2017-2018学年山东省枣庄市第八中学东校区高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年山东省枣庄市第八中学东校区高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省枣庄市第八中学东校区高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知复数，若是纯虚数，则实数等于（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 0或1 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由复数是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案.‎ 详解：复数是纯虚数，‎ ‎，解得.‎ 故选B.‎ 点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.‎ ‎2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A. 24 B. 48‎ C. 60 D. 72‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎【考点】排列、组合 ‎【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．‎ ‎3．随机变量，若，则为（ ）‎ A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果.‎ 详解：‎ 故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.‎ ‎4．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】所选的四人中至少有一名女生的选法为 ‎ 本题选择A选项.‎ ‎5．从中不放回地依次取个数，事件表示“第次取到的是奇数”，事件表示“第次取到的是奇数”，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意，，∴，故选D．‎ ‎【考点】条件概率与独立事件．‎ ‎6．展开式中x2的系数为 A. 15 B. 20 C. 30 D. 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.‎ ‎【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.‎ ‎7．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论.‎ 详解：由欧拉公式，可得，‎ 因为，‎ 所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果.‎ ‎8．已知，为的导函数，则的图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴，为奇函数，关于原点对称，排除B，D，‎ 设，‎ 令，‎ 当时, ,时,，‎ ‎,h(x)有极小值：,所以，‎ 在x>0时，有两个根，排除C.‎ 所以图象A正确，‎ 本题选择A选项.‎ ‎9．曲线和直线所围成图形的面积是（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.‎ 详解：曲线和直线的交点坐标为（0,0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，曲线和直线所围成图形的面积是 ‎.‎ 故选C.‎ 点睛：该题所考查的是求曲线围成图形的面积问题，在解题的过程中，首先正确的将对应的图形表示出来，之后应用定积分求得结果，正确求解积分区间是解题的关键.‎ ‎10．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：这是一个条件概率，所以先计算P(A)和P(AB),再代入条件概率的公式即得解.‎ 详解：设甲获得冠军为事件A,比赛进行了三局为事件B,则P(AB)=，‎ P(A)=所以 故答案为：A 点睛：(1)本题主要考查条件概率，意在考查条件概率的基础知识的掌握能力.(2)本题主要注意审题识别概率类型，条件概率一般有“在发生的情况下”这样的关键概念和信息,本题就有“在甲获得冠军的情况下，”这样的关键信息.‎ ‎11．6名同学安排到3个社区，，参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到社区，乙和丙同学均不能到社区，则不同的安排方法种数为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：该题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，另一类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求解即可.‎ 详解：由题意将问题分为两类求解：‎ 第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为种；‎ 第二类，若乙与丙在B社区，则A社区还缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为种；‎ 故不同的安排种数是种，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理，在解题的过程中，对问题进行正确的分类是解题的关键，并且需要将每一类对应的数据正确算出.‎ ‎12．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：通过分离变量，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值，利用数形结合，求得结果.‎ 详解：由得，‎ 令，则，‎ 在上递减，在上递增，所以，‎ 又当时，，‎ 所以实数的取值范围是，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关根据零点个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要将参数分离，应用导数研究函数的单调性，从而得到对应的结果，注意数形结合思想的应用.‎ 二、填空题 ‎13．已知随机变量，且，则__________．‎ ‎【答案】128‎ ‎【解析】分析：根据二项分布的期望公式，求得，再根据方差公式求得，再根据相应的方差公式求得结果.‎ 详解：随机变量，且，‎ 所以，且，解得，‎ 所以，‎ 所以，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关二项分布的期望和方差的问题，在解题的过程中，注意对二项分布的期望和方差的公式要熟记，正确求解p的值是解题的关键.‎ ‎14．已知直线与曲线相切，则实数的值是_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：设切点，根据导数求导切线斜率，令其等于2，得切点，代入直线即可得解.‎ 详解：求导得：，‎ 设切点是（x0，lnx0），‎ 则，‎ 故，lnx0=﹣ln2，‎ 切点是（，﹣ln2）代入直线得：‎ 解得：，‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题只要考查了导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎15．若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由，得展开式的每一项的系数为，代入，即可求解.‎ 详解：由题意，‎ 得展开式的每一项的系数为，‎ 所以 又由，且，‎ 所以.‎ 点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中对二项展开式的灵活变形和恰当的赋值，以及熟练掌握二项式系数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.‎ ‎16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令 ‎，则有，两边平方，可解得（负值舍去）”.