2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：板块命题点专练(十四)　圆锥曲线

2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：板块命题点专练(十四)　圆锥曲线

‎ 板块命题点专练(十四)　圆锥曲线 ‎ ‎(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)‎ 命题点一　椭　圆 命题指数：☆☆☆☆☆‎ 难度：高、中 题型：选择题、填空题、解答题 ‎1．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为 d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．‎ ‎2．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.‎ ‎3．(2014·安徽高考)若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的左焦点为F，离心率为， 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎ (1) 求椭圆的方程；‎ ‎ (2) 设A, B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值. ‎ 命题点二　双曲线 命题指数：☆☆☆☆‎ 难度：中 题型：选择题、填空题 ‎1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－my2＝‎3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．3‎ C.m D．‎‎3m ‎2．(2013·浙江高考)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．(2013·重庆高考)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A.，2 B.，2‎ C.，＋∞ D. ，＋∞‎ ‎4．(2013·天津高考)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．‎ ‎5．(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________.‎ 命题点三　抛物线 命题指数：☆☆☆☆☆‎ ‎ 难度：中 题型：选择题、填空题、解答题 ‎1．(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．(2014·湖南高考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.‎ ‎4．(2014·陕西高考)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．‎ 命题点四　圆锥曲线中的综合问题 命题指数：☆☆☆☆☆‎ ‎　 难度：高　 题型：选择题、填空题、解答题 ‎1．(2014·四川高考改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，‎ 其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)．‎ ‎2．(2014·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：＋＝1(a>b>0) 的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．‎ ‎①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；‎ ‎②求△OMN面积的最大值．‎ 答案 命题点一 ‎1．解析：令F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为＋＝1，所以d1＝ .‎ 又d2＝－c＝，由d2＝d1，可得＝·，解得b2＝‎2c2，所以a2＝‎3c2，a＝c，‎ 所以e＝＝.‎ 答案： ‎2．解析：设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1，F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×‎2a＝‎4a＝12.‎ 答案：12‎ ‎3．解析：设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，‎ 由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，‎ 故即 代入椭圆方程可得＋b2＝1，得b2＝，‎ 故椭圆方程为x2＋＝1.‎ 答案：x2＋＝1‎ ‎4．解：(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.‎ 过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，‎ 代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，‎ 于是＝，解得b＝.‎ 又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．‎ 由方程组 消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 因为A(－，0)，B(，0)，‎ 所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2‎ ‎＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)‎ ‎＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2‎ ‎＝6＋.‎ 由已知得6＋＝8，解得k＝±.‎ 命题点二 ‎1．选A　双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.‎ ‎2．选D　由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝‎2a(其中‎2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F‎1F2|2＝(2)2，‎ ‎∴a＝，∴e＝＝.‎ ‎3．选A　设双曲线的焦点在x轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k(k>0)必须满足0)，则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|＝＝2.‎ ‎2．选D　易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.‎ ‎3．解析：由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.‎ 答案：1＋ ‎4．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．‎ 设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.‎ ‎∴a＝2，b＝1.‎ ‎(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．‎ 易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，‎ 代入C1的方程，整理得 ‎(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.　(*)‎ 设点P的坐标为(xP，yP)，‎ ‎∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．‎ 由根与系数的关系，得xP＝，从而yP＝，‎ ‎∴点P的坐标为.‎ 同理，由 得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．‎ ‎∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．‎ ‎∵AP⊥AQ，∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，‎ ‎∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.‎ 经检验，k＝－符合题意，‎ 故直线l的方程为y＝－(x－1)．‎ 命题点四 ‎1．解：(1)由已知可得 解得a2＝6，b2＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(－2,0)，‎ 设T点的坐标为(－3，m)，‎ 则直线TF的斜率kTF＝＝－m.‎ 当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.‎ 当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，‎ 其判别式Δ＝‎16m2‎＋8(m2＋3)>0.‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝，‎ x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.‎ 所以PQ的中点M的坐标为，‎ 所以直线OM的斜率kOM＝－.‎ 又直线OT的斜率kOT＝－，‎ 所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.‎ ‎2．解：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2.‎ 椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.‎ 将y＝x代入可得x＝±，‎ 因此×＝，可得a＝2.‎ 因此b＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，‎ 因为直线AB的斜率kAB＝，‎ 又AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－.‎ 设直线AD的方程为y＝kx＋m，‎ 由题意知k≠0，m≠0.‎ 由可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋‎4m2‎－4＝0.‎ 所以x1＋x2＝－，‎ 因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋‎2m＝.‎ 由题意知x1≠－x2，‎ 所以k1＝＝－＝.‎ 所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．‎ 令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)．‎ 可得k2＝－.‎ 所以k1＝－k2，即λ＝－.‎ 因此存在常数λ＝－使得结论成立．‎ ‎②直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，‎ 令x＝0，得y＝－y1，即N.‎ 由①知M(3x1,0)，‎ 可得△OMN的面积 S＝×3|x1|×|y1|＝|x1||y1|.‎ 因为|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时等号成立，此时S取得最大值，‎ 所以△OMN面积的最大值为.‎