高中数学选修2-2课时提升作业(二十二) 3_2_1

高中数学选修2-2课时提升作业(二十二) 3_2_1

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(二十二)‎ 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ ‎1.(2014·昆明高二检测)实数x，y满足z1=y+xi，z2=yi-x，且z1-z2=2，则xy的值是(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.-2 D.-1‎ ‎【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2⇒⇒xy=1.‎ ‎2.在复平面内，向量对应的复数是2+i，则向量对应的复数在第__________象限(　　)‎ A.一 B.二 C.三 D.四 ‎【解析】选C.向量对应的复数为-2-i，所以向量对应的复数在第三象限.‎ ‎3.(2014·西宁高二检测)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3+i，-1+3i，则对应的复数是(　　)‎ A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i ‎【解析】选D.依题意有==-，而(3+i)-(-1+3i)=4-2i，即对应的复数为4-2i.‎ ‎【变式训练】在复平面内，向量对应的复数是2+i，向量对应的复数是-1-3i，‎ 则向量对应的复数为(　　)‎ A.1-2i B.-1+2i C.3+4i D.-3-4i ‎【解析】选D.向量对应的复数是2+i，则对应的复数为-2-i，因为=+.所以对应的复数为(-1-3i)+(-2-i)=-3-4i.‎ ‎4.(2014·广州高二检测)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是(　　)‎ ‎【解析】选A.由图可知z=-2+i，所以z+1=-1+i，则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1，1).故A正确.‎ ‎5.复数z1=1+icosθ，z2=sinθ-i，则|z1-z2|的最大值为(　　)‎ A.3-2 B.-1‎ C.3+2 D.+1‎ ‎【解析】选D.|z1-z2|=|(1+icosθ)-(sinθ-i)|‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=≤=+1.‎ ‎6.(2014·丽江高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1+z2|=|z1-z2|，则三角形AOB一定是(　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ‎【解析】选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形.‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎7.若复数z满足z=|z|-3-4i，则z=__________.‎ ‎【解析】设复数z=a+bi(a，b∈R)，‎ 则所以所以z=-4i.‎ 答案：-4i ‎8.(2014·成都高二检测)已知|z|=3，且z+3i是纯虚数，则z=__________.‎ ‎【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，‎ 因为|z|=3，所以a2+b2=9.‎ 又w=z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数，‎ 所以即 又a2+b2=9，所以a=0，b=3，所以z=3i.‎ 答案：3i ‎9.(2014·重庆高二检测)已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x，y∈R)，z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x，y∈R).设z=z1-z2，且z=13-2i，则z1=__________，z2=__________.‎ ‎【解析】z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i，‎ 又z=13-2i，‎ 故解得 于是，z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i，‎ z2=(-4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i.‎ 答案：5-9i　-8-7i 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎10.设m∈R，复数z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i).‎ ‎(1)若z为实数，求m的值.‎ ‎(2)若z为纯虚数，求m的值.‎ ‎【解题指南】根据复数z为实数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值.利用概念解题时，要看准实部与虚部.‎ ‎【解析】z=(‎2m2-3m-2)+(m2‎-3m+2)i.‎ ‎(1)若z为实数，则m2‎-3m+2=0，‎ 所以m=1或2.‎ ‎(2)若z为纯虚数，则 解得m=-.‎ ‎【变式训练】实数k为何值时，复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件，‎ ‎(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.‎ ‎【解析】(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)‎ ‎=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.‎ ‎(1)当k2-5k-6=0，即k=6或k=-1时，该复数为实数.‎ ‎(2)当k2-5k-6≠0，即k≠6且k≠-1时，该复数为虚数.‎ ‎(3)当即k=4时，该复数为纯虚数.‎ ‎11.(2014·太原高二检测)已知：复平面上的四个点A，B，C，‎ D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数-5-2i，-4+5i，2，求点D对应的复数.‎ ‎【解析】因为=，‎ 所以zA-zB=zD-zC，‎ 所以zD=zA-zB+zC=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i.‎ 即点D对应的复数为1-7i.用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.‎ 图①中点D对应的复数为3+7i，‎ 图②中点D对应的复数为-11+3i.‎ 故点D对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.