那么，可用类比的方法，求出的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用类比的方法，设，则有，解方程即可得结果，注意将负数舍去.‎ 详解：设，则有，‎ 所以有，解得，因为，所以，‎ 故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关类比推理的问题，在解题的过程中，需要对式子进行分析，得到对应的关系式，求得相应的结果.‎ 三、解答题 ‎17．在6的展开式中，求：‎ ‎(1)第3项的二项式系数及系数；‎ ‎(2)含x2的项．‎ ‎【答案】（1）第3项的系数为24＝240.（2）含x2的项为第2项，且T2＝－192x2. ‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据二项展开式的通项，即可求解第项的二项式系数及系数；‎ ‎ （2）由二项展开式的痛项，可得当时，即可得到含的系数.‎ 试题解析：(1)第3项的二项式系数为C＝15， ‎ 又T3＝C (2)42＝24·Cx， ‎ 所以第3项的系数为24C＝240. ‎ ‎(2)Tk＋1＝C (2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k， ‎ 令3－k＝2，得k＝1. ‎ 所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.‎ ‎18．从4名男生和2 名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．‎ ‎（1）求的分布列（结果用数字表示）；‎ ‎（2）求所选3个中最多有1名女生的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于总共只有2名女生，因此随机变量的取值只能为0,1，2，计算概率为，可写出分布列；（2）显然事件是互斥的，因此．‎ 试题解析：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（2）由（1）知所选3人中最多有一名女生的概率为：．‎ ‎【考点】随机变量分布列，互斥事件的概率．‎ ‎19．某品牌新款夏装即将上市，为了对新款夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：‎ 连锁店 店 店 店 售价（元）‎ ‎80‎ ‎86‎ ‎82‎ ‎88‎ ‎84‎ ‎90‎ 销量（件）‎ ‎88‎ ‎78‎ ‎85‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎66‎ ‎（1）分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；‎ ‎（2）在大量投入市场后，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该新夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元？（保留整数）‎ 附：，.‎ ‎【答案】（1）（2）80‎ ‎【解析】分析：（1）先求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；‎ ‎（2）设定价是x，得出利润关于x的函数，利用二次函数的性质求出的最大值点，求得结果.‎ 详解：（1），，三家连锁店平均售价和销量分别为：，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）设该款夏装的单价应定为元，利润为元，‎ 则 .‎ 当时，取得最大值，故该款夏装的单价应定为80元.‎ 点睛：该题考查的是有关线性回归分析的问题，涉及到的知识点有回归直线的方程的求解问题，注意对公式的正确使用，再者就是有关应用函数的思想去解决最值问题，注意对解析式的正确求解.‎ ‎20．为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：‎ 优秀 非优秀 总计 男生 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ ‎（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；‎ ‎（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望．‎ 附:＝‎ ‎0．500‎ ‎0．400‎ ‎0．100‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎0．455‎ ‎0．708‎ ‎2．706‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎【答案】（1）有%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用公式计算得，故有把握；（2）的可能取值为，且满足二项分布，由此求得分布列和期望．‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 因为 所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关． ‎ ‎（2）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，‎ 所以 ‎【考点】1．独立性检验；2．二项分布．‎ ‎21．一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．‎ ‎（Ⅰ）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；‎ ‎（Ⅱ）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）得到偶数的情况有偶数加偶数，奇数加奇数，分别求出它们的种数，用古典概型求出概率；（2）由于奇数有3个，所以取出卡片的次数为1,2,3,4，再分别求出取这几个值时的概率，写出分布列，算出数学期望。‎ 试题解析：（1）记 “任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是偶数”为事件,‎ 事件总数为， ‎ 因为偶数加偶数，奇数加奇数，都是偶数，则事件种数为， ‎ 得 . 所得新数是偶数的概率 . ‎ ‎ (2)所有可能的取值为1,2,3,4, ‎ 根据题意得 ‎ ‎ ‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎． ‎ 点睛：本题主要考查概率与统计，涉及的知识点有组合数的计算，古典概型，分布列和数学期望等，属于中档题。本题关键是弄清楚为1,2,3,4所表示的意义及分别求出概率。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，方程在区间上只有一个解；‎ ‎（3）设，其中.若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在区间上单调递增.（2）见解析(3) ‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出函数的导函数，根据函数的单调性，得到函数在的零点个数，求出方程在的解的个数即可；‎ ‎（3）设，，根据函数的单调性求出函数的最小值， ，求出的范围即可.‎ 详解：（1）由已知.‎ 所以，在区间上，函数在上单调递减，‎ 在区间上，函数在区间上单调递增.‎ ‎（2）设，.‎ ‎，由（1）知，函数在区间上单调递增.‎ 且，.‎ 所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解.‎ ‎（3）设，，定义域为，‎ ‎ ，‎ 令，则，‎ 由（2）知，在区间上只有一个零点，是增函数，‎ 不妨设的零点为，则，‎ 所以，与在区间上的情况如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 所以，函数的最小值为，‎ ‎，‎ 由，得，‎ 所以.‎ 依题意，即，解得，‎ 所以，的取值范围为.‎ 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究函数的零点，应用导数研究恒成立问题，正确求解函数的导函数是解题的关键.‎