2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-3-2三角恒等变换与解三角形

2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-3-2三角恒等变换与解三角形

第二讲　三角恒等变换与解三角形 ‎ ‎ ‎[必记公式]‎ ‎1．同角三角函数之间的关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；‎ ‎(2)商数关系：tanα＝.‎ ‎2．诱导公式 ‎(1)公式：Sα＋2kπ；Sπ±α；S－α；S±α；‎ ‎(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看．‎ ‎3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；‎ ‎(3)tan(α±β)＝；‎ ‎(4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)＝cos(α＋θ)．‎ ‎4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin2α＝2sinαcosα；‎ ‎(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan2α＝.‎ ‎5．降幂公式 ‎(1)sin2α＝；‎ ‎(2)cos2α＝.‎ ‎6．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.‎ sinA＝，sinB＝，sinC＝.‎ a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.‎ ‎7．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，‎ c2＝a2＋b2－2abcosC.‎ 推论：cosA＝，cosB＝，‎ cosC＝.‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.‎ ‎8．面积公式 S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.‎ ‎[重要结论]‎ ‎1．判断三角形形状的常用结论 ‎(1)sinA＝sinB且A＋B≠π⇒等腰三角形；‎ ‎(2)sin2A＝sin2B⇒A＝B或A＋B＝⇒等腰或直角三角形；‎ ‎(3)cosA＝cosB⇒A＝B⇒等腰三角形；‎ ‎(4)cos2A＝cos2B⇒A＝B⇒等腰三角形；‎ ‎(5)sin(A－B)＝0⇒A＝B⇒等腰三角形；‎ ‎(6)A＝60°且b＝c⇒等边三角形；‎ ‎(7)A，B，C成等差数列⇔B＝60°；‎ ‎(8)a2＜b2＋c2(A为三角形中的最大角)⇒三角形为锐角三角形(A为锐角)；‎ ‎(9)a2＝b2＋c2⇒三角形为直角三角形(A为直角)；‎ ‎(10)a2＞b2＋c2⇒三角形为钝角三角形(A为钝角)．‎ ‎2．射影定理 a＝bcosC＋ccosB.‎ b＝acosC＋ccosA.‎ c＝acosB＋bcosA.‎ ‎[失分警示]‎ ‎1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．‎ ‎2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．‎ ‎3．忽视解的多种情况 如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况．‎ ‎4．忽略角的范围 应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．‎ ‎5．忽视解的实际意义 求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．‎ ‎ ‎ 考点　三角恒等变换　　‎ 典例示法 题型1　求角 典例1　　[2016·中山模拟]已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.‎ ‎[解析]　由0<β<<α<易得<2α－β<π，－<α－2β<，<α＋β<，故sin(2α－β)＝，cos(α－2β)＝，cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝，故α＋β＝.‎ ‎[答案]　 解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.‎ 题型2　求值 典例2　　[2016·安徽合肥质检]已知cos·cos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin2α的值；‎ ‎(2)求tanα－的值．‎ ‎[解]　(1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，‎ 即sin＝－.‎ ‎∵α∈，∴2α＋∈，‎ ‎∴cos＝－，‎ ‎∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.‎ ‎(2)∵α∈，∴2α∈，‎ 又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－ ‎∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.‎ 化简常用的方法技巧 ‎(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．‎ ‎(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．‎ 考点　正、余弦定理　　‎ 典例示法 题型1　应用正、余弦定理求边、角 典例3　　[2016·淄博模拟]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC＋asinC－b－c＝0.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.‎ 因为B＝π－A－C，所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.‎ 易知sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，‎ 所以sin＝.又0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)解法一：由(1)得B＋C＝⇒C＝－B0＜B＜，‎ 由正弦定理得＝＝＝＝，‎ 所以b＝sinB，c＝sinC.‎ 所以S△ABC＝bcsinA＝×sinB×sinCsin＝sinBsinC＝sinBsin ‎＝＝sin2B－cos2B＋ ‎＝sin＋.易知－＜2B－＜，‎ 故当2B－＝，即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为＋＝.‎ 解法二：由(1)知A＝，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2－bc＝4⇒bc＋4＝b2＋c2≥2bc⇒bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．‎ 所以S△ABC＝bcsinA＝×bc≤×4＝，‎ 即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为.‎ 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．‎ 第二步：定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．‎ 第三步：求结果．‎ 题型2　判断三角形的形状 典例4　　设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎[解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，‎ 即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝，故选B.‎ ‎[答案]　B 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路 ‎(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ 题型3　求有关三角形的面积 典例5　　[2014·浙江高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sinA＝，求△ABC的面积．‎ ‎[解]　(1)由题意得－＝sin2A－sin2B，即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，‎ sin＝sin.‎ 由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，‎ 得2A－＋2B－＝π，‎ 即A＋B＝，所以C＝.‎ ‎(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.‎ 由a＜c，得A＜C，从而cosA＝，‎ 故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，‎ 所以△ABC的面积为S＝acsinB＝.‎ 与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．‎ ‎(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．‎ 考点　正、余弦定理的实际应用　　‎ 典例示法 典例6　　如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cosA＝，cosC＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.