【推荐】专题6-4+数列求和、数列的综合应用-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题6-4+数列求和、数列的综合应用-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

‎1.【2017课标2理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎【解析】设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，‎ ‎∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，‎ ‎∴，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．‎ ‎【考点解读】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．‎ ‎2.【2017课标3理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【考点解读】本题考查等差数列前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用． ‎ ‎3.【2017课标II理15】等差数列的前项和为，，，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，‎ 可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，‎ 则；。‎ ‎【考点解读】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用及计算能力．‎ ‎4. 【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中 表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎ ‎【考点解读】本题考查了等差数列的的性质，对数的运算，前项和公式，求和中注意定义要求，可采用分组法求和。‎ ‎5.【2015高考新课标1理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） ‎【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，‎ 当时，==，‎ 即，因为，所以=2，‎ 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，‎ 所以数列{}前n项和为=‎ ‎ =.‎ ‎【考点解读】本题考查了数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；裂项法求和。‎ ‎6.【2017山东高考理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2‎ ‎（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.‎ ‎【答案】(I)（II）‎ ‎（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,‎ 由(I)得记梯形的面积为.‎ 由题意，‎ 所以……+‎ ‎=……+ ①‎ 又……+ ②‎ ①-②得 ‎= 所以 ‎【考点解读】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的求和及“错位相减法”求和。用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解。‎ ‎7.【2015高考广东理21】数列满足，‎ ‎ (1) 求的值；‎ ‎ (2) 求数列前项和；‎ ‎(3) 令，，证明：数列的前项和 满足．‎ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析．‎ ‎∴ 数列是首项为，公比为的等比数列，故；‎ ‎【考点解读】本题考查了前项和关系求项值及通项公式，等比数列前项和，数列与函数的性质及不等式放缩法。有一定难度。‎ 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 数列的前n项和 C 数列的综合应用 C 数列求和及综合问题，在高考中常以解答题的形式出现。一般为2个小问，主要考查等比（差）数列通项公式、简单递推数列、数列求和及数列与函数、不等式结合等问题。‎ 常见考点为；（1）等差、等比数列的前n项和公式。（2）非等差、等比数列和的几种常见方法（裂项相消法、错位相减法、分组法求和）。（3）在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题。（4）数列与函数及不等式的综合.‎ 求数列前n项和的常用方法 ‎1.分组求和法 分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。‎ 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论。‎ ‎2.裂项相消法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. ‎ 如：是公差为的等差数列，求 解：由 ‎∴‎ ‎3.错位相减法 若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. ‎ 如： ①‎ ‎ ②‎ ‎①—②‎ 时，，时，‎ 1. 倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. ‎ 相加 题型一 分组转化法求和 典例1.（1）（2017福建莆田一中模拟）数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则＝ (　　)．‎ A．1009 B．2017 C．1008 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得；。 ‎ ‎（2）(2016西安模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2 016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，‎ 则S2 016等于(　　)‎ A．0 B．2 017 C．2 016 D．2 015‎ ‎【答案】　A ‎ ‎ ‎（3）（2016石家庄一中模拟）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，则该数列前2011项的和S2011等于(　　)‎ A．1341 B．669 C．1340 D．1339‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得：，数列是周期为3的数列 ‎。‎ ‎（4）（2017南昌模拟）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.‎ ‎【答案】2 600‎ ‎【解析】由an＋2－an＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，‎ 所以a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.