‎ ‎【误区警示】四个点A，B，C，D构成平行四边形，并不仅有□ABCD一种情况，应该还有□ABDC和□ACBD两种情况.‎ ‎【变式训练】已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3+2i与1+4i，两对角线AC与BD相交于O点.‎ ‎(1)求对应的复数.‎ ‎(2)求对应的复数.‎ ‎(3)求△AOB的面积.‎ ‎【解析】(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以=+，‎ 于是=-，而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i，‎ 即对应的复数是-2+2i.‎ ‎(2)由于=-，‎ 而(3+2i)-(-2+2i)=5，‎ 即对应的复数是5.‎ ‎(3)由于==-=，‎ ‎==.‎ 即=，=，‎ 于是·=-，‎ 而||=，||=，‎ 所以··cos∠AOB=-，‎ 因此cos∠AOB=-，‎ 故sin∠AOB=，‎ 故S△AOB=||||sin∠AOB ‎=×××=.‎ 即△AOB的面积为.‎ 一、选择题(每小题4分，共16分)‎ ‎1.(2014·福州高二检测)已知复数z1=-3ai，z2=a+i，若z1+z2是纯虚数，那么实数a的值为(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.-2 D.-2或1‎ ‎【解析】选C.由z1+z2=a2-2+a+i是纯虚数，得⇒a=-2.‎ ‎2.(2014·南昌高二检测)如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么(　　)‎ A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0‎ C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0‎ ‎【解题指南】利用向量三角形法则，判断复数间的关系.‎ ‎【解析】选D.由复数的向量意义及几何意义可得z1+z2=+==z3.‎ ‎3.已知z1，z2∈C，|z1+z2|=2，|z1|=2，|z2|=2，则|z1-z2|为(　　)‎ A.1　　　 　 B.　　　 　 C.2　　　 　D.2‎ ‎【解析】选D.由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1-z2|=2.‎ ‎【变式训练】若|z1|=|z2|=1，且|z1+z2|=，求|z1-z2|.‎ ‎【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.‎ 如图所示，由|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=，知四边形为正方形，所以另一条对角线的长|z1-z2|=.‎ ‎【拓展延伸】复数运算几何意义的应用 ‎(1)已知复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1+z2|=|z1-z2|，把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形.‎ ‎(2)因为│z1│，│z2│，│z1-z2│(或│z1+z2│)构成了三角形的三边(Z1，Z2，O三点不共线)，所以可用解三角形来处理边与角的问题.‎ ‎4.(2014·沈阳高二检测)复数2+i与复数-i在复平面上的对应点分别是A，B，则∠AOB等于(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.因为点A，B对应的复数分别是2+i与复数-i，所以A(2，1)，B，‎ 所以tan∠xOA=，‎ tan∠xOB=，所以tan∠BOA=tan(∠xOA+∠xOB)==1，则∠BOA=.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么表示的复数为__________.‎ ‎【解题指南】用向量，，表示出向量，再利用向量与复数的对应进行运算.‎ ‎【解析】由=-=--=3+2i-(-2+i)-(1+5i)=4-4i.‎ 答案：4-4i ‎6.(2014·启东高二检测)设f(z)=z-3i+|z|，若z1=-2+4i，z2=5-i，则f(z1+z2)=__________.‎ ‎【解析】因为z1=-2+4i，z2=5-i，‎ 所以z1+z2=(-2+4i)+(5-i)=3+3i.‎ 于是f(z1+z2)=f(3+3i)‎ ‎=(3+3i)-3i+|3+3i|‎ ‎=3+3.‎ 答案：3+3‎ ‎【变式训练】设f(z)=z，z1=3+4i，z2=-2-i，则f(z1-z2)=(　　)‎ A.1-3i B.11i-2‎ C.i-2 D.5+5i ‎【解析】选D.因为z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i，‎ 又f(z)=z，所以f(z1-z2)=f(5+5i)=5+5i.‎ 三、解答题(每小题12分，共24分)‎ ‎7.已知复数6+5i和-3+4i.‎ ‎(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量和.‎ ‎(2)写出向量和表示的复数.‎ ‎【解析】(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量和，如图：‎ ‎(2)=-=-3+4i-(6+5i)=-9-i.‎ ‎=-=6+5i-(-3+4i)=9+i.‎ ‎8.(2014·杭州高二检测)已知|z|=2，求|z+1+i|的最大值和最小值.‎ ‎【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+i|的几何意义，再利用几何图形求|z+1+i|的最大值和最小值.‎ ‎【解析】设z=x+yi(x，y∈R)，则由|z|=2知x2+y2=4，‎ 故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，‎ 又|z+1+i|表示点(x，y)到点(-1，-)的距离.‎ 又因为点(-1，-)在圆x2+y2=4上，‎ 所以圆上的点到点(-1，-)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，‎ 即|z+1+i|的最大值和最小值分别为4和0.‎ ‎【拓展延伸】数形结合求解复数问题 因为复数拥有实部与虚部“两条腿”，进而与复平面上的点建立了一一对应，又与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考.‎ ‎【变式训练】已知|z1|=|z2|=1，z1+z2=+i，求复数z1，z2.‎ ‎【解析】因为|z1|=|z2|=1，|z1+z2|==1，‎ 所以z1+z2对应向量，其中∠COA=60°，如图1所示.‎ 设对应复数z1，对应复数z2，则四边形AOBC是菱形，且△AOC和△BOC都是等边三角形，于是z1=1，z2=+i或z1=+i，z2=1.如图2和图3所示.‎ 关闭Word文档返回原板块