种，‎ 所以涂色方法18×C63=360种方法，‎ 故总共有390种方法．‎ 故答案为：390‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎[230，235）‎ ‎8‎ ‎0.16‎ 第二组 ‎[235，240）‎ ‎①‎ ‎0.24‎ 第三组 ‎[240，245）‎ ‎15‎ ‎②‎ 第四组 ‎[245，250）‎ ‎10‎ ‎0.20‎ 第五组 ‎[250，255]‎ ‎5‎ ‎0.10‎ 合 计 ‎50‎ ‎1.00‎ ‎（1）写出表中①②位置的数据；‎ ‎（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；‎ ‎（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．‎ ‎【考点】C7：等可能事件的概率；B3：分层抽样方法；B7：频率分布表．‎ ‎【分析】（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②‎ 位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，即可得答案；‎ ‎（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，抽取比例为，由第三、四、五组的人数，计算可得答案；‎ ‎（3）设（2）中选取的6人为abcdef（其中第四组的两人分别为d，e），记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，用列举法列举从6人中任取2人的所有情形，进而可得事件A所含的基本事件的种数，由等可能事件的概率，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，‎ ‎②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，‎ 故①②位置的数据分别为12、0.3； ‎ ‎（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，‎ 要求从中用分层抽样法抽取6名学生，‎ 则第三组参加考核人数为15×=3，‎ 第四组参加考核人数为10×=2，‎ 第五组参加考核人数为5×=1，‎ 故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；‎ ‎（3）设（2）中选取的6人为a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为d，e），‎ 则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种；‎ 记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．‎ 所以，‎ 故2人中至少有一名是第四组的概率为．‎ ‎　‎ ‎16．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CF：几何概型．‎ ‎【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b ‎（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．‎ ‎（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．‎ ‎【解答】解：设事件A为“方程有实根”．‎ 当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b ‎（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：‎ ‎（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）‎ 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 事件A中包含9个基本事件，‎ ‎∴事件A发生的概率为P==‎ ‎（2）由题意知本题是一个几何概型，‎ 试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}‎ 满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}‎ ‎∴所求的概率是 ‎　‎ ‎17．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，B1C⊥AC1．‎ ‎（1）求AA1的长．‎ ‎（2）在线段BB1存在点P，使得二面角P﹣A1C﹣A大小的余弦值为，求的值．‎ ‎【考点】MT：二面角的平面角及求法；L2：棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线垂直的性质定理进行求解即可．‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）以AB，AC，AA1 所在直线为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=t，‎ 则A（0，0，0），C1（0，4，t），B1（3，0，t），C（0，4，0），‎ ‎∴=（0，4，t），=（﹣3，4，﹣t），‎ ‎∵B1C⊥AC1，∴ •=0，即16﹣t2=0，解得t=4，即AA1的长为4． …3分 ‎ ‎（2）设P（3，0，m），‎ 又A（0，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，4）‎ ‎， =（0，4，﹣4），=（3，0，m﹣4），且0≤m≤4，‎ 设=（x，y，z）为平面A1CA的法向量 ‎ ‎∴=0， =0，‎ 即，取z=1，解得y=1，x=，‎ ‎∴=（，1，1）为平面PA1C的一个法向量． …6分 又知=（3，0，0）为平面A1CA的一个法向量，‎ 则cos＜，＞=‎ ‎∵二面角 大小的余弦值为，∴ =，‎ 解得m=1，‎ ‎∴=：…10分 ‎　‎ ‎18．甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C7：等可能事件的概率．‎ ‎【分析】（I）甲、乙两人考试均合格表示两个人同时合格，两个人都合格是相互独立的，做出两个人分别合格的概率，利用相互独立事件同时发生的概率得到结果．‎ ‎（II）甲答对试题数ξ依题意知ξ=0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，得到变量的概率，写出分布列．做出期望值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设甲、乙两人参加交通知识考试合格的事件分别为A、B P（A）==，‎ P（B）=．‎ ‎∵事件A、B相互独立，‎ ‎∴甲、乙两人考试均合格的概率为．‎ 即甲、乙两人考试均合格的概率为．‎ ‎（Ⅱ）甲答对试题数ξ依题意知ξ=0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴ξ的分布列如下：‎ ‎∴甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=．‎ ‎　‎ ‎19．4个男同学和3个女同学站成一排 ‎（1）甲乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？‎ ‎（2）甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？‎ ‎（3）女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）‎ ‎【考点】D3：计数原理的应用．‎ ‎【分析】（1）因为要求甲乙之间恰有3人，可以先选3人放入甲乙之间，再把这5人看做一个整体，与剩余的2个元素进行全排列，注意甲乙之间还有一个排列；‎ ‎（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中；‎ ‎（3）因为女同学从左往右按从高到低排，所以3个同学的顺序是确定的，只需先不考虑女同学的顺序，把7人进行全排列，再除以女同学的一个全排列即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）甲乙两人先排好，有种排法，再从余下的5人中选3人排在甲乙两人中间，有种排法；这时把已排好的5人看作一个整体，与最后剩下得2人再排，又有种排法这时共有=720种不同排法．‎ ‎（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人有种排法，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中，有种排法，共有=960（种）不同排法．‎ ‎（3）从7个位置中选出4个位置把男生排好，有种排法；然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法，共有=840种不同排法．‎ ‎　‎ ‎20．请阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边对x求导，得（﹣sin2x）•2=4cosx（﹣sinx），化简后得等式sin2x=2cosxsinx．‎ 利用上述方法，试由等式（x∈R，正整数n≥2），‎ ‎（1）证明：；（注：）‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）求．‎ ‎【考点】DC：二项式定理的应用．‎ ‎【分析】（1）对二项式定理的展开式两边对x求导数，移项得到恒等式．‎ ‎（2）在等式（1）中，令x=1，可得，n（2n﹣1﹣1）=•k，从而求得要求式子的值．‎ ‎（3）在（1）中的结论两边同乘x，再两边求导即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）证明：在等式（x∈‎ R，正整数n≥2）中，‎ 两边对x求导，得：n（1+x）n﹣1=+2x+3•x2+…+n•xn﹣1，‎ 移项，得：n[（1+x）n﹣1﹣1]= k••xk﹣1．‎ ‎（2）由（1）令x=1可得，n（2n﹣1﹣1）=k，‎ 令n=10，得C101+2C102+3C103+…+10C1010=10+10（29﹣1）=5120；‎ ‎（3）由（1）得n（1+x）n﹣1=+2x+3•x2+…+n•xn﹣1，‎ ‎∴nx（1+x）n﹣1=x+2x2+3•x3+…+n•xn，‎ 两边求导得n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2=+22x+32•x2+…+n2•xn﹣1，‎ 令x=1，n=10，可得：10×29+90×28=+22+32•+…+n2．‎ ‎∴12+22+32•+…+n2=10×29+90×28=10×28×（2+90）=920×28．‎