‎ 所以S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)‎ ‎＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2 600. ‎ ‎（5）(2015福建高考)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．‎ ‎【答案】（1）an＝n＋2. （2）2 101.‎ 解题技巧与方法总结 分组转化法求和的常见类型 ‎1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．‎ ‎2．通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎ 友情提示：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，‎ 注意在含有字母的数列中对字母的讨论．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）(2017广州模拟)已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则S100＝(　　)‎ A．0 B．100 C．－100 D．10200‎ ‎【答案】　B ‎【解析】由题意a1＋a2＋…＋a100＝S100，‎ ‎∴S100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012‎ ‎＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝50×2＝100.‎ ‎（2）(2017广西南宁模拟)在数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　)‎ A．76 B．78 C．80 D．82‎ ‎【答案】　B ‎【解析】∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，‎ a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a11＋a10＝19，a12－a11＝21.∴a1＋a3＝2，a4＋a2＝8，…，‎ a12＋a10＝40。从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2；第二项开始，依次取2‎ 个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．‎ S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78. ‎ ‎（3）(2017昆明模拟)数列{an}的通项an＝n2cos2－sin2，其前n项和为Sn，则S30为(　　)‎ A．470 B．490 C．495 D．510‎ ‎【答案】　A ‎（4）（2017银川一中模拟）已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n＋2n－1，则其前n项和Sn＝________.‎ ‎【答案】　(3n2＋n)＋2n＋1－2‎ ‎【解析】由题意知an＝3n＋2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎＝3×1＋21－1＋3×2＋22－1＋…＋3n＋2n－1‎ ‎＝3×(1＋2＋3＋…＋n)＋21＋22＋…＋2n－n ‎＝3×＋－n＝＋2n＋1－2.‎ ‎（5）（2017大连模拟）一个数列，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么这个数列的前21项和__________．‎ ‎【答案】52‎ ‎【解析】由等和数列的定义,‎ ‎， …‎ 当为奇数时， ，当为偶数时，‎ ‎＝‎ ‎（6）（2017浙江临海模拟）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.‎ ‎（I）求通项公式；‎ ‎（II）求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ 知识链接： ‎ ‎1．公式法；直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 ‎(1)等差数列的前n项和公式：‎ Sn＝＝na1＋d.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式：‎ Sn＝ ‎2．分组求和法；一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．‎ ‎3. 常用求和公式 前n个正 整数之和 ‎1＋2＋…＋n＝ 前n个正 奇数之和 ‎1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2‎ 前n个正整 数的平方和 ‎12＋22＋…＋n2＝ 前n个正整 数的立方和 ‎13＋23＋…＋n3＝2‎ ‎ 直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，‎ 应对其公比是否为1进行讨论．‎ 题型二　裂项相消法求和 典例2.（1）（2017江苏淮安模拟）数列满足，且（），则数列 的前10项和为 ‎ ‎【答案】 ‎（2）（2017西安模拟）已知函数的图象在点处的切线的斜率为3‎ ‎，数列 的前项和为,则的值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，函数的图象在点处的切线的斜率为3，所以，，b=1，的通项公式为，，故的值为。‎ ‎（3） (2017福州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝，若前n项和为10，则项数n为________．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120。‎ ‎（4）(2017甘肃天水模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1）an＝13－3n. （2）.‎ ‎ ‎ ‎（5）（2017湖北黄石模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和，且向量=（-4，n），=（Sn，n+3）垂直．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列前n项和为Tn，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 解题技巧与方法总结 常见的裂项方法(其中n为正整数)‎ 数　列 裂项方法 ‎(k为非零常数)‎ ＝ ＝ ＝－ ＝(－)‎ ‎(a＞0，a≠1)‎ loga＝loga(n＋1)－logan ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017宁夏石嘴山模拟）已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列的前n 项和为Sn，则 的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得；， ∴f(n)＝n2＋n， ∴，‎ ‎∴。