‎ 从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．‎ 所以索道AB的长为1040 m.‎ ‎(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t ‎＝时，d最小，所以乙出发分钟后，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时 间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎ ‎1．解三角形应用题的常见情况及方法 ‎(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ ‎2．解三角形应用题的一般步骤 针对训练 ‎[2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_______________________________________________ _________________________m.‎ 答案　100 解析　在△ABC中，∠BAC＝30°，∠BCA＝75°－30°＝45°，所以由正弦定理得，BC＝·AB＝×600＝×600＝300.在△BCD中，CD＝BCtan30°＝300×＝100，故此山的高度为100 m.‎ ‎ ‎ ‎ [全国卷高考真题调研]‎ ‎1．[2016·全国卷Ⅱ]若cos＝，则sin2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　因为cos＝coscosα＋sinsinα＝(sinα＋cosα)＝，所以sinα＋cosα＝，所以1＋sin2α＝，所以sin2α＝－，故选D.‎ ‎2．[2015·全国卷Ⅰ]sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝.‎ ‎3．[2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．‎ 答案　(－，＋)‎ 解析　如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，过P作BC的垂线交BC于点E，则PB＝＝＋；在△QBC中，由余弦定理QB2＝BC2＋QC2－2QC·BC·cos30°＝8－4＝(－)2，故QB＝－，所以AB的取值范围是(－，＋)．‎ ‎[其它省市高考题借鉴]‎ ‎4．[2016·浙江高考]已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.‎ 答案　　1‎ 解析　由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，所以A＝，b＝1.‎ ‎5．[2015·广东高考]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由sinB＝得B＝或，因为C＝，所以B≠，所以B＝，于是A＝.由正弦定理，得＝，所以b＝1.‎ ‎6．[2014·山东高考]设f(x)＝sinxcosx－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)由题意知f(x)＝－ ‎＝－＝sin2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；‎ 单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，‎ 由题意知A为锐角，所以cosA＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，‎ 即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．‎ 因此bcsinA≤.‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．[2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝，故选D.‎ ‎2．[2016·广西质检]已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由3sin2α＝2cosα得sinα＝.因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝ ＝.‎ ‎3．[2016·郑州质检]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.‎ ‎4．[2016·武汉调研]据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为(　　)‎ A．9 h B．10 h C．11 h D．12 h 答案　B 解析　记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得4002＋400t2－2×20t×400×≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求时间为10＋5－10＋5＝10(h)，故选B.‎ ‎5．[2016·云南统测]已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.‎ ‎6．[2016·郑州质量预测]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A. B. C. D.或 答案　D 解析　sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，sin(B－A)＝sinBcosA－cosBsinA，sin2A＝2sinAcosA，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，即2sinBcosA＝6sinAcosA.当cosA＝0时，A＝，B＝，又c＝，得b＝.由三角形面积公式知S＝bc＝；当cosA≠0时，由2sinBcosA＝6sinAcosA可得sinB＝3sinA，根据正弦定理可知b＝3‎ a，再由余弦定理可知cosC＝＝＝cos＝，可得a＝1，b＝3，所以此时三角形的面积为S＝absinC＝.综上可得三角形的面积为或，所以选D.‎ 二、填空题 ‎7．已知tanα，tanβ是lg (6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.‎ 答案　1‎ 解析　lg (6x2－5x＋2)＝0⇒6x2－5x＋1＝0，∴tanα＋tanβ＝，tanα·tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.‎ ‎8．[2016·贵阳监测]在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．‎ 答案　直角三角形 解析　由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．‎ ‎9．[2016·西安质检]已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3，若△ABC的面积为45，则△ABC外接圆的半径为________．‎ 答案　14‎ 解析　因为a∶b∶c＝7∶5∶3，所以可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，由余弦定理得，cosA＝＝＝－.因为A是△ABC的内角，所以sinA＝＝，因为△ABC的面积为45，所以bcsinA＝45，即×5k×3k×＝45，解得k＝2.由正弦定理＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，即2R＝＝，解得R＝14，所以△ABC外接圆半径为14.‎ 三、解答题 ‎10．[2016·重庆测试]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2＋sin2A＝1.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)设a＝2－2，△ABC的面积为2，求b＋c的值．‎ 解　(1)由2cos2＋sin2A＝1可得，2＋2sinAcosA＝1，‎ 所以1＋cos(π－A)＋2sinAcosA＝1，故2sinAcosA－cosA＝0.‎ 因为△ABC为锐角三角形，所以cosA≠0，故sinA＝，‎ 从而A＝.‎ ‎(2)因为△ABC的面积为bcsinA＝bc＝2，所以bc＝8.‎ 因为A＝，故cosA＝，由余弦定理可知，b2＋c2－a2＝2bccosA＝bc.‎ 又a＝2－2，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝(2＋)bc＋a2＝8×(2＋)＋(2－2)2＝32.‎ 故b＋c＝＝4.‎ ‎11．[2016·武汉调研]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．‎ 解　(1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．‎ 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，‎ ‎∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，‎ 化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，‎ ‎∴a，b，c成等比数列．‎ ‎(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.‎ 则cosB＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时，等号成立．‎ ‎∵0

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