2019高三数学理北师大版一轮教师用书:第10章 第2节 排列与组合

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2019高三数学理北师大版一轮教师用书:第10章 第2节 排列与组合

第二节 排列与组合 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.理解排列与组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题.‎ ‎(对应学生用书第170页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.排列、组合的定义 排列的定义 ‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 ‎ 合成一组 ‎2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定 义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 公 式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= C== 性 质 A=n!,‎ ‎0!=1‎ C=C,‎ C+C=C ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(  )‎ ‎(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(  )‎ ‎(3)若组合式C=C,则x=m成立.(  )‎ ‎(4)kC=nC.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.(教材改编)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了毕业留言(  )‎ A.1 560条 B.780条  C.1 600条  D.800条 A [由题意,得毕业留言共A=1 560条.]‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(  )‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 D [由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为C·C·A=36(种),或列式为C·C·C=3××2=36(种).‎ 故选D.]‎ ‎4.某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为(  )‎ A.85 B.56 ‎ C.49 D.28‎ C [法一(直接法):甲、乙两人均入选,有CC种方法,‎ 甲、乙两人只有1人入选,有CC种方法,‎ 由分类加法计数原理,共有CC+CC=49种选法.‎ 法二(间接法):从9人中选3人有C种方法,‎ 其中甲、乙均不入选有C种方法,‎ 所以满足条件的选排方法有C-C=84-35=49种.]‎ ‎5.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法共有________种.‎ ‎60 [5人的全排列,B站在A的右边与A站在B的右边各占一半,‎ 所以满足条件的不同排法共A=60种.]‎ ‎(对应学生用书第171页)‎ 排列问题 ‎ 有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.‎ ‎(1)选5人排成一排;‎ ‎(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;‎ ‎(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;‎ ‎(4)全体排成一排,女生必须站在一起;‎ ‎(5)全体排成一排,男生互不相邻.‎ ‎[解] (1)从7人中选5人排列,有A=7×6×5×4×3=2 520(种).‎ ‎(2)分两步完成,先选3人站前排,有A种方法,余下4人站后排,有A种方法,共有A·A=5 040(种).‎ ‎(3)法一:(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有A种排列方法,共有5×A=3 600(种).‎ 法二:(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有A种排法,其他有A种排法,共有AA=3 600(种).‎ ‎(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A种方法,再将女生全排列,有A种方法,共有A·A=576(种).‎ ‎(5)(插空法)先排女生,有A种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A种方法,共有A·A=1 440(种).‎ ‎[规律方法] 求解排列应用问题的六种常用方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 ‎[跟踪训练 ‎] (1)在航天员进行的一项太空试验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问试验顺序的编排方法共有(  )‎ A.34种       B.48种 C.96种 D.144种 ‎(2)(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.‎ ‎(1)C (2)36 [(1)程序A的顺序有A=2种结果,将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有AA=48种结果,‎ 由分步乘法计数原理,试验编排共有2×48=96种方法.‎ ‎(2)记其余两种产品为D,E,A,B相邻视为一个元素,先与D,E排列,有AA种方法.再将C插入,仅有3个空位可选,共有AAC=2×6×3=36种不同的摆法.]‎ 组合问题 ‎ 某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?‎ ‎(1)只有一名女生当选;‎ ‎(2)两队长当选;‎ ‎(3)至少有一名队长当选;‎ ‎(4)至多有两名女生当选.‎ ‎[解] (1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选.故共有C·C=350种.‎ ‎(2)两队长当选,共有C·C=165种.‎ ‎(3)至少有一名队长当选含有两类:只有一名队长当选,有两名队长当选.故共有C·C+C·C=825种.(或采用排除法:C-C=825(种)).‎ ‎(4)至多有两名女生当选含有三类:有两名女生当选,只有一名女生当选,没有女生当选.故选法共有C·C+C·C+C=966种.‎ ‎[规律方法] 组合问题的常见类型与处理方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.‎ (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:若直接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2018·银川质检)某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、外语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科,要求物理、化学、生物三科至少选一科,政治、历史、地理三科至少选一科,则考生选考方法种数共有(  ) ‎ ‎【导学号:79140342】‎ A.6 B.12‎ C.18 D.24‎ ‎(2)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有(  )‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 ‎(1)C (2)D [(1)法一:所有选考方法可分两类:第一类可分两步,第一步,考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C 种不同的选法,第二步,考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有CC种不同的选法;第二类可分两步,第一步,考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C种不同的选法,第二步,从政治、历史、地理三科中任选一科有C种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有CC种不同的选法.根据分类加法计数原理,考生共有CC+CC=18种不同的选考方法,故选C.‎ 法二:依题意,考生共有C-2C=18种不同的选考方法,故选C.‎ ‎(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,‎ 所以不同的取法共有C+C+CC=66种.]‎ 排列与组合的综合应用 ‎ (1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为(  )‎ A.300 B.216‎ C.180 D.162‎ ‎(2)(2017·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,浙江大学三所大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(  )‎ A.240种 B.180种 C.150种 D.540种 ‎(1)C (2)C ‎ ‎[(1)分两类:第1类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有CCA=72个没有重复数字的四位数;第2类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有CC(A-A)=108个没有重复数字的四位数.‎ 根据分类加法计数原理可知,满足题意的四位数共有72+108=180(个).‎ ‎(2)5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式.‎ 当5名学生分成2,2,1时,共有CCA=90种方法;当5名学生分成3,1,1时,共有CA=60种方法.‎ 由分类加法计数原理知共有90+60=150种保送方法.]‎ ‎[规律方法] 1.排列组合综合题思路,先选后排,先组合后排列.‎ 当有多个限制条件时,应以其中一个限制条件为标准分类,限制条件多时,多考虑用间接法,但需确定一个总数.‎ ‎2.(1)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.‎ (2)对于相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”.‎ ‎[跟踪训练] (1)(东北三省四市模拟(一))哈市某公司有五个不同部门,现有4名在校大学生来该公司实习.要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为(  ) ‎ ‎【导学号:79140343】‎ A.40 B.60‎ C.120 D.240‎ ‎(2)(2017·浙江高考)‎ 从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)‎ ‎(1)B (2)660 [从五个不同部门选取两个部门有C种选法,将4名大学生分别安排在这两个部门有CC种方法,所以不同的安排方案有CCC=60种,故选B.‎ ‎(2)法一:只有1名女生时,先选1名女生,有C种方法;再选3名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法.由分步乘法计数原理,知共有CCA=480(种)选法.‎ 有2名女生时,再选2名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法.由分步乘法计数原理,知共有CA=180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+180=660(种)不同的选法.‎ 法二:不考虑限制条件,共有AC种不同的选法,‎ 而没有女生的选法有AC种,‎ 故至少有1名女生的选法有AC-AC=840-180=660(种).]‎
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