‎ ‎（2）（2017湖北黄石模拟）已知数列的通项公式为,其前项和,‎ 则双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据数列的通项公式为,其前项和，‎ 那么可知，可知n=9,那么根据可知,故可知 双曲线的渐近线方程为； ‎ ‎（3）（2017山西师大附中模拟）数列满足,记,则数列前项和 ．‎ ‎【答案】‎ ‎（4） (2017大连模拟)若已知数列的前四项是，，，，则数列的前n项和为________．‎ ‎【答案】　－ ‎【解析】由前四项知数列{an}的通项公式为an＝，由＝知，‎ Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an ‎＝+ ‎＝＝－.‎ ‎（5）（2017江西九江模拟）已知递增的等差数列满足：成等比数列，且。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，设，求数列的前项和 ‎【答案】见解析 ‎（6）（2017湖南衡阳模拟）数列是首项的等比数列，且，，成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，设为数列的前项和，若对一切恒 成立，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 知识链接：‎ 裂项相消法 ‎(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎(2)裂项时常用的三种变形：‎ ‎①＝－；‎ ‎②＝；‎ ‎③＝－.‎ ‎(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．‎ 题型三　错位相减法求和 典例3. （1）（2017安徽六安模拟）（2017）设 数列满足： ，‎ ‎（1）求证：数列是等比数列(要指出首项与公比)‎ ‎（2）求数列的通项公式．‎ ‎（3）求数列的前n项和 ‎【答案】见解析 ‎（2）(2017哈尔滨模拟)如图所示，流程图给出了无穷等差整数列，‎ 时，输出的时，输出的（其中d 为公差）‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）是否存在最小的正数m，使得成立？若存在，求出m的值，若不存在，‎ 请说明理由。‎ ‎【答案】（I） （II）‎ ‎（3）（2017河北正定中学模拟）设数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，‎ 且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若为数列的前项和，求.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ 解题技巧与方法总结 ‎ 错位相减法 ‎1．要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．‎ ‎2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎ ‎3．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）(2015·山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（I）见解析 （II）Tn＝－.‎ ‎【解析】 (1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3.‎ 当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，‎ 此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，‎ 即an＝3n－1，所以an＝ ‎(2) 因为anbn＝log3an，所以b1＝，‎ 当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n, 所以T1＝b1＝；‎ 当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，‎ 所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，‎ 两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n ‎＝＋－(n－1)×31－n＝－，‎ 所以Tn＝－.，经检验，n＝1时也适合．‎ 综上可得Tn＝－.‎ ‎（2）(2017德州模拟)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【答案】（1）an＝4－n. （2）见解析 所以；Sn＝ ‎（3）（2017安徽无为县高中模拟）已知数列的前项和为，且．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（4）（2017湖北襄阳模拟）设数列是等比数列，，公比是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．‎ ‎（1）用表示通项与前n项和；‎ ‎（2）若，用表示．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ 知识链接：‎ 错位相减法 ‎（1）如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．‎ ‎(2) 在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．‎ 题型四　数列的实际应用 典例4.（1）（2017四川泸州模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（ ）‎ A. 96里 B. 48里 C. 192 里 D. 24里 ‎【答案】B ‎【解析】记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列，由题意知；‎ ‎，故选A.‎ ‎（2）（2017西宁模拟）设在容器中含有12%的盐水300克，容器中含有6%的盐水300克，从两容器中各取100克盐水，倒在对方容器中，这样操作了次后，设中含有的盐水，中含有的盐水，则等于( )‎ A．6 B．18 C．12 D．36‎ ‎【答案】B ‎（3）（2017兰州一中月考）一个球从32米的高处自由落下，每次着地后又回到原来高度的一半，则它第6次着地时，共经过的路程是 米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设第一次着地经过的路程是米，第二次着地、第三次、第四次、第五次、第六次经过的路 程分别为米,因此第六次着地后共经过的路程是 米。‎ ‎（4）（2017郑州模拟）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的.‎ ‎（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）；‎ ‎（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施,问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）.‎ ‎【答案】（1）；（2）到年不需要调整政策.‎ 解题技巧与方法总结 解答数列实际应用问题的步骤 ‎1．