2020版高中数学 第2章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)

2020版高中数学 第2章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)

‎2.1.2　‎数列的递推公式(选学)‎ ‎1.理解递推公式的含义.(重点) ‎2.掌握递推公式的应用.(难点) ‎3.会求数列中的最大(小)项.(易错点) ‎[基础·初探]‎ 教材整理　数列的递推公式 阅读教材P29～P30，完成下列问题.‎ ‎1.数列递推公式 ‎(1)两个条件：‎ ‎①已知数列的第1项(或前几项)；‎ ‎②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.‎ ‎(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.‎ ‎2.数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 ‎(1)都是表示数列的一种方法；‎ ‎(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 ‎1.下列说法中正确的有________.(填序号)‎ ‎①根据通项公式可以求出数列的任意一项；‎ ‎②有些数列可能不存在最大项；‎ ‎③递推公式是表示数列的一种方法；‎ ‎④所有的数列都有递推公式.‎ ‎【解析】　①正确.只需将项数n代入即可求得任意项.‎ ‎②正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.‎ ‎③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.‎ ‎④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式.‎ 9‎ ‎【答案】　①②③‎ ‎2.已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝________.‎ ‎【解析】　因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝‎2a4＋1＝31.‎ ‎【答案】　31‎ ‎3.已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝·an－1(n>1)，则a4＝________.‎ ‎【解析】　依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝a2＝3；当n＝4时，a4＝a3＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎4.已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a5＝______________.‎ ‎【解析】　因为a1＝－，an＋1＝1－，‎ 所以a2＝1－＝1＋2＝3，‎ a3＝1－＝，a4＝1－＝－，a5＝1＋2＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎[小组合作型]‎ 由递推关系写数列的项 ‎　(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2 016＝2，则a2 015等于(　　)‎ A.－ B. C.－ D. ‎(2)已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝________.‎ ‎【精彩点拨】　结合已知项逐步代入递推公式求解.‎ ‎【自主解答】　(1)由anan＋1＝1－an＋1，‎ 9‎ 得an＋1＝，‎ 又∵a2 016＝2，‎ ‎∴a2 015＝－，故选C.‎ ‎(2)由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，‎ ‎∴a5＝a4＋a3＝8.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)8‎ 由递推公式写出数列的项的方法：‎ ‎(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.‎ ‎(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.‎ ‎(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项. ‎ ‎【导学号：18082018】‎ ‎【解】　∵a1＝1，an＋1＝，‎ ‎∴a2＝＝，‎ a3＝＝＝，‎ a4＝＝＝，‎ a5＝＝＝.‎ 9‎ 故该数列的前5项为1，，，，.‎ 数列的最大(小)项的求法 ‎　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.‎ ‎【精彩点拨】　‎ ‎【自主解答】　法一：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，‎ 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；‎ 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；‎ 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，‎ 所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，‎ 即a9＝a10＝.‎ 法二：设ak是数列{an}的最大项.‎ 则 即 整理得 得9≤k≤10，‎ ‎∴k＝9或10，‎ 即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.‎ 求数列的最大(小)项的两种方法：‎ 9‎ 一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.‎ 二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.‎ ‎(1)数列中有多少项是负数？ ‎ ‎【导学号：18082019】‎ ‎(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.‎ ‎【解】　(1)由n2－5n＋4<0，‎ 解得1

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