确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型，基本特征见下表：‎ 数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少 等比数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推 数列 指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{an}满足an＋1＝1.2an－a ‎2．准确求解模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．‎ ‎3．给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这一点．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017湖南衡阳模拟）已知正方形的边长是，依次连接正方形 的各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形的各边中点又得到一个新的正方形，按此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示，现有一只小虫从点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个新正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段，则这10条线段的长度的和是（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎（2）（2017唐山模拟）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是(　　)‎ A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 ‎【答案】　C ‎【解析】令第n年的年产量为an，则由题意可知第一年的产量a1＝f(1)＝×1×2×3＝‎ ‎3(吨)；‎ 第n(n＝2,3，…)年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－(n－1)·n·(2n－1)＝3n2(吨)．‎ 令3n2≤150，则结合题意可得1≤n≤5，又n∈N*，所以1≤n≤7，即生产期限最长为7年。‎ ‎（3）(2017泰安模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.‎ ‎【答案】　16‎ ‎【解析】设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，‎ 由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，‎ 即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，∴an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16. ‎ ‎（4）（2017兰州模拟）随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2017年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2017年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：Tn＝228a(1.012n－1).(n≤24，n∈N*)‎ ‎(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；‎ ‎(2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；‎ ‎(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由.‎ ‎(参考数据：≈1.09，≈8.66)‎ ‎【答案】（1）Sn=100a(1.01n－1) （2）Sn×1.01n－1,1.01n－1>≈1.09，n－1>≈8.66.‎ ‎∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.‎ 知识链接：‎ ‎　 1.解答数列应用题的步骤 ‎(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．‎ ‎(2)建模——将已知条件翻译成数数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．‎ ‎(3)求解——求出该问题的数学解．‎ ‎(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．‎ ‎2.具体解题步骤用框图表示如下：‎ ‎3.数列应用题常见模型 ‎(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．‎ ‎(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．‎ ‎(3)递推数列模型：如果题目给出了数列前后两项的关系，或前n项和Sn与Sn＋1之间的关系，可考虑通过建立递推数列模型求解．‎ ‎4.常见结论 ；银行储蓄中的计算公式 ‎(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为p元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝p(1＋r)n.‎ ‎(2)单利公式：利息按单利计算，本金为p元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝p(1＋nr)．‎ ‎(3)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x.‎ 题型六　数列与其他知识的交汇问题 考向1　数列与函数的交汇问题 典例6. （1）（2017长沙市长郡中学模拟）已知， ，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】由，∴，∴数列的前项和 为，又，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时等号成立。‎ ‎（2）(2017南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(3＋x)＝f(x)，f(2)＝－5，数列{an}满足a1＝－1，且Sn＝2an＋n(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a4)＋f(a5)＝________.‎ ‎【答案】　－5‎ ‎（3） (2017蚌埠模拟)已知{an}是公比大于1的等比数列，a1，a3是函数f(x)＝x＋－10的两个零点．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝log3an＋n＋2，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≥80，求n的最小值．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】 (1)∵a1，a3是函数f(x)＝x＋－10的两个零点，‎ ‎∴a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两根，‎ 又公比大于1，故a1＝1，a3＝9，则q＝3.‎ ‎∴等比数列{an}的通项公式为an＝3n－1.‎ ‎(2) 由(1)知bn＝log3an＋n＋2＝2n＋1，‎ ‎∴数列{bn}是首项为3，公差为2的等差数列，‎ ‎∴b1＋b2＋…＋bn＝n2＋2n≥80，解得n≥8或n≤－10(舍)，‎ 故n的最小值是8.‎ ‎（4）(2014四川高考)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.‎ ‎【答案】　（1）Sn＝n2－3n. （2）Tn＝.‎ 考向2　数列与不等式的交汇问题 典例7.（1）(2014广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－‎ ‎3(n2＋n)＝0，n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ ‎【答案】 （1）见解析 （2）an＝2n （3）见解析 ‎【解析】 (1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．‎ ‎(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.‎ 又已知各项均为正数，故Sn＝n2＋n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，‎ 当n＝1时，a1＝2也满足上式， 所以an＝2n，n∈N*.‎ ‎(3)证明：k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，‎ ‎∴4k2＋2k≥3k2＋3k，‎ ‎∴＝＝≤＝.‎ ‎∴＋＋…＋ ‎≤＝<. ∴不等式成立．‎ ‎（2）（2017河北正定中学模拟）在数列中，是数列前项和，，当 ‎（1）证明为等差数列；；‎ ‎（2）设求数列的前项和；‎ ‎（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数，都有成立？若存在，‎ 求出m的最大值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）利用等差数列定义证明即可；（2）；(3)m=9‎ ‎(3) 令则在上是增函数，当时，‎ 取得最小值，依题意可知，要使得对任意，都有，只要，，，。‎ 解题技巧与方法总结 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 ‎1．数列与函数的交汇问题 ‎(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．‎ ‎(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．‎ ‎2．数列与不等式的交汇问题 ‎(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．‎ ‎(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．‎ ‎(3)比较方法：作差或者作商比较．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017浙江金华模拟）已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（ ）‎ A．－1 B． 1－log20132012 C．-log20132012 　　 D．1‎ ‎【答案】A ‎（2）（2017银川模拟）已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎（3）（2017河北衡水金卷）已知数列的前项和为，且对任意的正整数都有，数列满足，且对任意的正整数都有，且数列的前项和对一切恒成立，则实数的小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，两式相减得，所以为等比数列，所以 ‎，又因为代入得，由累加法可知： ，所以，所以，故实数的小值为1。‎ ‎（4）（2017安徽六安市模拟）已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和。‎ 证明：当时，（1）；（2）；（3）.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】 （1）由及知，故，‎ ‎∴，；‎ ‎（2）由，得，从而 ‎，‎ 又∵，∴，；‎ ‎（3）由（2）知，，由，得，‎ ‎∴当时，，‎ 由此，‎ 又∵，∴，另一方面，由，‎ 得，‎ 综上，.‎ ‎（5）（2015高考陕西理21）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，‎ ‎（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；‎ ‎（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较 与的大小，并加以证明．‎ ‎【答案】见解析 内至少存在一个零点 。又 故在 内单调递增，所以 在内有且仅有一个零点 所以， 即， 故 ‎ ‎(II)解法一；由题设，设当时，‎ 当时，若，若 ‎，所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时 ‎ .‎ 课本典例解析与变式 例1.【必修第5六十九页习题2.5 A组4题】求和（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解析】（1）当时；则：‎ 当时；则：‎ ‎（2）原式=‎ ‎（3）当时；则：‎ 当时；则： ‎ ‎ 则（1）─（2）得；‎ ‎ 化简得；‎ ‎【原题解读】本题考查了数列求和。运用的求和方法主要有公式法，分组求和法及错位相减法。同时注意对字母的分类讨论。‎ 变式1.【2017北京高考】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.‎ 变式2.【2014湖南高考】已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎【解析】 (1)当时,;‎ 当时, 检验首项符合,所以数列的通项公式为.‎ ‎(2) 由(1)可得,记数列的前项和为,‎ 则 ‎ ，故数列的前项和为 变式3.【2014全国高考课标1】已知是递增的等差数列，，是方程的根。‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前项和.‎ 变式4.【2016高考山东】已知数列的前n项和，是等差数列，且.‎ ‎（I）求数列的通项公式； ‎ ‎（II）令.求数列的前n项和. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意当时，，当时，；‎ 所以；设数列的公差为，由，即，‎ 解之得，所以。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，‎ 即 ‎，所以，以上两式两边相减得。‎ 所以 ‎【课本回眸反思】‎ ‎ 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题，例题常常是高考题目生成和变化的源头；‎ ‎2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；‎ ‎3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ ‎1．(2017东北八校联考)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)‎ A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)‎ C. (1－4－n) D. (1－2－n)‎ ‎【答案】　C 考点：等比数列求和 ‎2．(2017银川模拟)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数为(　　)‎ A．2 014　　　　　　　　 B．2 015 C．2 016 D．2 017‎ ‎【答案】　B ‎【解析】an＝＝－，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ ‎＝＝，令＝，得；n＝2 015。‎ 考点：裂项法求和 ‎3.（2017海口模拟）数列{an}的通项an＝n2(cos2－sin2)，其前n项和为Sn，则S30为(　　)‎ A．470 B．490 C．495 D．510‎ ‎【答案】　C 考点：三角函数与数列求和，分组法求和 ‎4.（2017武汉汉口区模拟）设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与坐标轴的交点分别是，所以三角形的面积 ‎，‎ 原式，故选D 考点：裂项法求和 ‎5.（2017西安模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: ，，该数列的特点是：前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 考点：数列求和应用 ‎6.（2017河北唐山模拟）如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数 ‎ 的图象上．若点的坐为，记矩形的周长为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，，所以矩形的周长，‎ 令，所以可由错位相减求得：，两式作差得 ‎，整理得 考点：数列求和 ‎7．(2016温州模拟)设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和Sn等于________．‎ ‎【答案】　2n＋1－2‎ ‎【解析】y′＝nxn－1－(n＋1)xn，∴y′|x＝2＝n·2n－1－(n＋1)·2n＝－n·2n－1－2n.‎ ‎∴切线方程为y＋2n＝(－n·2n－1－2n)(x－2)，令x＝0，得y＝(n＋1)·2n，即an＝(n＋1)·2n.‎ ‎∴＝2n，∴Sn＝2n＋1－2.‎ 考点：数列求和 ‎8.（2017安徽无为模拟）《九章算术》中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半;莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则_____天后，蒲、莞长度相等？参考数据： ， ，结果精确到0.1.（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.）‎ ‎【答案】2.6‎ 考点：数列求和的应用 ‎9.（2017山东淄博模拟）若数列与满足，‎ 且，设数列的前项和为，则___________．‎ ‎【答案】560.‎ ‎【解析】由题：，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，所以，所以 考点：数列的应用．‎ ‎10.（2017济南模拟）设表示正整数的个位数， 为数列的前项和，函数，若函数满足，且，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ 考点：数列与函数的综合 ‎11.（2017北京石景山区一模）设数列、满足：，，．‎ ‎⑴ 求的值；‎ ‎⑵ 求数列的通项公式；‎ ‎⑶ 求数列的前项和的值 ‎【答案】（1）-2 （2）见解析 （3）5050‎ ‎【解析】⑴ ‎ ‎⑵‎ ‎⑶由已知，‎ 考点：数列求和 ‎12.（2017银川模拟）已知Sn是数列的前n项和，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项；‎ ‎（3）设数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）1,2,3，4；（2）；（3）见解析．‎ 考点：裂项法求和 ‎13.（2017宝鸡模拟）已知函数的图象过点，且点在函数的图象上．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，若数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（1）由条件知：，所以：，‎ 过点，所以： 所以： ‎ ‎（2） ‎ 所以：‎ 考点：数列与不等式 ‎14．（2017辽宁省沈阳市三模）已知等差数列， ，公差，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ 考点：数列通项的求法和数列求和，分段求和。‎ ‎15.（2017沈阳模拟）已知函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列满足，‎ 求数列的通项公式；‎ ‎（3）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等 式对于一切的恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ 因为在是单调递增的，‎ 的最小值为，.‎ 考点：倒序相加法，错位相减法，数列的综合应用 ‎16.（2017湖北黄石模拟）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10000‎ 辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。‎ ‎（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；‎ ‎（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．‎ ‎【答案】（1），‎ ‎ （2）147.‎ 所以数列的前项和， ‎ 数列的前项和， 所以经过年，该市更换的公交车总数 ‎； ‎ ‎（2） 因为、是关于的单调递增函数， ‎ ‎ 因此是关于的单调递增函数， 所以满足的最小值应该是， ‎ 即，解得， ‎ 又，所以的最小值为147.‎ 考点：1、数列的综合应用； 2、函数的单调性；3、求最值问题．‎ ‎17.（2017衡水金卷）已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，其前项和为，若对于恒成立，‎ 求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎①—②得 若对于恒成立，则 令，则当时，‎ 所以，当时单调递减，则最大值为故实数m的取值范围为 考点：数列与函数综合 ‎18.（2017石家庄一中诊断）记数列的前项和为.已知向量 ‎ 和 满足.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求;‎ ‎(3)设,求数列的前项的和为.‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ 考点：1.向量与数列的通项公式；2.数列求和.‎ ‎ ‎